第6章-投资风险与投资组合

第6章投资风险与投资组合主讲人：李建华主要内容证券投资收益及其度量证券投资风险的内涵与计量马科维兹最优投资组合理论单指数模型——马科维兹模型的简化收益率的内涵与计量在没有风险的条件下，投资者可以按预先的约定，在证券到期时获得发行者预先承诺的收益，这种收益的高低，可以用到期收益率来度量。债券到期收益率的计算公式为：其中：F——债券的面值；C——按按票面利率每年支付的利息；Pm——债券的当前市场价格；r——到期收益率。收益率的内涵与计量1、持有期收益率M公司股票从1月1日的36元/股上升至年底的54元/股，年底M公司付息2.4元/股，那么股东1年的持有期收益率是多少？持有期收益率实质是一种事后或是已实现的收益率，是在投资损益已经发生的情形下计算的。收益率的内涵与计量对于事前的投资，其收益率如何计量？期望值（expectedvalue）是指所有可能发生的事件与其发生概率的乘积之和。其中Ci——各种可能的状况Pi——该状况对应的发生概率收益率的内涵与计量2、预期收益率（expectedrateofreturn）投资者在面临各种收益可能的情境之下，所能预期的收益率的平均状况。其中E（R）——预期收益率，即收益率的期望值Ri——第i种情况下投资收益的值Pi——该种情况发生的概率n——所有可能的情况收益率的内涵与计量预期收益率的计算与运用[例1]：小王有10万元准备投资于武钢股份，估计钢铁行业保持高度增长的概率为0.4，此时收益率估计可达15%，而钢铁行业表现不理想的概率为0.6，此时的收益率估计只有5%。小王投资这只股票的预期收益率是多少？未来状况发生概率（1）可能收益率（2）（1）×（2）预期收益率景气0.415%0.069%不景气0.65%0.03收益率的内涵与计量如何理解预期收益率？预期收益率仅限于预期的层次是投资前估计的收益率实际的收益率和预期水平并不一致预期收益率本身是一种期望值在统计上含有“长期平均”的含义短期内投资实现的收益率并非与期望值一致但扩大投资期间持续时间，则实际收益率接近于期望收益水平收益率的计量预期收益率的估计证券收益的概率分布一般较难准确得知故用历史收益率的样本均值来代替预期收益率课堂思考上一章介绍了无风险证券的投资价值请问：现实中是否存在纯粹的无风险证券？有人说“投资国债是不存在风险的”，这个说法是否准确？收益与风险是贯穿投资学的两大核心高风险、高收益是投资者必备的基本观念证券投资风险的内涵如何理解风险？广义风险投资收益在将来的不确定性不确定性越大，风险越高狭义风险投资预期收益目标不能实现甚至投资本金遭受损失的可能性证券投资风险的内涵证券投资风险来自哪里？市场风险利率风险通胀风险政治风险……经营风险财务风险道德风险流动性风险……系统性风险非系统风险风险化解方法期货、期权投资组合证券投资风险的内涵承担风险的报酬——风险溢价风险溢价是投资者因承担风险而获得的超额报酬风险溢价与风险程度成正比风险溢价隐含了“高风险高收益”基本内涵证券投资风险的计量风险衡量——标准差（或方差）为了计量的便利，一般将投资风险定义为投资预期收益的变异性或波动性(Variability)。统计上，一般用收益率的标准差（或方差）来度量风险。标准差反映了投资收益的各种可能结果相对于其期望值的偏离程度的大小。σ——投资收益的标准差E（R）——预期收益率Ri

——各种可能的投资收益率Pi

——收益率事件发生的概率证券投资风险的计量未来状况（1）发生概率（2）可能收益率（3）预期收益率（4）报酬差异（5）差异平方（1）×（5）方差σ2标准差σ景气0.415%9%6%0.00360.001440.24%4.9%不景气0.65%－4%0.00160.00096投资风险的衡量指标——标准差（或方差）[例2]:参见例1证券投资风险的计量证券投资风险的估计一般用证券的历史收益率为样本，并假定其发生的概率不变，以此确定该证券的风险程度。公式中用n-1，旨在消除方差估计中的统计偏差。证券投资风险的计量投资风险的估计案例假设B公司近3年的收益率分别为20%，30%和－20%。求样本平均收益率和方差。马科维兹最优投资组合理论背景介绍马科维兹1952年发表《证券组合选择：投资的有效分散化》的论文用方差（或标准差）计量投资风险提出了怎样使投资组合在一定风险水平之下，取得最大可能的预期收益率提出了确定最佳投资组合的基本模型马科维兹的理论奠定了现代投资理论的基石，此后的经济学家一直在其基础上不断地在丰富和完善投资组合的理论和方法。

马科维兹模型马科维兹模型的假设投资者期望获得最大收益，但是是风险的厌恶者；证券收益率是服从正态分布的随机变量；用预期收益率衡量投资的收益大小，用方差（或标准差）来衡量证券的风险大小；投资者建立组合的依据：在既定的收益水平下，使风险最小（主宰法则）；风险与收益相伴而生。即投资者追求高收益则可能面临高风险。投资者大多采用组合投资以便降低风险。马科维兹模型的基本思想最优投资组合的构建根据投资目标的不同界定可供选择的证券范围估计各证券的预期收益率、风险和协方差（相关系数）确定有效边界最优化——寻找最佳投资组合选择哪些证券构建组合如何确定组合中各证券的投资比例证券组合的收益证券组合的收益率案例1：某组合由两种证券组成，本金为1000元，其中400元投资于A，600元投资于B。1年后，A的收益率为10％，B的收益率为6％，则组合的收益率为多少？投资组合的收益率等于组合中所有证券收益率的加权平均，权重（x）等于每一证券初始投资额占投资本金的比例。证券组合的收益权重与卖空组合的权重可以为正值，也可以为负值。负值意味着卖空某种证券。卖空，通常是指投资者向经纪人（券商）借入一定数量的某种证券事先卖掉，在一定时间后再归还，并支付相应报酬的行为。证券组合的收益权重与卖空案例2：投资者自有资金1000元，卖空证券B收入600元，将1600元全部用于购买证券A。假设证券A的收益率为20%，证券B的收益率为10%。那么：（1）组合的权重为多少？（2）组合的收益率为多少？证明证券组合的收益证券组合的预期收益率根据前面的介绍，我们可以推出：组合的预期收益率等于该投资组合中所有证券预期收益率的简单加权平均其权重则等于购买（或卖空）该证券的金额占最初自有投资额的比例。证券组合的收益证券组合的预期收益率案例3：如果无卖空，组合的预期收益率总是介于两种证券的收益率之间，具体大小取决于资金的分配比例。如果卖空某种证券，组合的收益率既可能无限上升也可能无限下降。如果想尽可能大地提高组合的预期收益率，只需要大量卖空收益率低的那种证券即可。但随着预期收益率的上升，组合的风险也会随之上升。证券组合的风险组合的风险也用组合的标准差（或方差）表示要计算投资组合的方差，必须先知道投资组合中所有证券收益之间的协方差（或相关系数）协方差表示两种证券收益在一个共同周期中相互影响的统计量。正的协方差意味着资产收益同向变动负的协方差意味着资产收益反向变动证券组合的风险证券组合方差（风险）例如证券A、B、C的协方差矩阵如下：证券组合的风险证券组合的方差（风险）要计算证券组合的方差，还必须知道该投资组合中每一证券的权重，并对协方差矩阵中的元素进行估计，按以下方式建立一个新的矩阵：组合方差的计算方法：将矩阵中每一个协方差乘以其所在行和列的组合权重，然后将所有的乘积加总。

证券组合的风险证券组合的方差（风险）的表达式证券组合的风险相关系数相关系数是判定两证券收益之间的关联强度的统计指标。R（A）R（B）ρ＝1ρ＝－1ρ＝0R（A）R（A）R（B）R（B）····························【案例】某投资机构已将50％的资金投资于A公司的股票，剩下50％的资金，投资经理决定在A公司、B公司股票和无风险投资（收益率为3％）之间选择其一，哪一种选择更有利？A、B公司的收益分布如下表：表6－1A、B公司和无风险资产的收益分布资产种类收益率概率0.50.30.2A公司B公司无风险资产收益率（％）收益率（％）收益率（％）202310－103－20403解：第一步，求得A、B两公司股票及无风险资产的期望收益率和方差分别为：

E(rA)=0.5×20%＋0.3×10%－0.2×20％＝9％E(rB)=0.5×2%－0.3×10%＋0.2×40％＝6％E(rC)=3％＝0.5×(0.2－0.09)2＋0.3×(0.1－0.09)2＋0.2×(-0.2－0.09)2＝0.0229=0.0316=0第二步，计算A、B两股票的协方差：＝0.5×(0.2－0.09)×(0.02－0.06)＋0.3×(0.1－0.09)×(-0.1－0.06)＋0.2×(-0.2－0.09)×(0.4－0.06)＝-0.0224协方差为负，表明A、B两股票变动方向相反，因而两股票组合在一起具有降低风险的作用。第三步，分别计算三种可选方案的期望收益率和风险：（1）A，B股票形成的组合的收益率与方差分别为：＝0.5×9%＋0.5×6%＝7.5％＝0.52×0.0229＋0.52×0.0316＋2×0.5×0.5×(-0.0224)＝0.002425（2）同理，A股票和无风险资产各投资50％所形成的资产组合的收益率和方差分别为：＝0.5×9%＋0.5×3%＝6％=0.52×0.0229+0.52×0+2×0.5×0.5×0=0.005725最后，可将三种可选择方案的期望收益和风险情况总结如下：方案期望收益率方差全部投资于A公司股票A、B公司股票各投资50％A公司股票与无风险资产各投资50％9％7.5％6％0.02290.0024250.005725

【习题】假设你现在受聘于某知名理财公司，上司交给你的第一个任务是代理客户进行投资，金额为10万元，期限为1年，1年后这笔资金另作他用。现提供了下列投资备选品种：

经济状态概率估计收益率国库券股票A股票B萧条0．18．0％5.0％30.0％复苏0．28．0％10.0％20.0％正常0．48．0％20.0％15.0％高涨0．28．0％35.0％10.0％繁荣0．18．0％50.0％5.0％相关资料显示，A公司属于高科技产业，主要经营电子产品；B公司属于采矿业，主要从事金矿开采。试回答下列问题：（1）为什么国库券的收益与经济状态无关?为什么股票A收益率变动与经济状况变动呈同方向，而股票B收益率变动与经济状态变化呈反方向?（2）试计算不同投资品种的期望收益率和方差，计算并填在下表中。经济状态概率估计收益率国库券股票A股票B萧条0．18．0％5.0％30.0％复苏0．28．0％10.0％20.0％正常0．48．0％20.0％15.0％高涨0．28．0％35.0％10.0％繁荣0．18．0％50.0％5.0％E(r)

σ2

（3）假设你的上司现在要求你将10万元的资金进行组合投资，下面三种备选方案中哪一种更有利？计算并将结果填在以下表格中。备选方案E(rp)σp2国库券、A公司股票各投资50％国库券、B公司股票各投资50％A、B公司股票各投资50％

(1)—国库券的收益与经济状态无关，是因为国库券的债务人是国家，其还款保证是国家财政收入，几乎不存在信用违约风险，是金融市场风险最小的信用工具。我们一般把它看成一种无风险收益率，其收益与经济状况无关。案例分析

A公司经营电子产品，属于高科技产业。电子产品的销量与经济状况呈同方向变动,作为高档消费品它的产销量是与社会经济环境和个人收入水平相联系的，其社会需求量建立在经济发展水平和国民收入水平之上。

B公司的收益率变动与经济状态呈反向变动。黄金作为稀缺贵金属，其最佳效应体现在储藏职能上，当经济环境不景气的时候人们普遍有一种储备黄金意识来应对货币贬值、通货膨胀，达到保值的目的。而当经济繁荣时期则会进行各种投资活动，追求收益的最大化。所以股票B的收益率变动与经济状态呈反向变动。（2）分别求得A、B两公司股票及国库券的期望收益率和方差如下：E(rA)=0.1×5%+0.2×10%+0.4×20%+0.2×35%+0.1×50%=22.5%

E(rB)=0.1×30%+0.2×20%+0.4×15%+0.2×10%+0.1×5%=15.5%E(rC)=8％＝0.1×(0.05－0.225)2＋0.2×(0.1－0.225)2＋0.4×(0.2－0.225)2＋0.2×(0.35－0.225)2＋0.1×(0.5－0.225)2＝0.017125=0=0.004225经济状态概率估计收益率国库券股票A股票B萧条0．18．0％5.0％30.0％复苏0．28．0％10.0％20.0％正常0．48．0％20.0％15.0％高涨0．28．0％35.0％10.0％繁荣0．18．0％50.0％5.0％E(r)8%22.5%15.5%σ200.0171250.004225将计算结果填入下表中：（3）三种备选方案的组合收益率和方差分别计算如下：①国库券、A股票组成的投资组合收益率和方差：＝0.5×0.08＋0.5×0.225＝0.1525＝15.25％＝0.52×0.017125＋0.52×0＋2×0.5×0.5×0＝0.00428125②国库券、B股票组成的投资组合收益率和方差：＝0.5×0.08＋0.5×0.155＝0.1175＝11.75％＝0.52×0.004225＋0.52×0＋2×0.5×0.5×0＝0.00105625＝0.5×0.225＋0.5×0.155＝0.19＝19％③A股票、B股票组成的投资组合收益率和方差：＝0.1×(0.05－0.225)(0.3－0.155)＋0.2×(0.1－0.225)(0.2－0.155)＋0.4×(0.2－0.225)(0.15－0.155)＋0.2×(0.35－0.225)(0.1－0.155)＋0.1×(0.5－0.225)(0.05－0.155)＝－0.007875协方差为负，表明A、B两股票两股票组合在一起具有降低风险的作用。＝0.52×0.017125＋0.52×0.004225＋2×0.5×0.5×Cov(A,B)＝0.0014④将三种可选方案的期望收益和风险情况汇总如下：备选方案E(rp)σp2国库券、A公司股票各投资50％国库券、B公司股票各投资50％A、B公司股票各投资50％15.25％11.75％19％0.004281250.001056250.0014相关性、多元化与风险规避联合线（结合线）是由E（r）和σ（r）所确定的一系列点联结起来的曲线。曲线上的每一个点都表示在某一既定的投资组合权重下，由两种证券所构成的投资组合的预期收益率和标准差。联合线——不相关的情况案例：证券ABE(r)0.100.04σ(r)0.050.10ρ＝0假设自有资金为1000，卖空证券B收入500，共1500都投资于证券A，则投资组合中证券A的权重为1.5。联合线——不相关的情况案例（续）：如果xA取不同的值，则可得到如下结果卖空B投资于A同时投资于AB卖空A投资于B联合线——完全正相关的情形案例（续）：卖空与自有资金同样金额的证券B，再将卖空收入与自有资金一起投资于证券A，即可构成一无风险的组合。即席思考以下说法是否正确？只要两种证券的标准差不同，且这两种证券完全正相关，我们就总能够通过卖空其中的一种证券达到构建一个无风险投资组合的目的。类似的结论是否适用于完全负相关的情形？如何证明？联合线——完全负相关的情形案例（续）：各种情形下两种风险资产的联合线

（不允许卖空）收益Erp风险σpρ=1ρ=0ρ=-1ρ=-0.5多种风险资产的组合的可行域三种证券组合的可行域（不允许卖空）一般地，当资产数量增加时，要保证资产之间两两完全正（负）相关是不可能的；一般假设两种资产之间是不完全相关（一般形态）。CBAσEr多种风险资产的组合的可行域类似于3种资产构成组合的算法，我们可以得到一个月牙型的区域为n种资产构成的组合的可行集。收益rp风险σp多种风险资产的组合的可行域可行域的两个性质在n种资产中，如果至少存在三项资产彼此不完全相关，则可行域将是一个二维的实体区域可行区域是向左侧凸出的任意两项资产构成的投资组合都位于两项资产连线的左侧。收益rp不可能的可行域风险σpAB可行域中投资者应该如何选择最小方差集各种期望收益水平上风险最小的组合的全体。有效组合符合主宰法则的组合。有效边界所有符合主宰法则的有效组合点的轨迹。0有效边界MVP可行域投资者最佳组合点的选择投资者如何在有效组合中进行选择呢？这取决于他们的投资收益与风险的偏好该偏好可用效用无差异曲线来描述所谓无差异是指一个相对较高的收益必然伴随着较高的风险，而一个相对较低的收益却只承受较低的风险，这对投资者的效用是相等的。将具有相同效用的投资收益与投资风险的组合集合在一起便可以画出一条效用无差异曲线。

效用无差异曲线同一条无差异曲线上不同的点其效用相等不同的无差异曲线代表的效用水平不一样位置越高的无差异曲线，其效用越大E(r)σI0MI1I2baK··效用无差异曲线风险厌恶型投资者无差异曲线E(r)I1σI0I2E(r)I1σI0I2A投资者B投资者同样作为风险厌恶型投资者，A比B更具冒险性。△E(r)△E(r)最优投资组合的确定0BA将投资者的效用无差异曲线和有效边界叠加，确定投资者的最优投资组合。马科维兹模型的使用困难马克维滋模型告诉我们如何选择最优证券组合的方法。但模型的建立需要估计相当数量的参数。如果组合中证券的数量为n种，需要估计n个期望收益率、n个方差和协方差。夏普单指数模型单指数模型(single-indexingmodel)1963年W.Sharpe提出单指数模型，又称市场模型(marketmodel)模型基