2022年高考数学一轮复习 三定问题及最值（精练）（原卷版）

9.6三定问题及最值（精练）【题组一定点】1．（2021·北京新农村中学高三开学考试）已知椭圆的离心率为，点在椭圆上.（1）求椭圆的标准方程；（2）过点的直线（不与坐标轴垂直）与椭圆交于、两点，设点关于轴对称点为.直线与轴的交点是否为定点？请说明理由.2．（2021·全国高三开学考试（理））已知双曲线的离心率为，且该双曲线经过点．（1）求双曲线C的方程；（2）设斜率分别为，的两条直线，均经过点，且直线，与双曲线C分别交于A，B两点（A，B异于点Q），若，试判断直线AB是否经过定点，若存在定点，求出该定点坐标；若不存在，说明理由．3．（2021·江苏周市高级中学高三开学考试）在平面直角坐标系中，已知动点到点的距离与它到直线的距离之比为．记点的轨迹为曲线．（1）求曲线的方程；（2）过点作两条互相垂直的直线，．交曲线于，两点，交曲线于，两点，线段的中点为，线段的中点为．证明：直线过定点，并求出该定点坐标．4（2021·全国）已知双曲线（，）的左焦点为，，是双曲线上关于原点对称的两点，直线与双曲线的另一个交点是，直线与双曲线的另一个交点是．当点的坐标为时，．（1）求双曲线的标准方程；（2）当点在双曲线上运动时，证明：直线经过定点．5（2021·全国高三）双曲线经过点，且虚轴的一个顶点到一条渐近线的距离为.（1）求双曲线的方程；（2）过点的两条直线，与双曲线分别交于，两点(，两点不与点重合)，设直线，的斜率分别为，，若，证明：直线过定点.6．（2021·全国高三专题练习）已知曲线，为曲线上一动点，过作两条渐近线的垂线，垂足分别是和.（1）当运动到时，求的值；（2）设直线（不与轴垂直）与曲线交于、两点，与轴正半轴交于点，与轴交于点，若，，且，求证为定点.【题组二定值】1．（2021·湖北襄阳市·襄阳五中高三月考）已知双曲线：的左、右顶点分别为，过右焦点的直线与双曲线的右支交于两点（点在轴上方）．（1）若，求直线的方程；（2）设直线的斜率分别为，，证明：为定值．2．（2021·广东珠海市·高三月考）已知双曲线的一个焦点为，且经过点（1）求双曲线C的标准力程；（2）己知点A是C上一定点，过点的动直线与双曲线C交于P，Q两点，若为定值，求点A的坐标及实数的值．3．（2021·福建高三月考）已知双曲线：(，)的左、右焦点分别为，，双曲线的右顶点在圆：上，且．(1)求双曲线的标准方程；(2)动直线与双曲线恰有1个公共点，且与双曲线的两条渐近线分别交于点、，问(为坐标原点)的面积是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，试说明理由．4．（2021·全国高三月考）已知双曲线与有相同的渐近线，点为的右焦点，为的左，右顶点.（1）求双曲线的标准方程；（2）若直线过点交双曲线的右支于两点，设直线斜率分别为，是否存在实数入使得?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.5．（2021·河北唐山·高三开学考试）已知双曲线E：的离心率为2，点在E上.（1）求E的方程：（2）过点的直线1交E于不同的两点A，B（均异于点P），求直线PA，PB的斜率之和.6．（2021·渝中·重庆巴蜀中学）已知双曲线的渐近线方程为：，且过点（1）求双曲线的标准方程（2）过右焦点且斜率不为的直线与交于，两点，点坐标为，求【题组三定直线】1．（2021·北京二中高三）已知椭圆的离心率为，椭圆C的下顶点和上项点分别为，且，过点且斜率为k的直线l与椭圆C交于M，N两点.（1）求椭圆C的标准方程；（2）当k=2时，求△OMN的面积；（3）求证：直线与直线的交点T恒在一条定直线上.2．（2021·上海徐汇区·位育中学）已知椭圆的左、右焦点分别为、，且椭圆上存在一点P，满足，.（1）求椭圆C的标准方程；（2）已知A、B分别是椭圆C的左、右顶点，过的直线交椭圆C于M、N两点，记直线的交点为T，是否存在一条定直线l，使点T恒在直线l上？3．（2021·福建漳州三中高三）已知复数在复平面内对应的点为，且满足，点的轨迹为曲线.（1）求的方程；（2）设，，若过的直线与交于，两点，且直线与交于点.证明：（i）点在定直线上；（ii）若直线与交于点，则.4．（2021·上海高三）设直线（其中，为整数）与椭圆交于不同两点，，与双曲线交于不同两点，，问是否存在直线，使得向量，若存在，指出这样的直线有多少条？若不存在，请说明理由．5．（2021·江苏南通·高三）已知为抛物线上位于第一象限的点，为的焦点，与交于点(异于点).直线与相切于点，与轴交于点.过点作的垂线交于另一点.（1）证明：线段的中点在定直线上；（2）若点的坐标为，试判断，，三点是否共线.6．（2021·江苏高三）已知拋物线，为拋物线外一点，过点作抛物线的切线交抛物线于，两点，交轴于，两点.（1）若，设的面积为，的面积为，求的值；（2）若，求证：的垂心在定直线上.【题组四最值（范围）】1．（2021·江西景德镇市·景德镇一中高三月考（理））已知椭圆的短轴长为，过下焦点且与轴平行的弦长为.（1）求椭圆的标准方程；（2）若、分别为椭圆的右顶点与上顶点，直线与椭圆相交于、两点，求四边形的面积的最大值及此时的值.2．（2021·上海市控江中学高三开学考试）在平面直角坐标系中，抛物线，点，，为上的两点，在第一象限，满足.（1）求证：直线过定点，并求定点坐标；（2）设为上的动点，求的取值范围；（3）记△的面积为，△的面积为，求的最小值.3．（2021·重庆北碚区·西南大学附中高三月考）已知直线过椭圆的右焦点，且交椭圆于A，B两点，线段AB的中点是.（1）求椭圆的方程；（2）过原点的直线与线段AB相交（不含端点）且交椭圆于C，D两点，求四边形面积的最大值.4．（2021·黑龙江哈尔滨市第六中学校高三（理））如图所示，、分别是椭圆：的左、右焦点，为椭圆上一动点，当点在椭圆的上顶点时，且．（1）求椭圆的标准方程；（2）直线与椭圆的另一交点为，过作直线的垂线，与圆交