概率与数理统计2-1

第二章随机变量及其分布第一节随机变量及其分布

一、随机变量的概念与分类在实际问题中，随机试验的结果可以用数量来表示，由此就产生了随机变量的概念.(1)、有些试验结果本身与数值有关（本身就是一个数）.

例如:掷一颗骰子出现的点数X；七月份桂林的最低与最高温度(X,Y)每天从天津站下火车的人数N；昆虫的产卵数N；每天进入某超市的顾客数X;购买商品的件数Y;顾客排队等候付款的时间T等等.(2)、在有些试验中，试验结果看起来与数值无关，但我们可以引进一个变量来表示它的各种结果.也就是说，把试验结果数值化.如检测一件产品可能出现的两个结果,可以用一个离散变量来描述想一想,检测三件产品时,若X＝“三件产品中的次品数”,X与样本点之间的关系、取值时表示的事件及各取值时的概率如何?正如裁判员在运动场上不叫运动员的名字而叫号码一样，二者建立了一种对应关系.

Problem:这种实值函数与数学分析中的函数一样吗？这种对应关系在数学上理解为定义了一种实值函数.ω.X(ω)R这种对应关系在数学上理解为定义了一种实值函数.ω.X(ω)R①它是试验结果ω的函数，故X(ω)的定义域为样本空间Ω.又由于ω的随机性，因此每次试验前不能预先肯定X(ω)将取哪个值，而只能知道它的取值范围.②由于试验结果ω的出现具有一定的概率，于是X(ω)取每个值或每个确定范围内的值也有一定的概率.设是试验E的样本空间,若则称

X()为上的随机变量r.v.一般用大写字母X,Y,Z,表示1、定义按一定法则简记为r.v.X(randomvariable)而表示随机变量所取的值时,一般采用小写字母x,y,z等表示.引入随机变量后，能否直接用实数表示随机事件？{

X

=

1

}表示事件{

点数为

1}，例，掷骰子试验中，{

X

<

4

}表示事件{

点数不超过

3}，用随机变量的取值或取值范围来表示随机事件再如，明年七月份桂林的最高温度；{

35<

T42}表示事件{

最高温度大于350，但不超过420}例如，从某一学校随机选一学生，测量他的身高.我们可以把可能的身高看作随机变量

X

,然后我们可以提出关于X的各种问题.如

P(X

>

1.7

)=？P(X

≤1.5

)=?P(1.5<X<1.7)

=?注：随机变量的引入，可简化事件的表达.对事件的研究，就转化为对随机变量的研究.也可以说,随机事件是从静态的观点来研究随机现象,而随机变量则是一种动态的观点,在试验之前只知道

X

可能取值的范围，而不能预先肯定它将取哪个值.它的取值与试验结果形成对应，对随机现象统计规律的研究，就由对单个事件及其概率的研究扩大为对随机变量及其取值规律的研究.随机事件这个概念实际上是包容在随机变量这个更广的概念内.随机变量概念的产生是概率论发展史上的重大事件.引入随机变量后，随机试验中的任一随机事件就可以通过随机变量的取值关系式表达出来，

(1)

随机变量

X

是定义在样本空间上的实值函数，

(2)由于试验结果的出现具有一定的概率，引入随机变量的意义?

X

的取值情况;

它取值的概率的分布情况.

随着实验结果的不同而取不同的值，就象数学分析中常量与变量的区别那样.以函数为工具研究随机事件的概率规律通过将随机事件数值化转化为研究随机变量取值的概率规律

使概率可转化为我们所熟知的函数形式

分析工具有了用武之地如何使概率问题转化为实变量的函数形式？

所以随机变量取每个值和每个确定范围内的值也有一定的概率.如何把握一个随机变量

X?

P

PPP我们研究的对象是的概率如何入手将概率问题转化为实变量的函数形式？(

X

=

x

),(

X

x

),(

X

>

x

),

(

x1

X

x2

),…我们研究的对象是随机事件的概率随机变量的取值或取值范围由此引进了分布函数的概念：能否选用一个事件将所有事件都表达出来？

(

X

x

)

A

(

X

x

)

X()P(

)

P本质是什么？

P

这种选择并不是唯一的

函数变量？

将X看作数轴上随机点的坐标，分布函数F(x)的值就表示X落在区间(-,x]的概率.二、随机变量的分布函数1.定义2.1.2设X是随机变量，为X的分布函数.在上式中

X,x

皆为变量，二者有什么区别？X是随机变量，x是自变量.

xF

(

x

)

起什么作用？称随机点落在任意区间(a,

b

]的概率分布函数是一个普通的函数,通过它,我们就可以用分析的工具来研究随机变量的取值规律特殊形式事件的概率请看下例：分布函数是对各类随机变量以及其概率问题的一个统一的描述方法.P

P

P解

求X的分布函数

F(x)和概率P(0<

X

1),

P(X

>

2).

当x

<

0

时，故X的分布函数为=P()=0，当0

x

<

1时，=P(X

=

0)=1/2，当x

1

时，=P({X

=

1}∪{X

=0})=P(X

=

1)+

P(X

=0)

=1.P(0

<

X

1)P(X

>

2)=F(1)-F(0)=1–1/2

=1-

F(2)=1-1=0.且1/2；

.0

1X

F。1

.

。1/2掷一枚质地均匀的硬币,观察出现的是正面还是反面,例注意到X的所有可能取值为

0

和

1，.

.

0

1

xF(x)=P(X

x)]x

F(x)=P(X

x)F(x)=P(X

x)2、分布函数的性质(1)(单调性)F(x)单调不减，即且(3)(右连续性)

F(x)是右连续函数,即对任意的x有(2)(有界性)

注:可以证明F(x)为某一随机变量的分布函数的充要条件是F(x)具有以上三个性质.3、用分布函数计算概率的公式特别地,若F(x)在某点x=a连续时,有请填空注:由于X的分布函数刻画了X取值的概率规律，因此常说X服从F(x),记为X~F(x)

例3如下的反正切函数满足分布函数的三个性质,故为某个随机变量的分布函数,称之为柯西(Cauchy)分布函数.若r.v.X服从柯西分布,求例4已知X的分布函数为求常数A和P(X≤0)及P(0<X≤2).2、随机变量的分类

通常分为两类：如“取到次品的个数”;“110每天收到的呼叫次数”等.随机变量离散型随机变量所有取值可以逐个一一列举例如，“电视机的寿命”;实际中常遇到的“测量误差”等.全部可能取值不仅无穷多，而且还不能一一列举，而是充满一个区间.非离散型随机变量

其中一种重要的类型为连续型随机变量.

三、离散型随机变量及其分布列

1、定义设离散型随机变量X所有可能取值为，称

为离散型随机变量X的概率分布列或分布列（分布律）.记为注:离散型随机变量的分布列也被称做分布一般地,离散型随机变量的分布列用以下方法表示或（2）列表法：P(1）公式法：2、表示方法

从盒中任取3个球取到的白球数X是一个随机变量X可能取的值是0,1,2X取每个值的概率为例所以X的分布列为（1）列表法：(2）公式法~则(k=1,2,…)满足：

k=1,2,…（1）（2）注:这两条性质是判断某个数列是否是一个概率分布列的充要条件3、分布列的基本性质设离散型随机变量X的分布列为非负性正则性P59一批产品的次品率为p,现检测三件产品,若X=“三个产品中的次品数”,试写出X的概率分布.解:依据概率分布的性质:P(X=k)≥0,

a≥0从中解得欲使上述函数为概率分布应有例6.设随机变量X的概率分布为：k=0,1,2,…,试确定常数a.4、分布列与分布函数的关系其中

相邻。设离散型随机变量X的分布列为则

从盒中任取3个球取到的白球数X是一个随机变量X可能取的值是0,1,2前面例，由例5（1）,X的分布列为~求X的分布函数F(x),并求注:离散型r.v.X的分布函数的图形为右连续的阶梯形.在X的可能取值处发生间断,间断点为第一类跳跃间断点,在间断点处有跃度pk

.

离散型r.v.分布函数F(x)是一个右连续的阶梯函数,在x=xk(k=1,2…)处有跳跃值pk=P{X=xk},如下图连续型随机变量X所有可能取值充满一个区间,对这种类型的随机变量,不能象离散型随机变量那样,以指定它取每个值概率的方式,去给出其概率分布,而是通过给出所谓“概率密度函数”的方式.下面我们就来介绍对连续型随机变量的描述方法.设X是随机变量,若存在一个非负可积函数p(x),使得其中F(x)是它的分布函数则称X是连续型r.v.

，p(x)是它的概率密度函数，简称密度函数（或密度）,记为1、定义四、连续型随机变量及其概率密度函数引入直方图和概率密度函数即分布函数是密度函数的积分上限函数.它描述的是r.v.X落入的概率,是图形中阴影部分的面积.注:若X是连续型r.v.，X

～

p(x),则

F(x)=P(Xx)=2、求密度的公式例如，r.v.X服从柯西分布,则分布函数为密度函数x在F(x)的连续可导点，3、概率密度函数的性质(1)(2)这两条性质是判定一个函数p(x)是否为某r.vX的概率密度函数的充要条件

p(x)xo面积为1非负性正则性

注:密度函数p(x)在某点处a的高度，并不反映X取a值的概率.而反映了概率集中在该点附近的程度.4、连续型r.v.的两个重要性质(1)对于连续型r.v.X,P(X=a)=0,即