2023年春经济数学基础微积分部分

08春经济数学基础微积分部分第一部微分学第1章函数1．理解函数概念。理解函数概念时，要掌握函数的两要素定义域和相应关系,这要解决下面四个方面的问题：(1）掌握求函数定义域的方法,会求初等函数的定义域和函数值。要掌握常见函数的自变量的变化范围,如分式的分母不为0，对数的真数大于0,偶次根式下表达式大于0。例１求函数的定义域。解：的定义域是，的定义域是,但由于在分母上,因此。故函数的定义域就是上述函数定义域的公共部分，即1<x＜2。(2)理解函数的相应关系的含义：表达当自变量取值为时，因变量的取值为。例如，对于函数,表达运算：设，求。解:由于,说明表达运算:，因此=再将代入，得＝2.掌握函数奇偶性的判别,知道它的几何特点;判断函数是奇函数或是偶函数,可以用定义去判断，即（1）若,则偶函数;（2）若,则奇函数。也可以根据一些已知的函数的奇偶性，再运用“奇函数±奇函数、奇函数×偶函数仍为奇函数;偶函数±偶函数、偶函数×偶函数、奇函数×奇函数仍为偶函数”的性质来判断。例3下列函数中，( ）是偶函数。Ａ． B.C. ﻩＤ.解:根据偶函数的定义以及奇函数×奇函数是偶函数的原则，可以验证Ａ中和都是奇函数,故它们的乘积是偶函数,因此Ａ对的。既然是单选题，A已经对的，那么其它的选项一定是错误的。故对的选项是A。第2章极限,导数与微分1．掌握求简朴极限的常用方法。求极限的常用方法有:（1)运用极限的四则运算法则;(2)运用两个重要极限；(３）运用无穷小量的性质(有界变量乘以无穷小量还是无穷小量）；2.知道一些与极限有关的概念(1）知道函数在某点极限存在的充足必要条件是该点左右极限都存在且相等;（２）了解无穷小量的概念，知道无穷小量的性质;(3）会判断函数在某点的连续性，会求函数的间断点。例1下列变量中，是无穷小量的为(）Ａ．B．Ｃ． D.解:A中：由于时，是无穷小量,是有界变量,由定理,是无穷小量；B中:由于时，,故不是无穷小量；C中:由于时，,故；但是时,，故，因此当时不是无穷小量。D中:由于，故时，，不是无穷小量。因此对的的选项是B。例2当(）时,在处连续。A.0 ﻩB.-1 C.2ﻩ D.1解:函数在一点连续必须满足既是左连续又是右连续。由于，而左连续。故当１时，在处连续。对的的选项是D。３.理解导数定义。理解导数定义时，要解决下面几个问题：（1）牢记导数定义的极限表达式；（2)会求曲线的切线方程;（３）知道可导与连续的关系（可导的函数一定连续，连续的函数不一定可导）。例3曲线在点（1,0）处的切线是（)Ａ．ﻩB.Ｃ. D．解：根据导数的几何意义可知，是曲线在点(1,0）处的切线斜率,故切线方程是，即；故对的的选项是Ａ。例4求曲线在点处的切线方程。解:由于,所以，在点处的切线方程为,即。4.纯熟掌握求导数或微分的方法。具体方法有:(１）运用导数(或微分)的基本公式(2）运用导数（或微分）的四则运算法则（3)运用复合函数微分法例5求下列导数或微分：(1）设，求;(2）设,求ｙ;（3）设,求。解：(１）这是一个复合函数运用复合函数求导数(2）==（3);５.知道高阶导数概念，会求函数的二阶导数。例６已知ｙ=，则（）A.B．Ｃ.D.解：,。故对的的选项是D。第3章导数的应用1.掌握函数单调性的判别方法，掌握极值点的判别方法,会求函数的极值。通常的方法是运用一阶导数的符号判断单调性，也可以运用已知的基本初等函数的单调性判断。例1在指定区间[－10,10]内，函数()是单调增长的。A. ﻩＢ.ﻩﻩﻩC. ﻩﻩＤ.解：这个题目重要考察同学们对基本初等函数图形的掌握情况。因它们都是比较简朴的函数,从图形上就比较容易看出它们的单调性。A中是正弦函数，它的图形在指定区间[－10，１０]内是波浪形的,因此不是单调增长函数。Ｂ中是指数函数，(=-<0,故它是单调减少函数。C中是幂函数,它在指定区间［-10,10]内的图形是抛物线,因此不是单调增长函数。根据排除法可知对的答案应是D。也可以用求导数的方法验证:由于在指定区间[－１0，１０]内,有故是单调增长函数。对的的选项是Ｄ。例２函数的单调增长区间是_______＿_。解:用求导数的方法,由于令则，则函数的单调增长区间应当填写。2.了解一些基本概念。(1)了解函数极值的概念，知道函数极值存在的必要条件,知道函数的极值点与驻点的区别与联系;例3函数的驻点是.解：根据驻点定义,令,得。应当填写（2)了解边际概念和需求价格弹性概念;例4已知需求函数为，则需求弹性＝.解:由于,且=所以应当填写例5已知需求函数,当时,需求弹性为()．A.B.C．D．解:由于，且=;故对的选项是C３．纯熟掌握求经济分析中的问题(如平均成本最低、收入最大和利润最大等)。掌握求边际函数的方法，会计算需求弹性。例6设生产某种产品台时的成本（万元）,试求（1）当时的总成本，平均成本和边际成本;(２)当产量为多少时,平均成本最小。解：(１)当时的总成本(万元)当时的平均成本(万元／台）当时的边际成本;（２),令,求得。由于故意义的驻点唯一,且平均成本存在着最小大值，所以当产量为２０台时,可使平均成本达成最小大。例７设某产品的成本函数为（元）,其中q是产量，单位：件。单位销售价格为(元／件)问产量为多少时可使利润达成最大。最大利润是多少?解：由于，且所以,令,解得(件）因唯一驻点唯一，故q=２50件是所求的最大值点。当产量为２５0件时,利润最大。最大利润为(元)例８生产某种产品的固定费用是100０万元,每多生产1台该种产品，其成本增长10万元，又知对该产品的需求为ｑ=120-2ｐ（其中q是产销量,单位:台；p是价格,单位:万元)．求(1)使该产品利润最大的产量;(２)该产品的边际收入.解:(1)设总成本函数为Ｃ(q)，收入函数为R(q)，利润函数为L(ｑ)，于是Ｃ(q)=1０q+1000(万元),R（q)=qp=(万元),L（ｑ)=Ｒ(ｑ）-C(q)=(万元),得到q=5０(台),由于驻点唯一,故ｑ=５０台是所求最小值点。即生产50台的该种产品能获最大利润。(2)因R(ｑ）=，故边际收入R(q）=60-ｑ(万元/台)。第二部一元函数积分学第1章不定积分1．理解原函数与不定积分概念。(1)什么是原函数?若函数的导数等于，即，则称函数是的原函数。(2)什么是不定积分？原函数的全体（其中是任意常数）称为的不定积分，记为=。(3）知道不定积分与导数(微分）之间的关系。不定积分与导数(微分）之间互为逆运算,即先积分,再求导，等于它自身；先求导，再积分，等于函数加上一个任意常数，即=，=,，例1假如F（x)是f(ｘ）的一个原函数，c为任意常数,则下式成立的是(）。 A．ﻩﻩﻩB．ﻩC.ﻩﻩ D.解：假如Ｆ（x）是ｆ（x）的一个原函数，则Ｆ(ｘ）＋c都是ｆ(x）的原函数，故有，即对的的选项是Ｃ。例2假如，则f（ｘ)＝(） Ａ．2sin2ｘ B．－2cos2ｘ ﻩC．－２sｉｎ2x D．2cos２x解:f(ｘ)＝．对的的选项是Ｄ。例3设是函数的一个原函数，则=（ﻩ）。ﻩA．ﻩ B．ﻩC.ﻩ D.解：由于是函数的一个原函数,即有=,故==故对的的选项C。例4设的一个原函数是,则（ )。 A． ﻩB. ﻩC． ﻩﻩD.解:由于的一个原函数是，故(=故对的的选项B。例５已知=ｓｉｎx+c，则f(ｘ）=（)ﻩA.B.xsinxC．D．xｃosｘ解：对=sinx+ｃ两端求导，得，故ｆ（x）＝，对的的选项是C。2.纯熟掌握不定积分的计算方法。常用的积分方法有（1）运用积分基本公式直接进行积分;(2)第一换元积分法（凑微分法）；(3)分部积分法，重要掌握被积函数是以下类型的不定积分：①幂函数与指数函数相乘;②幂函数与对数函数相乘；③幂函数与正(余)弦函数相乘;例6.(ﻩﻩ)。A.ﻩ B．ﻩﻩC． Ｄ．解:两种方法,其一是凑微分直接计算:其二是求导计算:四个备选答案中都具有项，对它求导与被积函数比较可知，是的原函数。对的的选项是B。例7计算下列积分(1)ﻩ （2) （3)解:(１）由于所以=（2）设，运用分部积分公式,（3)设,运用分部积分公式,==第2章定积分1．了解定积分的概念，知道奇偶函数在对称区间上的积分结果．奇偶函数在对称区间上的积分有以下结果:若是奇函数,则有若是偶函数,则有例1若是的一个原函数，则下列等式成立的是().A．B．C．D．解：可知，对的的选项是B。例2＝（ ）。 Ａ.－ｌn(x2+1) B.lｎ(x2+１)C．ln(x２+1）2x ﻩD．.－ｌn(x２+1)2ｘ解：＝-ln（ｘ２+1)。故对的的选项是A。例３。解：由于是奇函数,故0。应当填写：0２.纯熟掌握定积分的计算方法。例４计算下列定积分(１)（2） ﻩ(2）(4)解：（1）运用,于是＝＝注意,（2)运用=，可知＝＝ﻩ(３）用分部积分法＝=（4)用分部积分法=－=＝3.知道无穷限积分的收敛概念,会求简朴的无穷限积分。例5广义积分=。解：由于=。应当填写：例6下列无穷积分中收敛的是（).A.B．C.D.解：由于==1;所以对的的选项是B。第3章积分应用1．纯熟掌握用不定积分和定积分求总成本函数、收入函数和利润函数或其增量的方法。例１生产某产品的边际成本为（万元/百台）,边际收入为（万元/百台)，其中ｘ为产量，若固定成本为10万元，问（1）产量为多少时，利润最大?(２)从利润最大时的产量再生产２百台，利润有什么变化?解：（１)边际利润 令，得(百台）又是的唯一驻点,根据问题的实际意义可知存在最大值，故是的最大值点,即当产量为1０(百台）时,利润最大。(2)利润的变化即从利润