数学建模和模型

数学建模2023/2/6第一讲数学建模

两个实例数学建模的全过程数学建模的基本方法和步骤2023/2/6引言数学—各门学科的基础，社会进步的工具。用数学方法解决任何一个实际问题，都必须在实际与数学之间假设一座桥梁。解决过程—实际问题转化为数学问题；数学问题的求解；数学解答回归实际问题。这个过程称为数学建模—为实际问题建立数学模型。2023/2/6数学建模实例一2023/2/6数学建模实例一通常，1kg面，1kg馅，包100个饺子（汤圆）现在1kg面不变，馅比1kg多了，问应多包几个（每个小一点）,还是少包几个（每个大一点）？

…(共n个)问题圆面积S的一个皮，包成体积V的饺子；分为n个皮，每个圆面积s，包成体积v的饺子.SSVvSvSvSvV和n*v那个大？V比n*v大多少？定性分析定量分析2023/2/6数学建模实例一假设

建模应用2023/2/6数学建模实例一包饺子建模过程的基本、关键步骤用数学语言（体积和表面积）表示现实对象（馅和皮）作出简化、合理的假设（厚度一样，形状一样）利用问题蕴含的内在规律（体积和表面积与半径间的几何关系）

日常生活中可用这个模型的结果解释的现象2023/2/6数学建模实例二减速带的间隔应该多大2023/2/6数学建模实例二背景

校园、居民小区的道路中间，常常设置用于限制汽车速度的减速带（路障）。如果要限制车速不超过30km/h，应该相距多远设置一个减速带？汽车通过减速带时速度近于零，过减速带后加速。车速达到30km/h时因为前面有下一个减速带而减速，至减速带处车速又近于零。如此循环达到减速目的。问题分析2023/2/6数学建模实例二假设汽车在两个相邻减速带之间一直做等加速运动和等减速运动

方法一查阅资料加速行驶的测试数减速行驶的测试数需要得到汽车的加速度和减速度方法二：进行测试速度（km/h）010203040时间（s）01.63.24.05.0速度（km/h）403020100时间（s）02.24.05.56.82023/2/6数学建模实例二建模

2023/2/6数学建模实例二参数估计

测试数据最小二乘法

设计减速带间距32m2023/2/6数学建模实例二减速带间距建模过程的基本、关键步骤作出简化、合理的假设（等加速和等加速行驶）利用问题蕴含的内在规律（时间、距离、速度、加速度之间的物理关系）根据测试数据估计模型的参数（加速度和减速度）。

减速带设计中其他可用数学建模研究的问题。例如高度问题，横截面的形状2023/2/6数学建模和数学模型

关于部分现实世界为一定目的而作的抽象、简化的数据结构。是现实世界的简化而本质的描述。是用数学符号、数学公式、程序、图、表等刻画客观事物的本质属性与内在联系的理想化表述。数学模型（MathematicalModel）2023/2/6数学建模和数学模型

对于一个现实对象，为了一个特定目的，根据其内在规律，作出必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构

建立数学模型的过程数学建模的过程一种创新过程数学模型（MathematicalModel）数学建模（MathematicalModeling）2023/2/6数学建模的全过程

现实对象的信息数学模型现实对象的解答数学模型的解答现实世界数学世界表述解释求解验证两次“翻译”的过程实践理论实践2023/2/6数学建模的基本方法

机理分析对客观事物特性的认识内部机理的数量规律测试分析对量测数据的统计分析与数据拟合最好的模型黑箱白箱二者结合机理分析建立模型的结构测试分析确定模型的参数灰箱2023/2/6数学建模基本步骤

模型准备模型假设模型检验模型分析模型构成模型求解模型应用2023/2/6第二讲怎样学习数学建模为什么要学习数学建模时代发展的要求教育改革的需要怎么学习数学建模数学建模能力的培养全面的综合素质能力、初步具备科研能力思考、思考、再思考2023/2/6数学模型由来

欧几里德《几何原本》光反射定律阿基米德浮力定律杠杆原理伽利略落体定律

惯性原理牛顿

万有引力定律

微积分

直到20世纪后半叶数学建模才逐渐受到普遍重视和广泛应用，并且进入大学的课堂2023/2/6数学模型发展科技进步与社会发展的推动计算机技术的出现和迅速发展，为数学建模的应用提供了强有力的工具。高新技术中数学建模与科学计算是必不可少的手段—数学科学是关键的、普遍的、可应用的技术

。数学迅速进入一些诸如经济、生态、人口、地质等领域，为数学建模开拓了许多新的处女地。

数学建模引入教学，顺应时代发展的潮流2023/2/6数学模型发展为教育改革注入强大活力数学教育本质上是一种素质教育。数学教育应培养两种能力：算数学（计算、推导、证明……）和用数学（分析、解决实际问题）。数学建模就是解决实际问题的工具手段。清华大学是国内最早开设课程的高校之一。

传统的数学教学体系和内容偏重前者，忽略后者2023/2/6怎样学习数学建模数学建模是一门技术，更是一门艺术。想象力洞察力判断力创新意识学习、分析、评价、改进别人做过的模型亲自动手，认真做几个实际题目椅子放稳模型2023/2/6椅子放稳模型

在不平的地面上椅子通常三只脚着地—放不稳。

什么条件下才能让椅子四只脚着地—放稳。四腿一样长，椅子脚与地面地接触，四脚连线呈正方形。地面高度连续变化，可视为数学上的连续曲面。地面相对平坦，椅子在任意位置至少三只脚着地。问题模型假设2023/2/6椅子放稳模型

模型建立四个距离（四只脚）对称性两个距离正方形ABCD绕O点旋转2023/2/6椅子放稳模型

模型建立地面为连续曲面

椅子在任意位置至少三只脚着地

椅子旋转90度，对角线AC和BD互换

2023/2/6椅子放稳模型

模型求解2023/2/6建模过程的分析与思考

2023/2/6背景

年1625183019301960197419871999人口(亿)5102030405060世界人口增长概况中国人口增长概况

年19081933195319641982199019952000人口(亿)3.04.76.07.210.311.312.013.0研究人口变化规律控制人口过快增长如何预报人口的增长指数增长模型——马尔萨斯提出(1798)常用的计算公式x(t)~时刻t的人口基本假设

:人口(相对)增长率r

是常数今年人口x0,年增长率rk年后人口随着时间增加，人口按指数规律无限增长指数增长模型的应用及局限性

与19世纪以前欧洲一些地区人口统计数据吻合

适用于19世纪后迁往加拿大的欧洲移民后代

可用于短期人口增长预测

不符合19世纪后多数地区人口增长规律

不能预测较长期的人口增长过程19世纪后人口数据人口增长率r不是常数(逐渐下降)如何预报人口的增长阻滞增长模型(Logistic模型)人口增长到一定数量后，增长率下降的原因：资源、环境等因素对人口增长的阻滞作用且阻滞作用随人口数量增加而变大假设r~固有增长率(x很小时)xm~人口容量（资源、环境能容纳的最大数量）r是x的减函数如何预报人口的增长dx/dtx0xmxm/2xmtx0x(t)~S形曲线,x增加先快后慢x0xm/2阻滞增长模型(Logistic模型)如何预报人口的增长参数估计用指数增长模型或阻滞增长模型作人口预报，必须先估计模型参数r或r,xm

利用统计数据用最小二乘法作拟合例：美国人口数据（单位~百万）186018701880……196019701980199031.438.650.2……179.3204.0226.5251.4专家估计阻滞增长模型(Logistic模型)r=0.2557,xm=392