弹塑性力学第十章

2023/2/61第十章弹性力学的能量原理§10-1几个基本概念和术语§10-2虚功方程§10-3功的互等定理

§10-4虚位移原理和最小势能原理§10-5虚应力原理和最小余能原理§10-6基于能量原理的近似解法2023/2/62第十章弹性力学的能量原理

弹性力学的解法之一为弹性力学边值问题求解体系——静力法。在前面各章中就围绕平面问题、扭转问题和空间轴对称问题进行了具体分析和研究。2023/2/63第十章弹性力学的能量原理

弹性力学问题的解法还有另一种解法：以能量形来建立弹性力学求解方程——能量法（从数学意义上说也可认为变分法）。本章主要介绍几个基本能量原理以及基于能量原理的近似解法。在介绍能量原理以前，先介绍几个基本概念和术语。2023/2/64§10-1几个基本概念和术语1.1应变能U和应变余能Uc：dijijij应变能

U在第四章中已定义过：应变能密度2023/2/65——弹性关系

如果将几何关系引入应变能,U、W

为位移的函数。应变余能（类似应变能）定义§10-1几个基本概念和术语2023/2/66应变余能密度——单位体积的应变余能Wc与积分路径无关，只与终止状态和初始状态有关。

Wc=ijij

为全微分§10-1几个基本概念和术语dijijijdij2023/2/67

——逆弹性关系且

W+Wc=ijij

§10-1几个基本概念和术语dijijijdij2023/2/68

但§10-1几个基本概念和术语材料为线弹性时2023/2/69各向同性线性材料的应力应变关系§10-1几个基本概念和术语将几何关系引入上式U=U(ui)应变能是位移的函数2023/2/610

代入Uc表达式各向同性线性材料的应力应变关系§10-1几个基本概念和术语2023/2/611§10-1几个基本概念和术语应变能、应变余能的计算举例xolP图示等截面杆，承受轴向荷载P作用。杆截面面积为

A,材料应力—应变关系分别为（1）=E，(2)=E1/2.试计算外力功T、应变能U和应变余能Uc。解：（1）=E2023/2/612§10-1几个基本概念和术语xolP

T=U=Uc=Pl/2l=Pl/(EA)P=N=lEA/l,U=l2EA/(2l),Uc=P2l/(2EA),（2）=E1/2T=U=2023/2/613§10-1几个基本概念和术语xolP

T=U2023/2/614§10-1几个基本概念和术语xolPUc=Pl–U=Pl-U2023/2/615§10-1几个基本概念和术语作业：图示结构各杆等截面杆，截面面积为A,结点C承受荷载P作用,材料应力—应变关系分别为（1）=E，(2)=E1/2。试计算结构的应变能U和应变余能Uc。lPCBAx

ylC’2023/2/6161.2可能位移ui(k)和可能应变ij(k)：可能应变ij(k)：由ui(k)通过几何方程导出的

可能位移ui(k)：在V内连续且可微，在

su上满足：§10-1几个基本概念和术语2023/2/6171.3可能应力ij(k)：ij,j(k)+fi=0

(a)在s上满足

(b)满足式(a)、（b)——满足静力方程可能应力

ij(k)：在V内满足

§10-1几个基本概念和术语2023/2/618

两种可能位移ui(k1)和ui(k2)之差称为虚位移ui，而由两种可能位移状态对应的可能应变

ij(k1)

、ij(k2)之差称为虚应变ij

。1.4虚位移ui和虚应变ij

：ui=0

在su上齐次位移边界条件。ij=(ui,j+uj,i)/2

在V内§10-1几个基本概念和术语2023/2/6191.5虚应力ij

：在s

上:njij=0；ij=ij(k1)-ij(k2)

§10-1几个基本概念和术语在V内：ij,j=0满足齐次静力方程。2023/2/620§10-2虚功方程2.1虚功方程Su

S

在给定体力、面力和约束情况下，如果找到两种状态:第一种状态：

在给定的体力fi和面力，已知（找到）可能应力状态ij(k1)在V内：ij(k1)+fi=0

;在s=s:

2023/2/621第二种状态：

弹性体处于可能变形状态ui(k2)

、ij(k2)

则第一种状态外力在第二种状态可能位移作的外力虚功等于第一种状态可能应力在第二种状态可能应变上作的虚变形功。

——虚功原理§10-2虚功方程在s=su:

2023/2/6222.2虚功方程的证明：§10-2虚功方程2023/2/623§10-2虚功方程2023/2/624代入虚功方程左端，得并注意虚功方程未涉及本构关系，所有在各种材料性质虚功方程成立。则We=Wi§10-2虚功方程2023/2/625虚功方程虽然对两种不相干的可能状态成立，但一般应用是一种为真实状态，另一种为虚设可能状态（虚设状态）。qP=1§10-2虚功方程2023/2/626§10-3功的互等定理将虚功方程用于线弹性体可导出功的互等定理。同一弹性体处于两种真实状态。第一种状态：满足所有方程。

第二种状态：

满足所有方程。2023/2/627§10-3功的互等定理根据虚功方程第一种状态的外力在第二种状态的相应弹性位移上做功第二种状态外力在第一种状态的相应弹性位移上做功2023/2/628§10-3功的互等定理对于线弹性体本构关系

W12=W212023/2/629§10-3功的互等定理功的互等定理优点：可以避免求解物体内的应力、应变和位移场的复杂过程，而直接从整体变形的角度来处理问题。PPb第一种状态的外力在第二种状态的相应弹性位移上所做的功等于第二种状态外力在第一种状态的相应弹性位移上所做的功。第一状态：一对力P作用在直杆的垂直方向，局部效应，在杆两端点伸长？2023/2/630§10-3功的互等定理

第二状态：让一对力Q作用同一杆两端点，很易求得一对力Q引起杆横向缩短。对两种状态应用功的互等定理P=Q

Q第二状态引起的

易求:QQx2023/2/631§10-3功的互等定理QQx2023/2/632

§10-4虚位移原理和最小势能原理4.1虚位移原理

运用虚功原理，但一种状态为与真实外力平衡的状态，ij、fi、

、;而第二状态为可能变形状态，为真实状态位移的变分:

ui=0

在su上

ui、ij=(ui,j+uj,i)/2

在V内虚设状态2023/2/633§10-4虚位移原理和最小势能原理根据虚功方程，真实的外力与应力状态在虚设的齐次可能位移上做功弹性体应力与外力处于平衡状态，对于任意虚设的齐次微小位移及应变，则外力在虚位移上做的虚功等于应力在虚应变上做的虚功

——虚位移方程。2023/2/634§10-4虚位移原理和最小势能原理代入原虚位移方程将虚位移方程重新改写2023/2/635§10-4虚位移原理和最小势能原理代入原虚位移方程虚位移方程为平衡方程和力的边界条件的积分形式。虚位移原理举例2023/2/636§10-4虚位移原理和最小势能原理虚位移原理举例

图示受均布荷载q作用的等跨连续梁，EI为常数，中间支座为弹性支座。试用虚位移原理写出梁的挠曲线方程和边界条件。lACBqlx

z解：图示连续梁在荷载作用下，产生挠曲线w(x)、内力和支座反力。

设连续梁有虚位移

w

，C点虚位移

wC

。2023/2/637§10-4虚位移原理和最小势能原理lACBqlx

z虚位移方程利用对称性

在计算薄梁的内力虚功时，只考虑梁的正应力x作的虚功。2023/2/638§10-4虚位移原理和最小势能原理lACBqlx

z2023/2/639§10-4虚位移原理和最小势能原理lACBqlx

z分部积分，得再积分，得2023/2/640§10-4虚位移原理和最小势能原理lACBqlx

z虚位移方程为2023/2/641§10-4虚位移原理和最小势能原理lACBqlx

z得平衡微分方程和力的边界条件（由虚位移方程得到）2023/2/642§10-4虚位移原理和最小势能原理lACBqlx

z得平衡微分方程和力的边界条件（由虚位移方程得到）而事先要求满足的位移边界条件2023/2/643§10-4虚位移原理和最小势能原理4.2最小势能原理

1．弹性体的总势能

(k)=U(k)(ui(k))+V(k)(ui(k))=(k)(ui(k))2023/2/644§10-4虚位移原理和最小势能原理

(k)=U(k)(ui(k))+V(k)(ui(k))=(k)(ui(k))（1）和给定;（2）已将几何关系引入

ij=(ui,j+uj,i)/2;（3）ui(k)为可能位移：在su上

;2023/2/645§10-4虚位移原理和最小势能原理2．由(k)

中寻求真实位移ui(k)为可能位移,有无穷多。因此，与其对应的势能

(k)也有无穷多。要从

(k)

中找真实位移：

（1）=0（2）引入本构关系

真实位移应满足的方程。2023/2/646§10-4虚位移原理和最小势能原理取=0,得引入本构关系

——虚位移方程

2023/2/647§10-4虚位移原理和最小势能原理或ui(k)为可能位移，同时满足本构方程。而=0，表明由ui(k)导出ij(k)满足静力方程，所以由=0

即为真解应满足的控制方程。

2023/2/648§10-4虚位移原理和最小势能原理最小势能原理的表述：

在位移满足几何方程和位移边界条件的前提下，如果由位移导出的相应应力还满足平衡微分方程和力的边界条件，则该位移必使势能

为驻值（极值）。如果可能位移使

的变分

=0，则该位移相应应力必满足静力方程。=0等价与静力方程。2023/2/649§10-4虚位移原理和最小势能原理作业：图示梁受荷载作用，试利用最小势能原理导出梁的平衡微分方程和力的边界条件。

y

qEI

x

l

M2023/2/650§10-4虚位移原理和最小势能原理最小势能原理举例

（1）已知图示桁架各杆EA相同，材料的弹性关系为

=E，试用势能原理求各杆内力。lPCBAx

ylC’解：计算图示桁架的总势能

=U

+V

=

(uc、vc)应变能2023/2/651§10-4虚位移原理和最小势能原理lPCBAx

ylC’则，应变能为2023/2/652§10-4虚位移原理和最小势能原理lPCBAx

ylC’荷载势能为

=U

+V

=由总势能

的变分

=0

，得2023/2/653§10-4虚位移原理和最小势能原理lPCBAx

ylC’解得2023/2/654§10-4虚位移原理和最小势能原理lPCBAx

ylC’各杆内力为

2023/2/655§10-4虚位移原理和最小势能原理(2)已知图示ab薄板（厚度t=1）无体积力作用，试用最小势能原理求位移。xq2yq1ab解：图示薄板受双向压缩作用，可猜应力和应变为常量。

所以，位移为x,y的线性式.采用最小势能原理求位移2023/2/656§10-4虚位移原理和最小势能原理xq2yq1ab位移边界条件

x=0:u=0,y=0:v=0考虑位移边界条件取位移：

u=A1x,v=B1y薄板的总势能

=U

+V

2023/2/657§10-4虚位移原理和最小势能原理xq2yq1ab平面应力问题：代入应变能表达式，得2023/2/658§10-4虚位移原理和最小势能原理

u=A1x,v=B1y代入上式，得2023/2/659§10-4虚位移原理和最小势能原理荷载势能V为xq2yq1ab

=2023/2/660§10-4虚位移原理和最小势能原理由总势能的变分

=0

，得解得2023/2/661§10-4虚位移原理和最小势能原理代回u=A1x,v=B1y

，得求得应力为x=-q1,y=-q2,

xy=02023/2/662§10-5虚应力原理和最小余能原理5.1虚应力原理1．虚应力方程运用虚功原理，但第一种状态为真实变形状态，ui和ij

、fi、、第二状态为自平衡状态的可能应力（或真实应力的变分）ij；满足：

ij,j=0

在V内

njij=0

在s上（在s

上无面力）

2023/2/663§10-5虚应力原理和最小余能原理ij在

su上产生

Xi（在su上有反力）

Su

S

Xi

根据虚功方程2．虚应力方程表达

弹性体的应变与位移处于相容状态，对于任意虚设的齐次容许应力ij及位移边界上的虚反力Xi，虚应力在应变上做的虚功等于虚反力在给定位移上做的虚功。2023/2/664

Rc

RB

RA§10-5虚应力原理和最小余能原理3．虚应力原理举例

图示受均布荷载q作用的等跨连续梁，EI为常数。试用虚应力原理求梁的反力和弯矩。lABCqlx

z解：连续梁在荷载q作用下，产生挠曲线、内力和支座反力。根据平衡关系，知2023/2/665

RA

RB

RC

Rc

RB

RA§10-5虚应力原理和最小余能原理梁的弯矩为设连续梁有虚反力和虚弯矩：lABCqlx

z应用虚应力方程lCAlx

zB2023/2/666

RA

RB

RC

Rc

RB

RA§10-5虚应力原理和最小余能原理lABCqlx

zlCAlx

zB在

su上无位移2023/2/667

Rc

RB

RA§10-5虚应力原理和最小余能原理lABCqlx

z得解得2023/2/668§10-5虚应力原理和最小余能原理5.2最小余能原理已知变形体在体力fi、面力作用及在位移边界上有给定位移

。定义：由可能应力状态ij(k)表示c(k)=Uc(ij(k))+Vc(Xi(k))=c(k)(ij(k))

——变形的总余能1．变形体的总余能c(k)2023/2/669§10-5虚应力原理和最小余能原理c(k)=Uc(ij(k))+Vc(Xi(k))=c(k)(ij(k))

——变形的总余能而Xi(k)=njij(k)

在su上（位移边界上的反力）——应变余能——位移边界的余能

由ij(k)导出的在su边界上的反力2023/2/670§10-5虚应力原理和最小余能原理结构总余能c(k)由可能应力ij(k)

定义。ij(k)

满足

在V内：ij(k)+fi=0在s=s:

（1）

c=02．由ij(k)定义的总余能中找出真实应力ij（2）引入关系式—逆弹性关系2023/2/671§10-5虚应力原理和最小余能原理c

=0，即——虚应力方程2023/2/672§10-5虚应力原理和最小余能原理由于ij

满足自平衡的应力状态:ij,j=0

在V内,njij=0

在s上c=0

为一个虚应力方程,则ij(k)为可能变形状态，而ij(k)已满足静力方程，

由ij(k)导出的ij(k)、ui(k)

满足几何方程及位移边界条件。2023/2/673§10-5虚应力原理和最小余能原理因此，由c=0

表明由ij(k)中找出真实应力ij。3．最小余能原理表述：

在应力满足平衡微分方程和应力边界条件的前提下，如果由应力导出的相应应变还满足相容条件，则该应力必使总余能c

为极值；或可能应力使得总余能的变分c=0,则由该应力导出相应位移必满足相容条件。2023/2/674§10-5虚应力原理和最小余能原理EIB

x

l

qEI

y

lACRBRC最小余能原理举例

两跨连续梁受均布荷载q作用的弯曲问题，试用最小余能原理求解。RA解:（1）确定梁的可能应力状态：梁的弯曲问题可选取支座反力RB为广义可能应力梁的弯矩和其它支座反力可由RB表示。2023/2/675§10-5虚应力原理和最小余能原理EIB

x

l

qEI

y

lACRBRCRA2．确定结构的总余能c(k)2023/2/676§10-5虚应力原理和最小余能原理c(k)=Uc(RB)+Vc(RB)3．由余能的变分c=0

确定RB

2023/2/677§10-5虚应力原理和最小余能原理即积分，解得2023/2/678§10-5虚应力原理和最小余能原理代入可得梁的最后弯矩方程2023/2/679§10-5虚应力原理和最小余能原理作业：利用虚应力原理和最小余能原理，求梁的反力和弯矩。

y

qEI

x

l2023/2/680§10-5虚应力原理和最小余能原理4．真实状态总势能总余能c关系：——虚功方程

所以真实状态

=-c对于真实状态的2023/2/681§10-6基于能量原理的近似解法

在前面几节介绍了几个最基本的能量原理，利用能量原理求问题的解，从理论上看是明确的步骤规范。如最小势能原理：（分两步）1．对于给定的外力和边界条件寻找满足几何方程和位移边界条件的ui(k)

函数序列，并确定

(k)

。2．由

=0寻求真解ui，即由ui(k)中找ui的控制方程，但由于问题求解域复杂性及约束的变化，利用能量原理求解析解也是无法实际进行的。但可由能量原理可以建立寻求问题近似解的有效途径。2023/2/682§10-6基于能量原理的近似解法6.1基于虚位移原理的近似解法虚位移原理可以用来求问题的近似解法。

在给定的体积力、边界力和边界位移情况下，真实应力、应变和位移状态（它们满足所有方程）对于任意虚位移和虚应变满足虚位移方程。虚位移原理近似解法的步骤2023/2/683§10-6基于能量原理的近似解法（1）选取可能位移（近似解），包含若干待定系数；（满足位移边界方程）（2）由可能位移求可能应变（满足几何方程）以及应力（应力一般不是可能应力），它们包含若干待定系数；（3）设满足齐次边界条件的虚位移，并导出相应的虚应变；2023/2/684§10-6基于能量原理的近似解法（4）将外力和包含若干待定系数的应力对虚位移作功等于零——虚位移方程（应力近似满足静力方程）；（5）由虚位移方程得到确定若干待定系数的方程，并由方程解出待定系数，从而得位移的近似解。举一个应用虚位移原理求问题的近似解的例题2023/2/685§10-6基于能量原理的近似解法图示简支梁受均布荷载q作用,材料应力—应变关系分别为=E，试确定梁挠曲线的近似解

。解：（1）设梁的近似解为（包含若干待定系数）：

qEI

y

x

lv=B1x(x-l)——满足边界条件2023/2/686§10-6基于能量原理的近似解法（2）由梁的近似解求可能应变以及应力（应力一般不是可能应力）：（3）设满足齐次边界条件的虚位移，并导出对应的虚应变；

qEI

y

x

lv=B1x(x-l),=-v’’=-2B12023/2/687§10-6基于能量原理的近似解法（4）应用虚位移方程：（5）由虚位移方程解出待定系数B1，从而得位移的近似解。

qEI

y

x

l2023/2/688§10-6基于能量原理的近似解法得材料力学的精确解2023/2/689§10-6基于能量原理的近似解法作业：利用虚位移原理的近似法求梁的弯矩。xyPEIl/2l/2P2023/2/690§10-6基于能量原理的近似解法u(k)=u0+Amum,v(k)=v0+Bmvm,w(k)=w0+Cmwm,1．选取可能位移(在给定的条件下选可能位移)式中u0

、um、v0、vm、w0、wm

均为已知连续可微函数，6.2基于最小势能原理的近似解法（Ritz法）2023/2/691§10-6基于能量原理的近似解法而um=0、vm=0、wm=0、在Su上可能位移中的

Am、Bm和Cm为待定系数。在Su上且u0

、v0、w0满足Su

的位移边界条件2023/2/692§10-6基于能量原理的近似解法2．结构的总势能

(k)及其变分

(k)

此时结构的总势能不是泛函了，而是Am、Bm、

Cm的函数。

(k)=

(k)(Am、Bm、Cm)=U(Am、Bm、Cm)+V(Am、Bm、Cm）2023/2/693§10-6基于能量原理的近似解法3.利用

=0求解方程

=0

由于Am、Bm、

Cm的增量

Am、Bm、Cm的任意性，则

=0

2023/2/694§10-6基于能量原理的近似解法需要求对于线弹性体的应变能U为待定系数的二次式，荷载势能V

为待定系数的一次式。2023/2/695§10-6基于能量原理的近似解法2023/2/696§10-6基于能量原理的近似解法各向同性线弹性体有关Am、Bm和Cm

的线性方程组（3m个方程）2023/2/697§10-6基于能量原理的近似解法4．Ritz法在平面问题的应用

可能位移

u(k)=u0+Amum,v(k)=v0+Bmvm

u0

、v0满足

Su

的位移边界条件,

而

um=0、vm=0

在Su上。

平面应力和平面应变问题均不考虑位移分量w，而u、v为x、y的函数，体积力分量fz=0，面力分量2023/2/698§10-6基于能量原理的近似解法总势能

的变分

=0

，得总势能

=（Am,Bm）2023/2/699§10-6基于能量原理的近似解法平面应力问题，取薄板厚度

t=1。其应变能为:对于平面应变问题（取t=1）将上式中替换可得平面应变问题应变能U的表达式。2023/2/6100§10-6基于能量原理的近似解法Ritz法在平面问题举例

设有一无限长的薄板，上下两端固定，仅受竖向重力作用。求其位移解答。xybgo2023/2/6101§10-6基于能量原理的近似解法解：由于问题对y

轴对称，所以推论：(1)选择可能位移：设：xybgo2023/2/6102§10-6基于能量原理的近似解法满足上下两边的边界条件：

=U

+V

2023/2/6103§10-6基于能量原理的近似解法(2)计算应变能U

：（取

y轴两侧各1/2单位长度计算）xybgo1/21/22023/2/6104§10-6基于能量原理的近似解法(3)由

=0变分方程确定系数Bk：经推导得：即2023/2/6105§10-6基于能量原理的近似解法或：2023/2/6106§10-6基于能量原理的近似解法得：这是k个独立方程，可求出k个待定系数Bk。解得：2023/2/6107§10-6基于能量原理的近似解法

(4)位移解答令：处的竖向位移为：2023/2/6108§10-6基于能量原理的近似解法项数精确解0.12900.12420.12530.1250123值与级数项数的关系作业：设位移的近似解为

u=0,v=

B1y(y-b)，求其位移解答。2023/2/6109§10-6基于能量原理的近似解法最小势能原理

Ritz法自变量自变函数u、v、w

由自变量Am、Bm

、Cm

定义的u、v、w自变量的

约束条件

几何方程和位移

边界条件

几何方程和位移

边界条件

总势能

=（u、v、w）

泛函

=（Am、Bm、Cm）多元（3m元）函数变分等于零=0

积分方程——

静力方程的积分形式

多元（线性）方程组

满足

=0的解

解析解

近似解最小势能原理与Ritz法的比较2023/2/6110§10-6基于能量原理的近似解法

在最小势能原理中，由可能位移ui(k)

定义的总势能(k)

，并由

=0寻求真解ui。也可改写为静力方程的积分形式等价于静力方程。6.3伽辽金法（1915年）而

=0

本身表示为虚位移方程：2023/2/6111§10-6基于能量原理的近似解法伽辽金法步骤：1．设定满足强约束条件的可能位移ui(k)

ui(k)

需要满足的强约束条件：在Su上由u(k)、v(k)、w(k)

导出的应力ij(k)

在S

上

：可能位移ui(k)

满足给定和条件，即满足所有边界条件——强约束条件。2023/2/6112§10-6基于能量原理的近似解法2．由结构总势能

的变分等于零导出求解方程

如果所设可能位移ui(k)

的形式与Ritz法一样u(k)=u0+Amum,v(k)=v0+Bmvm,w(k)=w0+Cmum但可能位移ui(k)满足强约束条件。由

=0

得这里

u=umAm,v=vmBm,w=wmCm

2023/2/6113§10-6基于能量原理的近似解法并注意Am、Bm、Cm的任意性以及

由可导出三组方程3m个方程2023/2/6114§10-6基于最小势能原理上的近似解法3．伽辽金法在平面问题例题与Ritz法类似，不考虑w,而u、v为x、y函数。伽辽金法在平面问题的求解方程为2m个。对于平面应力问题为2023/2/6115§10-6基于能量原理的近似解法对于平面应变问题将上式中例.已知：2ab薄板（厚度t=1），无体力作用。边界条件:在x=a和y=0：u=0,v=0;在y=b：u=0,

全部边界为位移边界条件，无力的边界条件。

xyaabb2023/2/6116§10-6基于能量原理的近似解法xyaabb解：不管采用Ritz法或伽辽金法，选取的近似位移场首先要为可能位移：

u(k)=u0+Amum,v(k)=v0+Bmvm,当取m=1时，u=u0+A1u1,v=v0+B1v1,2023/2/6117§10-6基于能量原理的近似解法根据边界条件,可选u0=0，而u1和v1在所有边界上为零。取则2023/2/6118§10-6基于能量原理的近似解法由于全部边界均为位移边界，可能位移无需要求其它约束条件。可利用伽辽金法求A1、B1

。由于体力为零，则用伽辽金法的求解方程（2个）：——求出A1和B12023/2/6119§10-6基于能量原理的近似解法，

A1和B1求出后可求应力的近似解。2023/2/6120§10-6基于能量原理的近似解法作业：1.试写出伽辽金法在梁弯曲问题的求解方程。

2.利用伽辽金法求图示简支梁的近似解，设梁挠度的近似解为v=

B1sinx/l。

qEI

y

x

l2023/2/6121§10-6基于能量原理的近似法6.4基于最小余能原理的近似解法c(k)=Uc(ij(k))+Vc(Xi(k))=c(k)(ij(k))