数学的美与理

数学文化漫谈之－数学的美与理数学美概述数学美概述ABCDBC:AB＝AB:AC=AC:AD＝0.618黄金分割0.618的美学实例人体:躯干部分的宽与长之比

肚脐、膝盖植物：相邻两叶在与茎垂直的平面上的投影的两夹角的比利于通风采光黄金分割0.618的美学实例黄金分割0.618的美学实例名曲:高潮出现在全曲的黄金分割点名画：充分利用了0.618建筑:如建筑物的特征点、门窗等黄金分割点体现了美与实用，沟通了人与自然眼睛宽度占眼睛所在面部位置的3／10；下巴长度占脸长的1／5；从眼珠到眼眉的距离是脸长的1／10；从正面端详，眼珠竖长占脸长的1／14；鼻部面积占整个面部面积的5％以下；嘴占嘴所在脸部宽度的50％。数学美概述数学美的几种类型美的不同表现形式有不同的形容：壮美、俊美、秀美、柔美、优美数学美也呈现多样性，我们分为：简洁美、对称美、和谐美和奇异美。一、简洁美简洁美是人们最欣赏的一种美，在艺术、建筑、徽标等的设计中最为常见。中国画更是体现了简洁美。数学以简洁而著称！数学中所谓美的问题，是指一个难以解决的问题；而所谓美的解答，则是指对于困难和复杂问题的简单回答。－狄罗德简洁美包括：符号美、抽象美、统一美一、简洁美大数和小数的表示：10221，286243，10-900数的表示：所有数均可由1,2,3,5,6,7,8,9,0表示.(称为阿拉伯数字,但是由一、简洁美之－符号美印度人发明的.由阿拉伯人传到西方.)形式上和位置上意义非凡,绝妙非常.实际上,0的出现大约要晚好几百年.一、简洁美之－符号美简洁美的发展过程:235×4=940罗马人的算法:CCXXXVIVCCCCCCCCXXXXXXXXXXXXVVVVDCCCCXX

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CMXL表示900表示40一、简洁美之－符号美一、简洁美之－符号美“+”------Plus“-”------Minus“=”------Aequalis“未知数”-----Redix(根),Res(东西):Qdratuaeqtar4rabusP:32一、简洁美之－符号美韦达(Vieta,1540-1603)首创了符号体系思想，并由此规定出算术与代数的分界。“等于”→“∝”，“”，Robert,(1510-1558),建议用“=”沿用至今莱布尼茨(Leibnize)—differentia(拉丁文，分细)—Summa(拉丁文，和)一、简洁美之－符号美另一位符号大师－欧拉（Euler）e－分析学，i－几何学，π－代数学，0，1－算术。有3／5的符号出自Euler之手！该式集符号美、抽象美、统一美于一体！十进制与二进制:十进制:8989=1×26+0×25+1×24+1×23+0×22+0×21+1×20二进制:1011001一、简洁美之－符号美十进制:符号多(10),表示上简洁,方便人工运算,但系统复杂.二进制:符号少(2),表示上麻烦,方便机器运算,但系统简单.二进制与最简单的自然现象(信号的两极)结合,造就了计算机！一、简洁美之－符号美其它符号的简洁美：未知量：x,y,z已知量：π,e,a,b,c函数关系：f(x)形状符号：一、简洁美之－符号美其它符号的简洁美：运算符号：函数与逻辑：一、简洁美之－符号美其它符号的简洁美：运算符号：函数与逻辑：数学家能够提出与众不同的观点；更重要的是，他能将很多看似完全不同的问题统一起来.而统一的前提便是抽象一、简洁美之－抽象美

抽象=?抽象=难得糊涂:忽略差别,提取共同点抽象=枯燥乏味?语言学抽象吗?美、神、好文学抽象吗？诗歌艺术抽象吗？绘画、舞蹈音乐抽象吗？高山流水、悲欢离合美的感一、简洁美之－抽象美数学的抽象美的表现形式不同，它给人带来的是简洁、明快和高效的美。例

图中，大圆周长与三个小圆周长之和哪个更大？例Koch雪花做法：先给定一个正三角形，然后在每条边上对称的产生边长为原边长的1/3的小正三角形．如此类推在每条凸边上都做类似的操作，我们就得到了“Koch雪花”．观察雪花分形过程第一次分叉：依次类推周长为面积为第次分叉：于是有结论：雪花的周长是无界的，而面积有界．雪花的面积存在极限（收敛）．例（七桥问题）如图，能否从某个桥出发，走过所有的桥，但每座桥只经过一次？ABCD？？BACDBACD一次走完（一笔画）一次走不完（一笔画不出）能否一笔画出？24213313335偶奇奇否Euler例人的头发问题

有人声称，他可以证明，在长沙市，至少有两个人的头发根数相同。你相信吗？据科学家研究得到：人的头发大约在15万根左右，而长沙市人口远远大于这个数。故结论成立。这就是所谓的抽屉原理或鸽笼原理。二、对称美几何：点对称、线对称、面对称、球对称。球面被认为最完美！代数与函数论：共轭数（共轭复数、共轭空间）。运算：交换律、分配律，函数与反函数运算。二项式定理的展开式中的系数构成的杨辉三角形：112133114641151051二、对称美命题变换中：命题逆命题否命题逆否命题二、对称美

构造魔方是一个古老的数学游戏，起初它还和神灵联系在一起，带有深厚的迷信色彩。传说三千二百多年前（公元前2200年），因治水出名皇帝大禹就构造了三阶魔方（被人们称“洛书”），至今还有人把它当作符咒用于某些迷信活动，大约在十五世纪时，魔方传到了西方，著名的科尼利厄斯·阿格里帕（1486-1535）先后构造出了3~9阶的魔方。如何构造魔方奇数（不妨n=5）阶的情况Step1:在第一行中间写1Step2:每次向右上方移一格依次填按由小到大排列的下一个数，向上移出界时填下一列最后一行的小方格；向右移出界时填第一列上一行的小方格。若下面想填的格已填过数或已达到魔方的右上角时，改填刚才填的格子正下方的小方格，继续Step2直到填完12345678910111213141516171819202122232425偶数阶的情况偶数阶的魔方可以利用奇数阶魔方拼接而成，拉尔夫·斯特雷奇给出了一种拼接的方法，这里不作详细介绍五阶没人知道有多少个！！！三阶1个反射和中心旋转生成8个四阶880个反射和中心旋转生成7040个魔方数量随阶数n增长的速度实在是太惊人了！同阶魔方的个数统一与和谐美是数学美的又一侧面，它比对称美具有广泛性。以几何与代数的和谐与统一的表现为例：行列式与矩阵三、和谐美平面上过点(x1,y1),(x2,y2)的直线方程:三、和谐美平面上过点(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3)的圆方程:

三、和谐美三、和谐美三、和谐美三、和谐美四、奇异美奇异：稀罕、出呼意料但有引人入胜！美在于奇异而令人惊异没有一个极美的东西不是在匀称中有着某种奇特－培根四、奇异美一、分数的奇异性四、奇异美四、奇异美二、费马猜想四、奇异美300多年来，数千位数学家参与证明Fermat本人证明了n=4的情形。1753年，Euler证明了n=3.1825年，Dirchlet与Legendre证明了n=5.1832年，法国女数学家索非热尔曼证明：如果n和2n+1为素数，Fermat大定理成立。1839年，拉梅证明了n=7.1847年，德国数学家Kummer证明了对n<100(除出37,59,67),Fermat定理成立。1983年，德国数学家法尔廷斯证明了：对每个n>2,方程只有有限个解。1993年，Princeton大学的教授威尔斯宣布证明了Fermat定理。但数学家发现了证明中的一个漏洞。经过九个月的努力威尔斯修正了这一错误，这标志着Fermat大定理被彻底征服。威尔斯的证明完全采用了全新的路线，用到了现代数学的许多分支：椭圆曲线论，模形式论，伽罗华表示论等。所谓椭圆曲线是如下形式的曲线：椭圆曲线与模形式之间有紧密的联系。50年代，日本数学家谷山丰和志村五郎猜测：有理数域上的每条椭圆曲线都存在模形式。被乘为“谷山-志村”猜想。60年代，有人将Femat方程与椭圆曲线联系起来。1984年，佛赖证明，如果Fermat大定理不成，则由Fermat方程确定的椭圆曲线不可能是模形式，这与谷山-志村猜想矛盾！因此，要证明Fermat大定理，只需证明谷山-志村猜想。威尔斯所做的正是证明了该猜想。无限世界的美妙数学是研究无限的科学，有限无限生命、财产、人口、金钱、距离直线上的点一尺之椎，日取其半，万世不竭。正整数个数对无限的最早感受是正整数区分有限与无限的方法:数数把握无限的方法:反证法多少的比较方法之一：数数66多少的比较方法之二：比较少多映射自然数的比较122436n2n自然数与偶数一样多！1f(1)2f(2)3f(3)nf(n)推广推广●●●●●这个运动表明：当x沿直线趋于正无穷大时，圆周上对应的点按逆时针方向趋于顶点这个运动表明：当x沿直线趋于负无穷大时，圆周上对应的点按顺时针方向趋于顶点演示表明：在直线上无论x是趋于，还是趋于，反映在圆周上显示的是，点沿着圆周分别按逆时针和顺时针都趋于一个共同的点——顶点！圆周比直线多一点！新概念集合A与B称为基数相等，如果A，B之间存在1-1对应关系（1-1映射）。记为显然基数概念推广了个数概念。几个有趣的结论1、有理数与自然数一样多这个集合的基数不超过自然数的基数，而自然数是其子集，所以这两个集合的基数相等。同样的理由知道有理数与自然数一样多。几个有趣的结论2、（0，1）与（0，+∞）的点一样多几个有趣的结论3、（0，1）的点比自然数多5、自然数是基数最小的无穷集合。4、自然数的所有子集所成的集合与（0，1）的基数一样。由此人们给出了处理无穷多（自然数）的一个方法——数学归纳法：如果与自然数k有关的命题P(k)满足条件

（1）P(1)成立；（2）若P(n)成立，则P(n+1)也成立,则P(k)对所有的自然数成立。1.VanKoch