2021-2022学年山西省名校联考高二上学期期末数学试题(解析版)

2021-2022学年山西省名校联考高二上学期期末数学试题一、单选题1．在等差数列中，若，，则公差d=（）A．B．C．3D．－3【答案】C【分析】由等差数列的通项公式计算．【详解】因为故选：C．，，所以.【点睛】本题考查等差数列的通项公式，利用等差数列通项公式可得．，2．已知直线l1：y＝x+2与l2：2ax+y﹣1＝0垂直，则a＝（）A．B．C．﹣1D．1【答案】A【分析】利用两直线垂直斜率关系，即可求解.【详解】直线l1：y＝x+2与l2：2ax+y﹣1＝0垂直，.故选:A【点睛】本题考查两直线垂直间的关系，属于基础题.3．已知一质点的运动方程为，其中的单位为米，的单位为秒，则第1秒末的瞬时速度为（）A．B．C．D．【答案】C【分析】求出即得解.【详解】解：由题意得，故质点在第1秒末的瞬时速度为.故选：C4．函数图象的一个对称中心为（）A．B．C．D．【答案】D【分析】要求函数图象的一个对称中心的坐标,关键是求函数时的的值;令,根据余弦函数图象性质可得,此时可求出,然后对进行取值,进而结合选项即可得到答案.【详解】解:令,则,解得即,,图象的对称中心为,令,即可得到图象的一个对称中心为故选:D【点睛】本题考查三角函数的对称中心,正弦函数的对称中心为,余弦函数的对称中心为.5．若函数在定义域上单调递增，则实数的取值范围为（D．）A．B．C．【答案】D【分析】函数在定义域上单调递增等价于上恒成立，然后易得在上恒成立，即在，最后求出范围即可.【详解】函数的定义域为，，在定义域上单调递增等价于上恒成立，即在上恒成立，即在在上恒成立，分离参数得，所以，即.【点睛】方法点睛：已知函数的单调性求参数的取值范围的通解：若在区间上单调递增，则在区间上恒成立；若在区间上单调递减，则在区间上恒成立；然后再利用分离参数求得参数的取值范围即可.6．已知圆的圆心在轴上，半径为2，且与直线相切，则圆的方程为A．B．或或C．D．【答案】D【分析】设圆心坐标，由点到直线的距离公式可得或，进而求得答案．【详解】设圆心坐标，因为圆与直线相切，所以由点到直线的距离公式可得，解得或.因此圆的方程为或.【点睛】本题考查利用直线与圆的位置关系求圆的方程，属于一般题．7．已知抛物线的焦点为，抛物线的斜率为的焦点为，点在上，且，则直线A．B．C．D．【答案】B【分析】根据抛物线的定义，求得p的值，即可得抛物线后，再根据斜率公式求解.，的标准方程，求得抛物线的焦点坐标【详解】因为，所以，解得，所以直线的斜率为．故选B.【点睛】本题考查了抛物线的定义的应用，考查了抛物线的简单性质，涉及了直线的斜率公式；抛物线上的点到焦点的距离等于其到准线的距离；解题过程中注意焦点的位置.8．已知向量，，则下列向量中，使能构成空间的一个基底的向量是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】根据向量共面基本定理只需无解即可满足构成空间向量基底，据此检构成基底；验各选项即可得解.【详解】因为，所以A中的向量不能与，因为对于所以对于，所以B中的向量不能与，构成基底；，设，则，解得，，，故，，为共面向量，所以C中的向量不能与，构成基底；，设，则，此方程组无解，所以，，不共面，故D中的向量与，可以构成基底.故选：D9．已知奇函数A．，则的解集为（）B．C．D．【答案】A【分析】先由求出的值，进而可得的解析式，对求导，利用基本不等式可判断恒成立，可判断的单调性，根据单调性脱掉，再解不等式即可.的定义域为，因为是奇函数，【详解】所以，可得：，所以，，经检验所以是奇函数，符合题意，因为，所以，当且仅当所以即时等号成立，在上单调递增，由可得，即，解得：或，所以的解集为，，故选：A.10．各项均为正数的等比数列A．B．C．D．的前项和为，若，则（）【答案】D【分析】根据等比数列性质可知，，，成等比数列，由等比中项特点可构造方程求得，由等比数列通项公式可求得，进而得到结果.【详解】由等比数列的性质可得：，，，成等比数列，则，即，解得：，，，解得：.故选：D.11．在中，角、、所对的边分别是、、.已知，，且满足，则的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】D【分析】利用正弦定理边角互化思想化简得出，利用余弦定理化简得出上的单调性可求得，结合，根据函数在的取值范围.【详解】且，所以，由正弦定理得，即，，，所以，，则，由余弦定理得，，则，由于双勾函数在上单调递增，则，即，所以，.因此，的取值范围为.故选：D.【点睛】本题考查三角形内角余弦值的取值范围的求解，考查了余弦定理以及正弦定理边角互化思想的应用，考查计算能力，属于中等题.12．已知函数，则下列判断正确的是（）A．直线B．函数与曲线相切只有极大值，无极小值C．若与互为相反数，则D．若与互为倒数，则【答案】C的极值与的极值互为相反数的极值与的极值互为倒数【分析】求出函数的导函数，通过在某点处的导数为该点处切线的斜率，求出切线方程，并且判断出极值，通过结合与互为相反数，若与互为倒数，分别判断的极值与的极值是否互为相反数，以及是否互为倒数.，，令，得，所以【详解】，因为，，所以曲线使在点处的切线方程为，故A错；当当时，存在，且当时，；时，，即有极小值，无极大值，故B错误；设为的极值点，则，且，所以，，当时，；当时，，故C正确，D错误.二、填空题13．已知空间向量【答案】7，，若，则______．【分析】根据题意，结合空间向量的坐标运算，即可求解.【详解】根据题意，易知即，因为，所以，，解得．故答案为：7．14．__________．【答案】【分析】先由题得到，再整体代入化简即得解.【详解】因为，所以，则．故答案为【点睛】本题主要考查差角的正切公式，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.15．设为曲线__________．上一点，，，若，则【答案】4【分析】化简曲线方程，得到双曲线的一支，结合双曲线定义求出结果【详解】由，得，即，故为双曲线右支上一点，且分别为该双曲线的左、右焦点，则，.【点睛】本题考查了双曲线的定义，解题时要先化简曲线方程，然后再结合双曲线定义求出结果，较为基础16．已知函数有三个零点，则实数的取值范围为___________.【答案】【分析】由题意可得时，与的图象有三个不同的交点，经判断时不符合题意，当时，两个函数图象有一个交点，可得时与的图象有两个交点，等价于与的图象有两个不同的交点，对求导，数形结合即可求解.【详解】令若函数函数可得，有三个零点，则可得方程有三个根，即与的图象有三个不同的交点，作出的图象如图：当时，是以为顶点开口向下的抛物线，的图象没有交点，不符合题意；的图象只有一个交点，不符合题意；此时当与时，时，时与当时，与与的图象有一个交点，所以的图象有两个交点，即方程可得有两个不等的实根，即方程的图象有两个不同的交点，有两个不等的实根，与令，则，由由即可得可得，即，所以在单调递增，在单调递减，作出其图象如图：当当时，，时，可得与的图象有两个不同的交点，有三个零点，即时，函数所以实数的取值范围为故答案为：，【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.三、解答题17．已知等差数列中，首项，公差，且数列的前项和为．(1)求(2)设和；，求数列的前项和．；【答案】(1)，(2).【分析】（1）根据题意，结合等差数列的通项公式与求和公式，即可求解；（2）根据题意，求出，结合等差数列求和公式，即可求解.(1)根据题意，易知；.(2)根据题意，易知列，，因为，所以数列是首项为2，公差为的等差数故．18．已知函数的两个极值点之差的绝对值为.（1）求的值；（2）若过原点的直线与曲线在点处相切，求点的坐标.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）求，设的两根分别为，，由韦达定理可得：，，由题意知，进而可得的值；再检验所求的的值是否符合题意即可；（2）设，则，由列关于的方程，即可求得的值，进而可得的值，即可得点的坐标.【详解】由设可得：，的两根分别为，，则，由题意可知：所以，即，解得：，当由时，，可得或，由可得，所以在单调递增，在单调递减，在单调递增，所以符合题意，为极大值点，为极小值点，满足两个极值点之差的绝对值为，所以.（2）由（1）知，，设，则，由题意可得：，即，整理可得：，解得：或，因为则即为坐标原点，不符合题意，所以，，所以.19．如图，多面体形.中，平面平面，，四边形为平行四边（1）证明：（2）若；，求二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】（1）先通过平面，进而可得结论；平面得到，再结合，可得平面（2）取轴，轴，轴建立空间直角坐标系，求出平面的中点，的中点，连接，，以点为坐标原点，分别以的一个法向量以及平面，的一个法向量，求，为这两个法向量的夹角即可得结果.【详解】解：（1）因为平面平面，交线为，，又，所以平面，，，又，则平面平面，所以，（2）取；的中点，的中点，连接，，则平面，平面；以点为坐标原点，分别以，，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系如图所示，已知，则，，，，，，则，，设平面的一个法向量，由得令即，则，；，平面的一个法向量为；.所以二面角的余弦值为.【点睛】本题考查线线垂直的证明以及空间向量发求面面角，考查学生计算能力以及空间想象能力，是中档题.20．已知数列的前项和，数列是各项均为正数的等比数列，其中，且成等差数列.(1)求(2)设的通项公式；，求数列的前项和.【答案】(1)，;(2).【分析】（1）利用求出数列的通项，再求出等比数列的公比即得解；（2）求出，再利用错位相减法求解.(1)解：，.当时，，适合..设等比数列公比为，，，即，或（舍去），.(2)解：，，，上述两式相减，得，所以所以.21．已知椭圆的左，右焦点分别为，三个顶点（左､右顶点和上顶点）构成的三角形的面积为，离心率为方程的根.(1)求椭圆的方程；(2)椭圆的一个内接平行四边形的一组对边分别过点和，如图，若这个平行四边形面积为，求平行四边形的四个顶点的纵坐标的乘积.【答案】(1)；(2).【分析】（1）由椭圆离心率的性质及一元二次方程的根可得积求椭圆参数，即可得椭圆方程.，再由椭圆参数关系、已知三角形面（2）设直线，进而可得的对称性求，联立椭圆方程并结合韦达定理求求参数t，可得，再根据，结合椭圆，即可求结果.(1)由的根为，，所以椭圆的离心率依题意，，解得，即椭圆的方程为；(2)设直线，联立，消去得由韦达定理得：所以，，，所以，所以椭圆的内接平行四边形面积.所以，解得或（舍去），所以，根据椭圆的对称性知：，故平行四边形22．设函数的四个顶点的纵坐标的乘积为.，其中是自然对数的底数，.(1)若(2)若，求的最小值；，证明：恒成立.【答案】(1)(2)证明见解析【分