模糊逻辑与模糊推理

模糊逻辑与模糊推理智能信息处理研究所Motivation一提到数学，人们自然会想到它是精确的(set)。然而精确数学却不能有效描述现实世界里普遍存在的模糊想象，如“好与坏”，“长与短”、“一大堆”，“一小撮”，“太冷”，“太热”，“物美价廉”，这些“量”在人们的头脑都有一个人们普遍接受的标准，利用这些模糊量非但没有影响人们的信息交流，反倒能便于理解与记忆。模糊逻辑是一种精确解决不精确、不完全信息的方法。模糊逻辑可以比较自然地处理人的概念，它是一种通过模仿人的思维方式来表示和分析不确定、不精确信息的方法和工具.模糊逻辑，不同于经典逻辑在真和假之间没有精确的边界，即从真到假之间的转变是逐渐，这个过程通过隶属度函数来描述。模糊并非来源于集合组成元素的随机性，而是来源于抽象思维和概念的不确定性及不精确本质。HistoryTheprecision

ofmathematics（精确数学）owesitssuccessinlargeparttotheeffortsofAristotle（亚里斯多德）。Theireffortsledtoaconcisetheoryoflogicandmathematics.The“LawoftheExcludedMiddle”（排除中间）statesthateverypropositionmusteitherbeTrueorFalse.Plato反对这种非此即彼的思维方法，他认为在真与假之间应该存在一种介于真与假之间的灰色地带的第三区域。Therewerestrongandimmediateobjections（缺陷）.Forexample,Heraclitus（赫拉克利特）proposedthatthingscouldbesimultaneouslyTrueandnotTrue.History一百多年前，罗素曾经指出过二元逻辑的局限性。Lukasiewicz(波兰科学家，卢卡谢维奇)

对亚里斯多德的二值逻辑进行改进。提出了多值逻辑。Intheearly1900’s,Lukasiewiczdescribedathree-valuedlogic.Thethirdvaluecanbetranslatedastheterm“possible,”andheassigneditanumericvaluebetweenTrueandFalse.Later,heexploredfour-valuedlogics,five-valuedlogics,anddeclaredthatinprincipletherewasnothingtopreventthederivationofaninfinite-valuedlogic.HistoryKnuth(高德纳)proposedathree-valuedlogicsimilartoLukasiewicz’s.（卢卡谢维奇）Hespeculated(推测)thatmathematicswouldbecomeevenmoreelegantthanintraditionalbi-valuedlogic.Hisinsightwastousetheintegralrange(区间)[-1,0+1]ratherthan[0,1,2].HistoryLotfiZadeh（扎德）,attheUniversityofCaliforniaatBerkeley,firstpresentedfuzzylogicinthemid-1960's.Zadehdevelopedfuzzylogicasawayofprocessingdata.Insteadofrequiringadataelementtobeeitheramemberornon-memberofaset,heintroducedtheideaofpartialsetmembership.(他首次提出fuzzylogical，引入部分属于的思想)1965年发表关于模糊集合理论的论文。

1966年马里诺斯（Marinos）发表关于模糊逻辑的研究报告。以后，扎德（L.A.Zadeh）又提出关于模糊语言变量的概念。

1974年扎德（L.A.Zadeh）进行有关模糊逻辑推理的研究。扎德的重要贡献在于将模糊和数学统一在一起History模糊理论起源于美国，但是它在美国却因为传统的习惯力量，发展并不顺利，同样在欧洲也受到一定程度的抵制。西方人喜欢在精确问题上钻牛角尖，偏好亚里斯多德的二元逻辑系统。东方人擅长兼蓄思维，西方人娴熟于分析推理，这种文化沉淀上的差异也可以从对模糊逻辑的接受程度上反映出来。模糊是相对于精确而言的。对于多因素的复杂状况，模糊往往显示出更大的精确。过份精确还可能导致过于克板、缺乏灵活性。如，我们到机场去接一位不认识的朋友，需要知道的是对方的几个主要特徵，而不需要对他的高低胖瘦精确到几尺几寸；有的人作演讲，按提纲讲要点，临场发挥，就可以做到疏而不漏；水至清则无鱼，人至察则无友！Application七十年代欧洲进行模糊逻辑在工业方面的应用研究：

实现了第一个试验性的蒸汽机控制；热交换器模糊逻辑控制试验；转炉炼钢模糊逻辑控制试验；温度模糊逻辑控制；十字路口交通控制；污、废水处理等。Application

八十年代日本情况：列车的运行和停车模糊逻辑控制，节能11—14%；汽车速度模糊逻辑控制（加速平滑、上下坡稳定）；港口集装箱起重机的小车行走和卷扬机的运行控制；家电模糊逻辑控制（电饭煲、洗衣机、微波炉、空调、电冰箱等）。Application1987年,日本人研制成功新一代数字模糊微处理器;1990年,美国加利福尼亚的ＴｏｇａｉＩｎｆｒａｌｏｇｉｃ公司推出第二代数字模糊微处理器ＦＣ110;1992年,德国西门子公司宣布第三代数字模糊微处理器Fuzzy166研制成功,从而标志着模糊控制理论、模糊控制系统应用和计算机的结合已进入成熟的实用阶段.模糊逻辑的特点模糊逻辑是界于传统人工智能的符号推理和传统控制理论的数值计算之间的方法。它不依赖于模型，用语言来表示变量，用规则进行模糊推理，处理事物。承认真值(True)与假值(False)的中间过渡性，认为事物在形态和类属方面亦此亦彼，模棱两可，相邻中介之间是相互交叉和渗透的。模糊集定义经典集合模糊集合定义：设在论域U上给定一个映射

CA:U－>{0,1}则：集合CA={u|CA(u)=1,uU}集合A的特征函数为：定义：设在论域U上给定一个映射

A:U－>[0,1]u|－>A(u)则:A称作论域U上的模糊集，A(u)称为A的隶属函数。隶属函数为0或1的特例BivalenceandFuzzCrispsetvs.FuzzysetAtraditionalcrispsetAfuzzysetCrispsetvs.Fuzzyset模糊集概念－举例经典集合模糊集合(1)U为离散的(1)U为离散的

876543214cmCA＝{长度大于4cm的线段}则：CA={8,7,6,5}即：A＝{长线段}则：A=?根据线段越短属于长线段的隶属度递减可以设：

876543214cm

123456781

123456781模糊与概率Fuzzysystemsandprobabilityoperateoverthesamenumericrange.[0，1.0].bothdescribeuncertaintyTheprobabilisticapproachyields(描述)thenatural-languagestatement,“Thereisan80%chancethatJohnisbalding.”Thefuzzyterminology(术语)correspondsto“John'sdegreeofmembershipwithinthesetofbaldingpeopleis0.80.”

模糊和概率是否不确定性就是随机性？概率的概念是否包含了所有的不确定性的概念？

Bayesiancamp：概率是一种主观的先验知识，不是一种频率和客观测量值(赌博为例，赌徒总认为他所认为事件概率大)

Lindley：概率是对不确定性唯一有效并充分的描述，所有其他方法都是不充分的(直接指向模糊理论)

随机和模糊在概念和理论上都是有区别的相似：通过单位间隔[0,1]间的数来表述不确定性，都兼有集合和命题的结合律、交换律、分配律区别：对待。经典集合论，代表概率上不可能的事件。而模糊建立在Randomnessvs.FuzzinessExample1:Thereisa20%chancetorain.(probability&objectiveness，客观)It’salightrain.(fuzziness&subjectiveness，主观)Example2:Nextfigurewillbeanellipseoracircle,a50%chanceforeveryoccasion.(probability&objectiveness)Nextfigurewillbeaninexactellipse.(fuzziness&subjectiveness)orAninexactellipseSetsandFuzzySetsClassicalsetsarealsocalledcrisp(sets)(易碎集和).(列举)Lists:A={apples,oranges,cherries,mangoes}A={a1,a2,a3}A={2,4,6,8,…}(定义)

Formulas:A={x|xisanevennaturalnumber}A={x|x=2n,nisanaturalnumber}(特征函数)MembershiporcharacteristicfunctionClassicalsets用特征函数可以表示一个集合。例如，一个学习小组共6人{A(女),B(男),C(男),D(女),E(男),F(男)},则男生和女生的集合可以分别表示为。男生=0/x1+1/x2+1/x3+0/x4+1/x5+1/x6女生=1/x1+0/x2+0/x3+1/x4+0/x5+0/x6经典集合的运算(并、交、补、差)经典集合的运算例S={a,b,c,d},A={a,b,c},B={b,c,d}使用隶属度，A,B两个集合可表示为：A=1/a+1/b+1/c+0/dB=0/a+1/b+1/c+1/dAUB=max(1,0)/a+max(1,1)/b+max(1,1)/c+max(0,1)/dAC=(1-1)/a+(1-1)/b+(1-1)/c+(1-0)/dBC=(1-0)/a+(1-1)/b+(1-1)/c+(1-1)/d=1/a+0/b+0/c+0/dA-B=min(1,1)/a+min(1,0)/b+min(1,0)/c+min(0,0)/d1/a+0/b+0/c+0/d隶属度函数给定论域U上的一个模糊集合F用一个在闭区间[0，1]上取值的隶属度函数表示，即u隶属集合F的程度，即：常见隶属度函数定义为：AfuzzysetAinXisexpressedasasetoforderedpairs:UniverseoruniverseofdiscourseFuzzysetMembershipfunction(MF)Afuzzysetistotallycharacterizedbyamembershipfunction(MF).模糊集合表示对于离散论域。模糊集合的表示方法和经典集合表示方法的相同：可用特征函数法（序偶法）、扎德表示法、、向量法表示。假设论域X={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9},设A表示一个接近于0的模糊集合，各元素的隶属度函数依次为={1.0,0.9,0.8,0.7,0.6,0.5,0.4,0.3,0.2,0.1},则A可表示为

序偶法

{(0，1.0),(1，0.9),(2,0.8),(3,0.7),(4,0.6),(5,0.5),(6,0.4),(7,0.3),(8,0.2),(9,0.1)}

扎德表示法：

向量表示法

:{1,0.9,0.8,0.7,0.6,0.5,0.4,0.3,0.2,0.1}注：用扎德方法表示时，隶属度函数等于0的项可以省略。用向量表示时，隶属度函数等于0的项不可以省略。

模糊集合表示如果论域U是实数域，即U，论域中有无穷多个连续的点，该论域称为连续论域,连续论域上的模糊集合可表示为:这里的积分号也不是通常的含义，该式只是表示对论域中每个元素都定义了相应的隶属函数.若以年龄作为论域,并设X=[0，200]。设O表示模糊集合“年老”，其隶属度函数为：则年老集合可表示为：模糊集两要素：论域、隶属度函数0<x<50X>50X={0,1,2,3,4,5,6}为家庭可以拥有孩子的数目模糊集合A=“家庭拥有孩子最明智的个数”A={(0,0.1),(1,0.3),(2,0.7),(3,1),(4,0.7),(5,0.3),(6,0.1)}令X=R+表示人类可能年龄集合，模糊集合B=“50岁左右”可以表示为B={x,μ(x)}其中μ(x)=1/(1+((x-50)/10)4)幂集、全集、空集论域U中模糊子集的全体，称为U中的模糊幂集，记作F(U)，即：对于任一，若，则称A为空集，若，则称A=U为全集。几个定义支集(>0){x|μA(x)>0}核(=1){x|μA(x)=1}正态性(=1，存在),{x|μA(x)=1}非空交叉点(=0.5)，{x|μA(x)=0.5}（强）截集，Aα={x|μA(x)>α}凸性模糊数：实轴，满足正态和凸对称左开，右开，闭模糊集合A是左开的，如果和模糊集合A是右开的，如果和闭，和对于一个正态的模糊集合和凸的模糊集合，带宽或宽度定义为Width(A)=|x1-x2|其中x1和x2的隶属度为0.5例模糊集合的基本运算模糊集合的基本运算模糊集合的基本运算模糊集合的基本运算模糊集合的基本运算定理

模糊集运算的基本定律：设U为论域，A、B、C为U中的任意模糊子集，则下列等式成立：（1）、幂等律（2）、结合律（3）、交换律（4）、分配律（5）、同一律（6）、零一律（7）、吸收律（8）、德.摩根律（9）、双重否认律模糊集合的几何图示：将论域X的所有模糊子集的集合——模糊幂集合看成一个超立方体，将一个模糊集合看成是立方体内的一个点。非模糊集对应立方体的顶点。中点离各顶点等距，最大模糊。模糊集合A是单位“二维立方体”中的一个点，其坐标(匹配值)是（1/3，3/4）。表明第一个元素x1属于A的程度是1/3，第二个元素x2的程度是3/4。立方体包含了两个元素{x1，x2}所有可能的模糊子集。四个顶点代表{x1，x2}的幂集2X。对角线连接了非模糊集合的补集。越靠近模糊立方体的中点，A就越模糊。当A到达中点时，所有四个点汇聚到中点处(模糊黑洞)。越靠近最近的顶点，A就越确定。当A到达顶点时，全部四个点发散到四个顶点，得到二值幂集合2X。模糊立方体将Aristotelian集合“流放”到顶点处。Proposition:Aisproperlyfuzzyiffiff模糊集合的大小——基数A=(1/3,3/4)的基数等于M(A)=1/3+3/4=13/12。（X,In,M）定义了模糊理论的基本测量空间。M(A)等于从原点到A的矢量的模糊汉明范数(l1范数)。模糊集合之间的距离两个模糊集合A和B的距离：距离就是欧几里德距离。最简单的距离就是模糊汉明距离，它是坐标差值的绝对值之和。利用模糊汉明距离，基数M可以重写成距离的形式：模糊集合的模糊程度——模糊熵A的模糊熵E(A)，在单位超立方体In中从0到1，其中顶点的熵为0，表明不模糊，中点的熵为1，是最大熵。从顶点到中点，熵逐渐增大。从几何图形上来考虑可以得到熵的比例形式：常

见

一

维

隶

属

度

函

数钟型隶属度函数改变c和a可改变隶属度函数的中心和宽度，通过b来控制交叉点处的斜度。Sigmoid隶属度函数此类函数常用于人工神经网络。参数a定义左开和右开。适合用来描述“非常大”或“非常负”。(b)和(d)的作用在于构造闭且非对称的隶属度函数。二维隶属度函数二维隶属度函数一维扩展(CylindricalExtension)BasesetACylindricalExt.ofA2DMFProjection(二维投影)Two-dimensionalMFProjectionontoXProjectionontoYproject.m通过极小极大运算产生二维隶属度函数Trap(x)=trapezoid(x;-6,-2,2,6)Trap(y)=trapezoid(y;-6,-2,2,6)Bell(x)=bell(x;4,3,0);bell(y)=bell(y;4,3,0)隶属度函数实质上反映的是事物的渐变性遵守的基本原则：1、表示隶属度函数的模糊集合必须是凸模糊集合；例如“速度适中”的隶属度函数—在一定范围内或者一定条件下，模糊概念的隶属度具有一定的稳定性—从最大的隶属度函点出发向两边延伸时，其隶属度函数的值必须是单调递减的，而不许有波浪性—总之，隶属度函数呈单峰馒头形(凸模糊集合，一般用三角形和梯形作为隶属度函数曲线)凸模糊集合非凸模糊集合2、变量所取隶属度函数通常是对称和平衡的模糊变量的标称值选择一般取3—9个为宜，通常取奇数（平衡）——在“零”、“适中”或者“合适”集合的两边语言值通常取对称（如速度适中，一边取“速度高”，一般另一边取“速度低”，满足对称）。3、隶属度函数要符合人们的语义顺序，避免不恰当的重叠在相同的论域上使用的具有语义顺序关系的若干标称的模糊集合，应该合理的排列。下面的排列是错误的。适中高很高032速度交叉越界的隶属度函数示意图4、论域中的每个点应该至少属于一个隶属度函数的区域，同时它一般应该属于至多不超过两个隶属度函数的区域。5、对于同一输入，没有两个隶属度函数会同时有最大隶属度。(最大代表集合的最明显特征）6、对两个隶属度函数重叠时，重叠部分对于两个隶属度函数的最大隶属度不应该有交叉。重叠指数重叠指数是衡量隶属度函数与模糊控制器性能关系的一个重要指标。———重叠率和重叠鲁棒性重叠范围附近隶属函数范围l一般取0.2——0.6一般取0.3——0.7隶属度函数是模糊控制的应用基础如何确定隶属函数?初步确定隶属函数自学习修改和完善隶属函数的选择方法模糊统计法例证法专家经验法二元对比排序法(1)模糊统计法模糊统计法的基本思想是对论域U上的一个确定元素v是否属于论域上的一个可变的清晰集的判断。模糊集——如：年轻人清晰集——“17—30岁的人“、25—35岁的人”，对于同一个模糊集可以有不同的清晰集。模糊统计法计算步骤：N越大，隶属频率就越稳定，但是计算量比较大。（2）例证法例证法由已知的有限个隶属函数的值，来估计论域U上的模糊子集A的隶属函数。（3）专家经验法专家经验法是根据专家的实际经验给出模糊信息的处理算式或者相应的权系数值隶属函数的一种方法。（4）二元对比排序法二元对比排序法是通过多个事物之间两两对比来确定某种特征下的顺序，由此来确定这些失去对该特征的隶属函数的大体形状。模糊控制中的隶属函数图形大概有以下三大类：1、左大右小的偏小型下降函数（Z函数）2、左小右大的偏大型上升函数（S函数）3、对称型凸函数（II函数）x01.0u(x)x01.0u(x)x01.0u(x)x01.0u(x)x01.0u(x)x01.0u(x)图Z函数图S函数xx01.0u(x)x01.0u(x)x01.0u(x)x01.0u(x)01.0u(x)图II函数模糊补、并、交模糊补算子是满足以下公理条件的连续函数N:[0,1]->[0,1]，即N(0)=1,N(1)=0;N(a)>N(b)，如果a<b;Sugeno补

Yager补模糊交算子：T为T范式算子

Ns(a)=(1-a)/(1+sa)Nw(a)=(1-aw)1/wT范式算子(交)T范式算子是一个两变量函数T(.,.)满足：

T(0,0)=0;T(a,1)=T(1,a)=a;(与精确集合兼容)T(a,b)<T(c,d),如果a<c且b<d;(A或B中隶属度的减小不会导致A交B的隶属度增大)T(a,b)=T(b,a);(与次序无关）T(a,T(b,c))=T(T(a,b),C)(任意次序，结合率);常见T范式极小Tmin(a,b)=min(a,b)代数积Tap(a,b)=ab有界积Tbp(a,b)=max(0,a+b-1)强积Tdp(a,b)=a,ifb=1;b,ifa=1;else0;

Tmin>=Tap=>Tbp=>Tdp(当a和b中有一个为1,0时相等）T范式算子(交)a=trapezeoid(x;3,8,12,17)b=trapezeoid(x;3,8,12,17)T协范式模糊并算子通常由函数S：[0，1]*[0,1]--[0,1]来表示，记为：S范式算子是一个两变量函数T(.,.)满足：

S(1,1)=1;S(a,0)=S(0,a)=a;S(a,b)<S(c,d),如果a<c且b<d;S(a,b)=S(b,a);S(a,S(b,c))=S(S(a,b),c);常见S范式极大Tmax(a,b)=max(a,b),代数和Tap(a,b)=

a+b-ab有界积Tbp(a,b)=

min(1,a+b)强积Tap(a,b)=

T(a,b)=a,ifb=0;b,ifa=0;else1;Tmax=<Tap=<Tbp=<Tdp(当a和b中有一个为0,1时相等）T协范式ExtensionPrinciple(扩展原理)扩展原理为精确域上的数字表达式扩展到模糊域提供一个通道。Givenaformulaf(x)andafuzzysetAdefinedby,howdowecomputethemembershipfunctionoff(A)?Howthisisdoneiswhatiscalledtheextensionprinciple(ofprofessorZadeh).Whattheextensionprinciplesaysisthatf(A)=f(A()).Theformaldefinitionis:[f(A)](y)=supx|y=f(x){}例A=0.1/-2+0.4/-1+0.8/0+0.9/1+0.3/2;F(x)=x*x-3;B=0.1/1+0.4/-2+0.8/-3+0.9/-2+0.3/1;B=0.8/3+max(0.4,0.9)/-2+max(0.1,0.3)/1扩展原理假设函数f是从笛卡尔积空间X1*X2…..Xn到一维空间Y的映射，并且A1,…,An分别是x1*x2…..xn的n个模糊集合，则扩展原理表明由映射f导出模糊集合B的隶属度函数为：

扩展原理F(x)=(x-1)*(x-1)-1x>0;xx<0-1关系描写事物之间联系的数学模型之一就是关系。如：例如x对y有余弦关系（y=cosx）；

a对b有大小次序关系（a>b）。在现代数学中，关系常用集合来表现。在集合A与集合B中各取出一元素排列成序对（或称序偶），所有这样的序对构成的集合叫做A和B的直积集，记为：A×B＝{（a，b）|a∈A，b∈B}。序对(a，b)是和顺序有关的，即（a，b）≠（b，a），所以A×B≠B×A注意：关系是有向的模糊关系模糊关系是普通关系的推广，普通关系只能描述元素间关系的有无，而模糊关系则描述元素之间关系的多少。在医学上常用公式：体重B（公斤）=身高A（厘米）-100来表示标准体重，这就给出了身高A与体重B的普通关系，若A={140，150，160，170，180}B={40，50，60，70，80}身高与体重的普通关系如下表所示：但人胖瘦不同，对于非标准的情况，身高与体重的关系应该以接近标准的程度来描述，这就导致产生如下表所示的模糊关系。显然，它能更深刻、更完整地给出身高与体重的对应关系模糊关系例二元模糊关系是X*Y上的模糊集合，将X*Y上的每个元素映射为0到1之间的隶属度。定义设X和Y是两个论域，则关系

R={((x,y),(x,y))}常见的二元关系x接近于y；（x,y是数字）

x取决于y；（x,y是事件）

x和y看上去很相似（x,y是人或物体)如x是大的，则y是小的(x是观察到的数，Y为采取的行动推理）模糊关系：U、V是论域，则称集合U×V＝{(u,v)|uU,vV}为笛 卡儿积，以U×V为域，设RF(U×V)，它的隶属函数：就确定了从U到V的模糊关系记做：注意：关系是有向的当U和V是有限的时候，可以用行表示U，列表示V则域U×V上的关系R可以表示为：1000.9100.90.80.5＝R张三李四王二麻张三李四王二麻模糊矩阵：设矩阵R=(rij)m×nrij[0,1]则称R为模糊矩阵 特别当rij{0,1}则称R为布尔矩阵。例X=Y=R+，且R=“y远远大于x”，R的隶属度函数主观定义为：如果x={3，4，5}，Y={3，4，5，6，7}则关系矩阵：

xy例如：当U=V={张三、李四、王二麻}，则：U×V＝{(张三,张三),(张三,李四),(张三,王二麻),(李四,李四),(李四,张三),(李四,王二麻), (王二麻,王二麻),(王二麻,张三),(王二麻,李四)}

模糊关系R=(1,0,0,1,0.9,0,0.5,0.9,0.8)，表示三者之间的信任关系。张三王二麻李四

100010.50.90.90.81相等2包含3并4交5余R1:X与Y具有血缘关系；R2：X与Y具有兄弟关系，R3：X与Y同是某人的儿子模糊关系复合运算在日常生活中，两个单纯关系的组合，可以构一种新的合成关系。例如，有u,v,w三个人，若u是v的妹妹，而v又是w的丈夫，则与就是一种新的关系，即姑嫂关系。用关系式表示的话,可写作姑嫂=兄妹*夫妻,其中是*合成运算符。扎德所提出极大-极小复合模糊关系复合运算极大-乘积复合例：R1=“x与y相关”R2=“y与z相关”X={1，2，3}，Y={y1,y2,y3,y4},Z={a,b}R1=R2=R3（2，a）=R1。R2（2，a）=极大-极小max(min(0.4,0.9),……min(0.9,0.7))R3（2，a）=R1。R2（2，a）=极大-乘积Max(0.4*0.9,………,0.9*0.7)X=2Z=a123y1y2y3y4ab0.40.20.80.90.90.20.50.7假设有两个模糊关系的合成如下：则模糊关系P与模糊关系Q的合成为：

语言变量采用近似的方式采用模糊集合而不精确数字来表示和概括信息。（如年纪，身高，红色）语言变量语言变量。可用一个有五个元素的集合(x,T(x),X,G,M)来表征，其中x是语言变量名；T(x)为语言变量x的语言值或语言术语集合；X为语言变量x的论域；G为产生T(x)中术语的句法规则，用于产生语言变量值的；M是赋予每个语言值A以含义M(A)的语法规则，即隶属度函数。T(年纪）={年轻，不年轻，不很年轻,…,

中年，不是中年,…,

年老，非常年老,…,

不年轻也不老,….}语言变量T（年纪）中的每一个术语可表征为论域X=[0，100]上的模糊集合，通常我们用“年纪是青的”来表示给语言变量“年纪”赋以语言值“年轻“。相反，当将年纪作为一个数值变量，使用表达式”年纪=20”来赋予数值变量“年纪”以数值20。语言变量句法规则：通过否定词（不）或程度词（非常、或多或少）来修饰几个基本术语（年轻，年老，中年）来产生句法规则。压缩与扩张算子K>1,压缩（很）；k<1,扩张，有点为复合语言术语建立隶属度函数或多或少有些年老（年老）0.5不年轻也不年老(-年轻)交(-年老)年轻但不是太年轻(年轻)交(-年轻)2特别年老年轻8对比增强算子作用隶属度大于0.5，增大它；小于0.5，减少它我们定义A

为

x

值接近0的模糊集合一个语言运算子的例子。

正交性论域X上的语言变量x的一个术语集合T=t1,…,tn是正交，如果满足下列性质如T1=A，T2=Ac正交性（例）传统命题逻辑的推理传统的命题逻辑中，命题的“真”和“假”必须具有意义。逻辑推理就是给定一个命题，组合成另一个命题的过程。组合的基本操作：1）合取Conjunction,,“交”条件2）析取Disjunction,“并”3）隐含Implication,“ifthen”逆操作Inversion5)等效关系Equivalence，“p即q”。传统命题逻辑的推理模糊命题模糊命题：具有模糊性的陈述句。用大写字母表示;模糊命题变量：一个模糊命题可以看作是在[0,1]取值的变量,称之为模糊命题变量，简称模糊变量，常以小写字母x,y,z表示。命题的运算命题的运算（命题联结词）：合取、析取、取否、 蕴涵、等价 。一般前 三项为最大、最小和补运算，也可以为*和*。模糊if-then规则模糊规则是对自然或人工语言中的单词和句子定量建模的有效工具。通过将模糊规则理解为恰当的模糊关系，可以研究不同的方案。模糊if-then规则模糊规则也称模糊隐含，模糊条件句，一般如：

ifx是A，theny是B。其中A和B分别是论域X和Y上的模糊集合定义的语言值。如：如果压力高，则容量小；如果路滑，则驾车危险；西红柿是红的，则它熟啦；如果速度快，则略为刹车；在使用模糊规则对系统进行分析和建模之前，必须将“ifx是A，theny是B”的意义形式化。基本上，这个规则描述的是两个变量x，y之间的关系；即模糊规则可以定义为乘积空间X*Y上的二元模糊关系R，一般来讲有两种理解方法.模糊if-then规则的理解方法即，则可写出四种不同格式(T范式,交)：ABABTTTTTTFFFFFTTTTFFTTT蕴含AB与或是等效的(！AUB)我们可以将模糊规则视为模糊蕴含，将明确运算子“”、“”、以及“¯”分别用模糊并集、模糊交集、以及模糊补集取代即可。至于如何看待这种模糊蕴涵或模糊关系，则有各种不同的作法，以下是一些常用的型式：

Dienes-RescherImplication:LukasieweiczImplication:ZadelImplication:GodelImplication:在各类T范式和T协范式算子基础上，可以得到若干计算模糊关系R=AB的方法，可以看出R可以看作具有二维MF函数的模糊集合：

模糊推理模糊推理也称近似推理，是从模糊规则if-then规则和已知事实中得出结论的推理过程，如

如果西红柿是红的，则它熟啦.如果西红柿有点红？西红柿有点熟。x为A’(前提1)y为B’(结论)准则p1准则p2准则p3准则p4x为Ax为非常Ax为差不多Ax为非Ay为By为非常By为差不多By为未知1）一维模糊集合的圆柱扩展2）模糊集合的投影推理规则复合模糊集合A

的柱状扩充C(A)的隶属函数是模糊集合C(A)R

的隶属函数是将C(A)R投影至Y

上，可得此式就是所谓的推理的合成规则

RABC(A)YX推理复合规则传统的推理传统的推理属于假言推理，即可以从A的真实性和隐含关系A-〉B推得命题B的真实性。然而，人类推理的大多情况是近似的方式应用假言推理，即假定有相同的隐含规则“如果西红柿是红的，则它是熟的”，而且已知“西红柿或多或少有些红”，则可推的“西红柿或多或少有点熟“。则可写作为：其中A/接近于A，B/接近于B。当A，B，A/都是适当论域的模糊集合时，前面的推理过程称为近似推理或模糊推理。也称广义假言推理。模糊推理设A，A/和B分别是X，X和Y上的模糊集合，模糊隐含A--->B表示X*Y上的模糊关系R，则由“x是A/”和模糊规则“如果X是A，则Y是B”导出的模糊集合B/定义为：

对于单一前件的单一规则模糊推理对于多个前件的单一规则具有两个前件的模糊if-then规则通常写为“如果x是A，y是B，则z是C”，GMP（广义假言推理）相应的问题为：前提1（事实）x是A/，y是B/

前提2（规则）如果x是A，y是B，则z是C后件（结论）z是C/。2.多前提单规则上式的前半部分称为激励程度或满足度，表示前件部分被满足的程度。3)多前提多规则隶属函数的计算：模糊推理前两部分称为激励强度和饱和度，表示规则前件部分被满足的程度。模糊推理过程可分为四步

1.计算匹配度2.计算激励度（某个规则激励程度）3.对规则的后件作用激励强度，生成有效的后件的MF表示在一个模糊隐含句中4.综合所有的有效后件，求得总输出MF模糊推理系统模糊推理系统是建立在模糊集合理论，模糊if-then规则和模糊推理等概念基础之上的先进的计算框架。模糊推理系统包括三部分：规则库；数据库，所有隶属度函数；推理机制。模糊推理系统★单点模糊化★非单点模糊化去模糊化通过模糊推理得到的结果是一个模糊集合或者隶属函数，但在实际应用中，特别是在模糊逻辑控制中，必须要用一确定的值才能去控制实际的系统。在推理得到的模糊集合中取一个相对最能代表这个模糊集合的单值的过程就称作解模糊判决，也称清晰化计算。解模糊判决通常有下述几种方法，不同的方法所得到的结果也是不同的。理论上用重心法比较合理，但是计算比较复杂，故在实时性要求高的系统不采用这种方法。最简单的方法是最大隶属度方法，这种方法取所有模糊集合或者隶属函数中隶属度最大的那个值作为输出，但是这种方法未顾及其它隶属度较小的那些值的影响，代表性不好，所以它经常用于简单的系统。介于这两者之间的还有各种平均法：如加权平均法、隶属度限幅元素平均法等。重心法所谓重心法(centerofgrevity,简称COG)就是取模糊隶属度函数曲线与横坐标轴围成面积的重心作为代表点。理论上说，我们应该计算输出范围内一系列连续点的重心，即：

面积等分法面积等分法满足：

其中极大平均法极大平均法ZMOM：ZMOM使MF达到极大值的z的平均值：其中极大最小法与极大最大法极大最小法ZSOM：ZSOM使得隶属度函数极大化的最小的z。极大最大法ZLOM：ZLOM使得隶属度函数极大化的最大的z。去模糊化图示例1一个具有三条规则的单输入，如果x小则y小；如果x中则y中；如果x大则y大。使用极大极小复合和中心去模糊化例1例2两输入规则：如果X小y小则Z负大。如果X小y大则Z负小。如果X大y小则Z正小。如果X大y大则Z正大。例2使用极大极小复合和中心去模糊化例2FuzzyLogicSystemThesubway(地铁)inSendai(仙台),JapanusesafuzzylogiccontrolsystemdevelopedbySerjiYasunobuofHitachi(日立).Ittook8yearstocompleteandwasfinallyputintousein1987.ControlSystemBasedonrulesoflogicobtainedfromtraindriverssoastomodelrealhumandecisionsascloselyaspossible(通过向火车司机学习，来获得和人类决策尽可能相同的决策规则)Task:Controlsthespeedatwhichthetraintakescurvesaswellastheaccelerationandbrakingsystemsofthetrain(控制火车在转弯时的速度,以及加速和停车时的速度).模糊控制过程要实现语言控制的模糊逻辑控制器，就必须解决三个基本问题:

第一:先通过传感器把要监测的物理量变成电量，再通过模数转换器转换成模糊集合的隶属函数，这一步就称为精确量的模糊化或者模糊量化，其目的是把传感器的输入转换成知识库可以理解和操作的变量格式。

第二:根据有经验的操作者或者专家的经验定出模糊控制规则，并进行模糊逻辑推理，以得到一个模糊输出集合即一个新的模糊隶属函数，这一步称为模糊控制规则形成和推理，其目的是用模糊输入值去适配控制规则，为每一个控制规则确定其适配的程度，并且通过加权计算合并那些规则的输出。

第三:根据模糊逻辑推理得到的输出模糊隶属函数，用不同的方法找一个具有代表性的精确值作为控制量，这一步称为模糊输出量的解模糊判决；其目的是把分布范围概括合并成单点的输出值，加到执行器上实现控制。模糊控制器基本结构ut是被控对象的输入，yt是被控对象的输出，st是参考输入，et=st-yt是误差。它根据误差信号et产生合适的控制作用ut，输出给被控对象。模糊化接口一.模糊化接口（Fuzzification）这部分的作用是将输入的精确量转化成模糊化量。其中输入量包括外界的参考输入，系统的输出或状态等。模糊化的具体过程如下：（1）首先对这些输入量进行处理以变成模糊控制器要求的输入量。（2）将上述已经处理过的输入量进行尺度变换，使其变换到各自的的论域范围。（3）将已经变换到论域范围的输入量进行模糊处理，使原先精确的输入量变成模糊量，并用相应的模糊集合来表示知识库知识库中包含了具体应用领域中的知识和要求的控制目标。它通常由数据库和模糊控制规则库两部分组成。（1）数据库主要包括各语言变量的隶属度函数，尺度变换因子以及模糊空间的分级数等。（2）规则库包括了用模糊语言变量表示的一系列控制规则。他们反映了控制专家的经验和知识。模糊推理模糊推理是模糊控制器的核心，它具有模拟人的基于模糊概念的推理能力。该推理过程是基于模糊逻辑中的蕴含关系及推理规则来进行的解模糊接口清晰化（解模糊接口）清晰化的作用是将模糊推理得到的控制量（模糊量）变换为实际用于控制的清晰量。它包含以下两部分内容：（1）将模糊的控制量经清晰化变换变成表示在论域范围的清晰量。（2）将表示在论域范围的清晰量经尺度变换变成实际的控制量。装卸站台举例：货车倒车

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B2S2S3S2S3CEB1B2B3S2S1CEB1B2规则：x=6x=14数！必须规定它们的隶属函和对于输入xjx=6x=14推理举例:max-min乘积总的输出模糊集合Clustering(聚类）REMARKS:(1)Thedataset,inthecaseofstudentswouldincludesuchthingsasage,school,incomeofparents,numberofyearsasstudent,maritalstatus数据集

(2)Classicalclusteranalysiswouldpartitionthesetofstudent(withrespecttotheircharacteristics;thatis,theitemsinthedataset)intodisjointsetsPisothatwewouldhave:Whatdoes“similar”mean?LeastsquareddifferenceMaximumpair-wisedistanceHowmanyclasses“should”therebe?Sometimestheproblemwilldictate;e.g.,classifyinglettersor