数值分析-第1章绪论修复的

二、误差的概念1、绝对误差与绝对误差限例:若用以厘米为最小刻度的尺去量桌子的长，大约为1.45米，求1.45米的绝对误差。1.45米的绝对误差=？不知道！是近似值的绝对误差,简称为误差。

定义：设是准确值，为

的一个近似值，称但实际问题往往可以估计出不超过某个正数，即则称为绝对误差限，有了绝对误差限,就可以知道的范围为即落在内。在应用上，常常采用下列写法来刻划的精度。2、相对误差与相对误差限定义：设是准确值，是近似值，是近似值的误差，通常取为近似值的相对误差，记作，称一般情况下是不知道的，怎么办？事实上，当较小时是的二次方项级,故可忽略不计.相应地，若正数满足

则称为的相对误差限。3、有效数字定义：如果则说近似表示准确到小数后第位，并从这第位起直到最左边的非零数字之间的一切数字都称为有效数字，并把有效数字的位数称为有效位数。如果一个近似数的所有数字均为有效数字，则称之为有效数。由上述定义故若取作的近似值，就有五位有效数字。若取作的近似值，就有六位有效数字。取作的近似值，就有三位有效数字。注：若一近似数是由原真值经四舍五入得到，则必为有效数.定义:若近似值的误差限是某一位的半个单位,也即，若有位有效数字。则称其中，是1到9中的一个数字；是0到9中一个数字；为整数，且该位到的左边第一位非零数字共有位,就说有位有效数字。由上述定义故的近似值分别有三位、五位和六位有效数字。4、相对误差限与有效数字的关系Th1.1：

则

至少具有位有效数字。对于用式表示的近似数，若具有位有效数字，则其相对误差限为反之，若的相对误差限为Th1.2：

设反之,若的相对误差的绝对值大于，其中为整数,为正整数,。有位有效数字。则至多若至多有位有效数字,即是有效数字,而不是有效数字,则的相对误差的绝对值必大于;证明：不是有效数字

反之,若

则

不是有效数字，

即至多有位有效数字.

§4

数值运算的误差估计一、四则运算的误差估计两个近似数与,其误差限分别为及,它们进行加减乘除运算得到的误差限分别为二、函数误差估计当自变量有误差时，计算函数值也会产生误差，其误差限可利用函数的Taylor展开式进行估计。

设是一元函数，的近似值为,以近似，其误差限记作，可用Taylor展开

介于之间.取绝对值得假定与的比值不太大,,可忽略的高阶项,于是可得计算函数的误差限为

当为多元函数时计算,如果的近似值为,则的近似为于是函数值的误差由Taylor展开,得：于是误差限为而的相对误差限为(1.3.1)(1.3.2)例:已测得某场地长的值为,宽的值为,已知,.试求面积的绝对误差限与相对误差限.解:因

其中由式(1.3.1)得而于是绝对误差限为相对误差限为§5

算法的数值稳定性

数值计算在设计算法时首先关心的是由它产生的计算结果的稳定性，而算法的稳定性与舍入误差是否增长密切相关。一个算法如果输入数据有微小扰动（即误差），而在计算过程中舍入误差不增长，则称此算法是数值稳定的，否则称其为数值不稳定。

例：求定积分的值.解：直接积分可产生递推公式若取初值可得递推公式按公式就可以逐步算出注意此公式精确成立，且Whathappened?!不稳定的算法！这就是误差传播所引起的危害!

NYBJ蝴蝶效应——纽约的一只蝴蝶翅膀一拍，风和日丽的北京就刮起台风来了？！这是一个病态问题由题设中的递推公式（1）可看出，

的误差扩大了5倍后传给

，因而初值

的误差对以后各步这就造成的计算结果严重失真。计算结果的影响，随着

的增大愈来愈严重。要怎么做才能解决这个问题呢?可求得I90.017，按改写后的公式可逐次求得不妨设I9I10，于是由将公式变为

I80.019I70.021 I60.024I80.028 I40.034I30.043 I20.058I10.088 I00.182稳定的算法！

在我们今后的讨论中，误差将不可回避，算法的稳定性会是一个非常重要的话题。注：递推公式(1)的舍入误差以5的幂次增长进行传播，因此是数值不稳定的，而递推公式(2)的舍入误差在一定范围内以0.2的幂次进行传播，随着n的增大，误差逐步减少，因此该算法是数值稳定的。

因此，可以看出数值不稳定的算法是不能使用的，实际计算中对任何输入数据都是数值稳定的算法，称为无条件稳定。而对某些数据数值稳定，对其它数据数值不稳定的算法，称为条件稳定。1.要避免两个相近的数相减在数值计算中，两个相近的数作减法时有效数字会损失。例:

求的值。当x=1000，y的准确值为0.01580

§6数值计算中应该注意的一些原则类似地

(2)若将原式改写为则y=0.01581(1)直接相减有3位有效数字！只有1位有效数字2.尽量避免绝对值太小的数作分母例：如分母变为0.0011，也即分母只有0.0001的变化时结果相差这么大!3.避免大数吃小数精确解为算法1：利用求根公式例：用单精度计算的根。在计算机内，109存为0.11010，1存为0.1101。做加法时，两加数的指数先向大指数对齐，再将浮点部分相加。即1的指数部分须变为1010，则：1=0.1010，取单精度时就成为：109+1=0.100000001010+0.000000001010=0.100000001010算法2：先解出再利用注：求和时从小到大相加，可使和的误差减小。例：按从小到大、以及从大到小的顺序分别计算1+2+3+…+40+1094.简化计算步骤，避免误差积累。一般来说，计算机处理下列运算的速度为例：多项式求值：给定的x求下列n次多项式的值。

解：1.用一般算法，即直接求和法；

2.逐项求和法；3.秦九韶方法(即Hornor算法）；先计算x2,x3,…,xn,再作线性组合，需做2n-1次乘法和n次加法。解法一：直接求和法解法二：逐项求和法按顺序依次计算每一项的值再求和，需做n(n+1)/2次乘法和n次加法。解法三：秦九韶算法（即Horner算法）只需做n次乘法和n次加法。且可以递推实现。计算机上使用的算法常采用递推化的形式，递推化的基本思想是把一个复杂的计算过程归结为简单过程的多次重复。这种重复在程序上表现为循环。递推化的优点是简化结构和节省计算量。算法的递推性例：用秦九韶方法求多项式p(x)在x=-2处的值解：

Ka5-KvK00