2023届二轮复习通用版 专题6 第4讲 导数的综合应用 课件（76张）

第二篇经典专题突破•核心素养提升专题六函数与导数第4讲导数的综合应用导数日益成为解决数学问题强有力的工具，利用导数研究函数的单调性与极(最)值是常见题型，而导数与函数、不等式的交汇命题，则是高考的热点和难点．在高考压轴题中，常以二次函数、指数函数、对数函数为载体考查函数的零点、比较大小、不等式证明、不等式恒成立与能成立等热点问题．考情分析自主先热身真题定乾坤核心拔头筹考点巧突破专题勇过关能力巧提升自主先热身真题定乾坤1．(2022·全国甲卷)已知函数f(x)＝x3－x，g(x)＝x2＋a，曲线y＝f(x)在点(x1，f(x1))处的切线也是曲线y＝g(x)的切线．(1)若x1＝－1，求a；(2)求a的取值范围．真题热身【解析】

(1)由题意知，f(－1)＝－1－(－1)＝0，f′(x)＝3x2－1，f′(－1)＝3－1＝2，则y＝f(x)在点(－1，0)处的切线方程为y＝2(x＋1)，即y＝2x＋2，设该切线与g(x)切于点(x2，g(x2))，g′(x)＝2x，则g′(x2)＝2x2＝2，解得x2＝1，则g(1)＝1＋a＝2＋2，解得a＝3.【解析】

(1)当a＝1时，f(x)＝(x－1)ex，则f′(x)＝xex，当x<0时，f′(x)<0，当x>0时，f′(x)>0，故f(x)的减区间为(－∞，0)，增区间为(0，＋∞).5．(2022·新高考Ⅰ卷)已知函数f(x)＝ex－ax和g(x)＝ax－lnx有相同的最小值．(1)求a；(2)证明：存在直线y＝b，其与两条曲线y＝f(x)和y＝g(x)共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．(2)证明：设三个交点的横坐标从小到大依次为x1，x2，x3，由(1)得，函数f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，函数g(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，∴x1∈(－∞，0)，x2∈(0，1)，x3∈(1，＋∞)，b＝ex1－x1＝ex2－x2＝x2－lnx2＝x3－lnx3，∴2x2＝ex2＋lnx2，ex1－x1＝x2－lnx2，ex2－x2＝x3－lnx3，∴ex1－x1＝elnx2－lnx2，ex2－x2＝elnx3－lnx3，∴f(x1)＝f(lnx2)，f(x2)＝f(lnx3)，∵lnx2∈(－∞，0)，lnx3∈(0，＋∞)，∴x1＝lnx2，x2＝lnx3，∴x3＝ex2，∴x1＋x3＝lnx2＋ex2＝2x2，∴x1，x2，x3成等差数列，∴存在直线y＝b，其与两条曲线y＝f(x)和y＝g(x)共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．对于导数的综合问题每年都必须考查，主要是针对以下方面出题，而且题目难度较大，一般放在试卷的21～22位置：(1)函数单调性和极值、最值的分类讨论．(2)研究方程的根，可以通过构造函数g(x)的方法，把问题转化为研究构造的函数g(x)的零点问题．以及函数g(x)的单调性、结合零点存在定理判断其零点的个数．(3)利用导数证明不等式．(4)利用导数解决恒成立问题．感悟高考核心拔头筹考点巧突破1．常见重要不等式(1)lnx≤x－1(x＞0)；(2)ex≥x＋1(当且仅当x＝0时等号成立).2．构造辅助函数的四种方法(1)移项法：证明不等式f(x)＞g(x)(f(x)＜g(x))的问题转化为证明f(x)－g(x)＞0(f(x)－g(x)＜0)，进而构造辅助函数h(x)＝f(x)－g(x).考点一利用导数研究不等式问题(2)构造“形似”函数：对原不等式同解变形，如移项、通分、取对数；把不等式转化为左右两边是相同结构的式子的结构，根据“相同结构”构造辅助函数．(3)主元法：对于(或可化为)f(x1，x2)≥A的不等式，可选x1(或x2)为主元，构造函数f(x，x2)(或f(x1，x)).(4)放缩法：若所构造函数最值不易求解，可将所证明不等式进行放缩，再重新构造函数．3．含有双变量的不等式问题的常见转化策略(1)∀x1∈[a，b]，x2∈[c，d]，f(x1)＞g(x2)⇔f(x)在[a，b]上的最小值＞g(x)在[c，d]上的最大值．(2)∃x1∈[a，b]，x2∈[c，d]，f(x1)＞g(x2)⇔f(x)在[a，b]上的最大值＞g(x)在[c，d]上的最小值．(3)∀x1∈[a，b]，∃x2∈[c，d]，f(x1)＞g(x2)⇔f(x)在[a，b]上的最小值＞g(x)在[c，d]上的最小值．(4)∃x1∈[a，b]，∀x2∈[c，d]，f(x1)＞g(x2)⇔f(x)在[a，b]上的最大值＞g(x)在[c，d]上的最大值．典例1【素养提升】利用导数证明不等式的两个妙招(1)构造函数法证明不等式①移项，使等式右边为零，左边构造为新函数．②求导判断单调性，通常要对参数分类讨论．③根据单调性，求出最值与“0”比较即可得证．(2)转化函数最值法证明不等式①条件：函数很复杂，直接求导不可行．②拆分：把复杂函数拆分成两个易求最值函数．③方法：分别求导，结合单调性和图象以及极值、最值，比较得出结论．考向2利用导数解决不等式恒(能)成立问题

已知函数f(x)＝ex－kx，g(x)＝x2＋k2－3.(1)讨论函数y＝f(x)的单调区间；(2)若2f(x)≥g(x)对任意x≥0恒成立，求实数k的取值范围．【解析】(1)f′(x)＝ex－k，①当k≤0时，f′(x)>0恒成立，则y＝f(x)在R上单调递增；典例2②当k>0时，x>lnk时，f′(x)>0，y＝f(x)的单调递增区为(lnk，＋∞)；x<lnk时，f′(x)<0，y＝f(x)的单调递减区间为(－∞，lnk).综上：当k≤0时，y＝f(x)的单调递增区间为(－∞，＋∞)，当k>0时，y＝f(x)的递增区间为(lnk，＋∞)，递减区间为(－∞，lnk).【素养提升】利用导数解决不等式恒成立问题的“两种”常用方法(1)分离参数后转化为函数最值问题：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的最值，根据要求得所求范围．一般地，f(x)≥a恒成立，只需f(x)min≥a即可；f(x)≤a恒成立，只需f(x)max≤a即可．(2)转化为含参函数的最值问题：将不等式转化为某含待求参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的极值(最值)，伴有对参数的分类讨论，然后构建不等式求解．方程的根、函数的零点、函数图象与x轴的交点的横坐标是三个等价的概念，解决这类问题可以通过函数的单调性、极值与最值，画出函数图象的走势，通过数形结合思想直观求解．考点二利用导数研究函数的零点问题典例3【解析】

(1)当a＝－2时，f(x)＝xex－x2－2x，f′(x)＝ex＋xex－2x－2＝ex(x＋1)－2(x＋1)＝(x＋1)(ex－2)，令f′(x)>0，即(x＋1)(ex－2)>0，解得x>ln2或x<－1，令f′(x)<0，即(x＋1)(ex－2)<0，解得－1<x<ln2，所以函数的单调递增区间为(－∞，－1)，(ln2，＋∞)；单调递减区间为(－1，ln2).【素养提升】利用导数研究函数零点问题的思路(1)构建函数g(x)(要求g′(x)易求，g′(x)＝0可解)，转化确定g(x)的零点个数问题求解，利用导数研究该函数的单调性、极值，并确定定义区间端点值的符号(或变化趋势)等，画出g(x)的图象草图，数形结合求解．(2)利用零点存在性定理：先用该定理判断函数在某区间上有零点，然后利用导数研究函数的单调性、极值(最值)及区间端点值符号，进而判断函数在该区间上零点的个数．典例4【素养提升】根据