理论力学第八章

第八章动量定理(Momentumtheorem)返回总目录TheoreticalMechanics第二篇动力学制作与设计山东大学工程力学系

TheoreticalMechanics§8.1质点和质点系的动量(Momentumofparticleandaparticlesystem)返回首页第八章动量定理TheoreticalMechanics

8.1质点和质点系的动量8.1.1质点的动量质点的动量是用来度量质点机械运动的一个物理量。质点的动量等于其质量与速度的乘积，即

动量是矢量，动量的方向与速度方向相同。在国际单位制中，动量的单位为kg·m/s。动量的量纲是返回首页TheoreticalMechanics

8.1.2质点系的动量返回首页质点系的动量：质点系中各质点动量的矢量和。简称质点系的动量

由运动学关系将质心坐标公式

代入上式得

质系的动量等于质系的质量与质心速度的乘积，方向与质心速度方向相同。8.1质点和质点系的动量TheoreticalMechanics

图示三种情形刚体的动量的计算：c)绕中心转动的均质轮，其动量为零。8.1.2质点系的动量返回首页b)a)c)a)方向与质心速度方向相同均质滚轮b)8.1质点和质点系的动量TheoreticalMechanics

如果质点系是由多个刚体组成，则质点系动量为

mi、vCi分别为第

i个刚体的质量和它的质心的速度。8.1.2质点系的动量返回首页8.1质点和质点系的动量TheoreticalMechanics

返回首页8.1质点和质点系的动量解：设杆OA、BC、滚子B及滑块C的质心速度分别为vD、vA

、vB、vC

，方向如图所示，大小分别为vBvAvCvD例如图所示，杆OA以匀角速绕O轴转动，通过杆BC带动滚子B沿水平面作纯滚动，同时带动滑块C在铅直轨道内运动。杆OA、BC、滚子B及滑块C质量分别为m、2m、2m、2m，OA=AB=AC=r。试求此系统在如图所示瞬时的动量

p。TheoreticalMechanics

返回首页8.1质点和质点系的动量建立如图所示坐标系，可得故p与x、y轴正向之间的夹角分别为vBvAvCvD

TheoreticalMechanics§8.2质点和质点系的动量定理(Momentumtheoremofaparticleandaparticlesystem)返回首页第八章动量定理TheoreticalMechanics

山东大学8.2质点和质点系的动量定理8.2.1质点的动量定理(Aparticle)8.2.2质点系的动量定理(Aparticlesystem)

8.2.3流体在管道中流动时的动压力(Dynamicpressure)

8.2.4动量守恒(Momentumconservation)

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8.2.1质点的动量定理返回首页设质量为m的质点在力F的作用下运动，速度为v：由牛顿第二定律：质量是常量时，有：质点动量定理的微分形式：质点的动量对时间的一阶导数等于作用在质点上的力。

质点动量定理的积分形式：质点在t1至t2时间内动量的改变量等于作用于质点的合力在同一时间内的冲量。乘以dt积分8.2质点和质点系的动量定理TheoreticalMechanics

8.2.2质点系的动量定理返回首页作用于该质点上的力有外力和内力。将n个方程相加，得P=质点系的动量质点系动量定理的微分形式：质点系动量对时间的一阶导数，等于作用于该质点系上所有外力的矢量和。根据动量定理的微分形式，有取质点系任一质量为mi的质点，速度为vi：8.2质点和质点系的动量定理TheoreticalMechanics

投影x、y、z

在瞬时t1至t2这段时间内积分，得质点系动量定理的积分形式：质点系在t1至t2时间内的动量的改变量等于作用于该质点系的所有外力在同一时间内的冲量的矢量和，即投影x、y、z

8.2.2质点系的动量定理返回首页8.2质点和质点系的动量定理TheoreticalMechanics

8.2.4动量守恒如果外力系的主矢量为零，即如果外力系的主矢量在某一坐标轴上的投影为零，即质点系动量守恒p=常矢量

=常量

质点系动量守恒返回首页8.2质点和质点系的动量定理TheoreticalMechanics

8.2.3流体在管道中流动时的动压力以定常流动流体动约束力的确定为例，说明质点系动量定理在流体动力学中的应用。一般流体流动的性质是十分复杂的，在此只讨论不可压缩的理想流体，而且流动是定常的，即流体各质点流经空间同一固定点的速度不随时间改变。返回首页8.2质点和质点系的动量定理TheoreticalMechanics

图示管道中充满不可压缩定常流动的流体。管道壁和进出口截面形成一边界面，称为控制面，取控制面ABCD内的流体为研究对象。设进出口截面面积分别为A1和A2，流体速度分别为v1和v2，流体密度为是常量，体积流量qv也为常量。根据连续流条件在瞬时t，所研究流体的动量为pABCD。经过△

t

时间，流体运动到了abcd位置，其动量为pabcd。在△

t时间间隔内质点系动量的增量为dp

8.2.3流体在管道中流动时的动压力返回首页8.2质点和质点系的动量定理TheoreticalMechanics

等号两边同时除以dt

研究流体所受到的外力有：流体的重力W，管壁的反力FN，以及进口截面AB、出口截面CD上的流体压力F1、F2（这些力都是分布力的合力）。8.2.3流体在管道中流动时的动压力返回首页8.2质点和质点系的动量定理TheoreticalMechanics

由动量定理得它表明：在稳定流动中，管内液体在单位时间流出的动量与流入的动量之差，等于作用在管内液体上的体积力与表面力的矢量和（主矢），这就是关于液体流动的欧拉公式。

8.2.3流体在管道中流动时的动压力返回首页8.2质点和质点系的动量定理TheoreticalMechanics

得到附加动约束力FN的表达式若将管壁对于液体的约束力FN分为两部分。为液体动量不改变时，管壁对液体的静约束力；

为对应于动量变化而产生的附加动约束力。则有流量、进出口截面处的速度矢量差越大，附加动约束力越大。因此，设计大流量或高速流动管道时，应考虑附加动约束力的影响。8.2.3流体在管道中流动时的动压力返回首页8.2质点和质点系的动量定理TheoreticalMechanics

例题例一水柱以速度v沿水平方向射入一光滑叶片。设水柱的射入速度与叶片相切，水柱的截面积为A，密度为，水柱离开叶片时的倾角为，不计水柱的重量。若叶片固定不动，求叶片对水柱的附加动约束力主矢的分量Fx和Fy。

解：选择叶片上的水柱为研究对象。因AB、CD两处截面积A和密度均相等，所以v1＝v2＝v，叶片仅改变水流速的方向。

返回首页8.2质点和质点系的动量定理TheoreticalMechanics

例题向x轴投影向y轴投影返回首页8.2质点和质点系的动量定理TheoreticalMechanics

几点讨论：质系动量的变化只决定于外力的主矢量。内力不能改变系统的总动量，只能使系统中各质点间彼此进行动量交换。只有作用于质点系上的外力才能改变质点系的动量。动量守恒方程中所用的速度必须是绝对速度。要确定一个正方向，必须按动量投影的正负去计算。在动力学问题中，动量守恒定律常用来求速度。8.2.4动量守恒返回首页8.2质点和质点系的动量定理TheoreticalMechanics

8.2.4动量守恒返回首页8.2质点和质点系的动量定理例8.3如图所示，物块A可沿光滑水平面自由滑动，其质量为，小球B的质量为，以细杆与物块铰接。设杆长为l，质量不计，初始时系统静止，并有初始摆角；释放后，细杆近似以规律摆动（k为已知常数）。求物块A的最大速度。解：取物块与小球为研究对象。重力及水平面的约束反力均为铅直方向。此系统水平方向不受外力作用，则沿水平方向动量守恒TheoreticalMechanics

8.2.4动量守恒返回首页8.2质点和质点系的动量定理细杆的角速度为，当时，其绝对值最大，此时应有coskt

=

0，即。由此，当细杆铅直时小球相对于物块有最大的水平速度，其值为当此速度向左时，物块应有向右的绝对速度，设为v，而小球向左的绝对速度值为。根据动量守恒定律，有 TheoreticalMechanics

8.2.4动量守恒返回首页8.2质点和质点系的动量定理物块的速度为当时，也有时小球相对于物块有向右的最大速度，可求得物块有向左的最大速度TheoreticalMechanics

例真空中斜向抛出一物体，在最高点时，物体炸裂成两块，一块恰好沿原轨道返回抛射点O，另一块落地点的水平距离OB则是未炸裂时应有水平距离OB0的两倍，求物体炸裂后两块质量之比。例题返回首页8.2质点和质点系的动量定理解：设炸裂后两物块的质量分别为m1与m2，炸裂前共同速度为v，炸裂后的速度分别为v1与v2。TheoreticalMechanics

由于，所以系统在x方向动量守恒。例题设下落的水平距离返回首页8.2质点和质点系的动量定理TheoreticalMechanics

由于炸裂前后，水平方向的运动为匀速运动，水平方向运动的距离正比于水平速度，即同理所以解得例题返回首页8.2质点和质点系的动量定理

TheoreticalMechanics§8.3质心运动定理返回首页第八章动量定理TheoreticalMechanics

8.3质心运动定理返回首页将质点系的动量p=MvC代入动量定理的表达式质心运动定理：质点系的质量与其质心加速度的乘积等于作用于质点系的外力的矢量和。质心运动定理描述的是质点系随同质心的平行移动。TheoreticalMechanics

（1）质系质心的运动，可以视为一质点的运动，如将质系的质量集中在质心上，同时将作用在质系上所有外力都平移到质心上，则质心运动的加速度与所受外力的关系符合牛顿第二定律。几点讨论如在定向爆破中，爆破时质系中各质点的运动轨迹不同，但质心的运动轨迹近似一抛物线，由此可初步估计出大部分物块堆落的地方。返回首页8.3质心运动定理TheoreticalMechanics

返回首页定向爆破8.3质心运动定理TheoreticalMechanics

福州火车站旧站房定向爆破成功(1)返回首页8.3质心运动定理TheoreticalMechanics

福州火车站旧站房定向爆破成功(2)返回首页8.3质心运动定理TheoreticalMechanics

福州火车站旧站房定向爆破成功(3)返回首页8.3质心运动定理TheoreticalMechanics

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西安浐河定向爆破遇尴尬大楼严重倾斜但未倒(1)返回首页8.3质心运动定理TheoreticalMechanics

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西安浐河定向爆破遇尴尬大楼严重倾斜但未倒(3)返回首页8.3质心运动定理TheoreticalMechanics

宜宾一楼定向爆破不成炸楼炸成“比萨斜塔”返回首页8.3质心运动定理TheoreticalMechanics

你知道爆破飞石散落的地点是根据什么计算出来的吗？安放炸药的位置如何确定？

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（2）质系的内力不影响质心的运动，只有外力才能改变质心的运动。返回首页8.3质心运动定理TheoreticalMechanics

汽车行驶是靠车轮与路面的摩擦力。发动机内气体的爆炸力，对汽车来说是内力。返回首页8.3质心运动定理TheoreticalMechanics

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（3）应用时取其投影式返回首页8.3质心运动定理TheoreticalMechanics

（4）刚体系统质心运动定理矢量形式在直角坐标上投影形式是作用于整个刚体系上外力的主矢量返回首页8.3质心运动定理TheoreticalMechanics

质心运动守恒定理返回首页8.3质心运动定理TheoreticalMechanics

返回首页8.3质心运动定理例如图所示，电动机的外壳固定在水平基础上，定子重，转子重。转子的轴通过定子的质心O1，但由于制造误差，转子的质心O2到O1的距离为e。已知转子匀速转动，角速度为。求基础的支座反力。解：取电动机外壳与转子组成质点系。这样可不考虑转子转动的内力；外有定子