(参考答案)高考数学难点突破专题训练（5）：立体几何

(参考答案)2023高考数学难点突破专题训练（5）：立体几何高考数学难点突破专题训练（5）立体几何★热身训练1.（广东省深圳市高级中学（集团）2022-2023学年高三上学期期末测试数学试题）如图，棱长为4的正方体，点在平面内，平面与平面所成的二面角为，则顶点到平面的距离的最大值是A． B． C． D．【解答】解：如图所示，过作，垂足为，则为所求，，由题意，设，则，，，，令，则，可得，，顶点到平面的距离的最大值是．故选：．2.（江苏省常州高级中学2022-2023学年高三上学期1月月考数学试题）（多选题）如图，点是正四面体底面的中心，过点且平行于平面的直线分别交，于点，，是棱上的点，平面与棱的延长线相交于点，与棱的延长线相交于点，则（

）A．若平面，则B．存在点与直线，使C．存在点与直线，使平面D．ACD【分析】根据线面平行的性质定理，可判断A；由空间向量数量积可判断B；当直线平行于直线，时，通过线面垂直的判定定理可判断C，由共面向量定理可判断D.【解析】对于A，平面，平面与棱的延长线相交于点，与棱的延长线相交于点，平面平面，又平面，平面，，点在面上，过点的直线交，于点，，平面，又平面，平面平面，，，故A正确；对于B，设正四面体的棱长为，，故B错误；对于C，当直线平行于直线，为线段上靠近的三等分点，即，此时平面，以下给出证明：在正四面体中，设各棱长为，，，，均为正三角形，点为的中心，，由正三角形中的性质，易得，在中，，，，由余弦定理得，，，则，同理，，又，平面，平面，平面，存在点S与直线MN，使平面，故C正确；对于D，设为的中点，则，又∵，，三点共线，∴，∵，，三点共线，∴，∵，，三点共线，∴，设，，，则，∵，，，四点共面，∴，又∵，∴，∴，即，故D正确.故选：ACD.【注意】关键点注意：本题考查了线面平行的性质定理、线面垂直的判定定理，考查了空间向量数量积和共面向量定理，解题的关键是熟悉利用空间向量的共面定理，考查了转化能力与探究能力，属于难题.3.（江苏省苏北四市（徐州、淮安、宿迁、连云港）2022-2023学年度高三年级第一次调研测试数学试题）如图，在四棱锥S－ABCD中，侧面SAD⊥底面ABCD，SA⊥AD，且四边形ABCD为平行四边形，AB＝1，BC＝2，∠ABC＝eq\f(π,3)，SA＝3．(1)求二面角S－CD－A的大小；(2)点P在线段SD上且满足eq\o\ac(\S\UP7(→),SP)＝λeq\o\ac(\S\UP7(→),SD)，试确定λ的值，使得直线BP与面PCD所成角最大．4.（江苏省常州高级中学2022-2023学年高三上学期1月月考数学试题）如图，空间几何体中，四边形是梯形，，四边形是矩形，且平面平面，M是线段上的动点.（1）试确定点M的位置，使平面，并说明理由；（7分）（2）在（1）的条件下，平面将几何体分成两部分，求空间几何体与空间几何体的体积的比值.（7分）（1）当M是线段的中点时，平面，理由见解析；（2）.【分析】（1）由线面平行的性质定理确定M是线段的中点，然后根据线面平行的判定定理证明．（2）将几何体补成三棱柱，由三棱柱和三棱锥体积得几何体的体积，再求得三棱锥的体积后可得所求比值．【解析】（1）当M是线段的中点时，平面.证明如下：连接交于点N，连接，如图，由于M、N分别是的中点，所以，又在平面内，且不在平面内，所以平面.（2）∵四边形是矩形，∴.又，且，∴平面.平面平面，平面平面，平面，，所以平面，又平面，所以，将几何体补成三棱柱，三棱柱的体积，则几何体的体积，又三棱锥的体积.∴空间几何体与空间几何体的体积的比为.★高考引领本题题源是教材习题，改编自2016年江苏高考第17题。教材习题求函数的最大值。试题修改对教材习题进行处理，将符号语言转换成图像语言。可以有两种处理方向：处理成侧棱长为1，高线长未知的正四棱锥的体积；处理成母线长为1，高线长未知的圆锥的体积。为使得处理的情况具有一般性，将“侧棱长为1”、“母线长为1”均改为“长为”.（1）按处理方向处理，形成1稿.1稿已知一正四棱锥的高为,侧棱长为，记，求其体积的最大值及此时的长。提示：，2稿现要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部分形状为正四棱锥，其侧棱长为，其底面正方形的中心为,下部分形状为正四棱柱，其底面正方形的中心为,要求正四棱柱的高是正四棱锥的高的倍，求仓库容积最大时的长.2稿分析：记，则；注意到，当且仅当，即时，等号成立；，.2016年江苏高考第17题为2稿的特例（高考题为的情况，,）按处理方向处理，形成问题变式.变式现要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部分形状是顶点为,底面圆圆心为的圆锥，其母线长为，下部分形状是底面圆面积与上部分圆锥的底面圆面积相等的圆柱，其下底面圆圆心为，要求圆柱的高是圆锥的高的倍，求仓库容积最大时的长.注：该例为笔者文章“[2]例谈高中数学教材试题的衍生——以江苏高考数学试题命制为例[J].文理导航(中旬),2017,(02)”节选。也是《江苏高考数学复习指南》（刘蒋巍著）、《中学学科学法指导》（刘蒋巍著）一书内容。以此为背景命制的题有很多，譬如：《拓展阅读1：2019江苏19题第3问及其新解法》★难点突破：立体几何（1）1.（湖北省二十一所重点中学2023届高三上学期第三次联考数学试题）图1是一个不倒翁模型，它是一种古老的中国儿童玩具，最早记载出现于唐代，一经触动就摇摆然后恢复直立状态.如图2，将图1的模型抽象成一个正圆锥和半球的组合体.已知半球的密度是圆锥的2倍，已知要让半球质量不小于圆锥质量，才能使它在一定角度范围内“不倒”，则圆锥的高和底面半径之比至多为（）A. B.1 C.2 D.4【答案】D【分析】由圆锥和球的体积公式列不等式求解【详解】设圆锥的底面半径为，高为，由题意得，即，则，故选：D2.（全国大联考2023届高三第四次联考数学试卷）正四棱台的上、下底面边长分别为2，4，侧棱长为，则其体积为（）A.28 B. C.32 D.24【答案】A【分析】根据正四棱台的性质，结合正四棱台的体积公式进行求解即可.【详解】如图所示正四棱台中，是高，连接，设，垂足为，显然所以该正四棱台的高为，正四棱台的体积．故选：A3.（全国大联考2023届高三第四次联考数学试卷）在三棱锥A－BCD中，已知平面BCD，，若AB＝2，BC＝CD＝4，则AC与BD所成角的余弦值为（）A. B. C. D.【答案】C【分析】取，，的中点E，F，G连接，，，由中位线定理可得AC与BD所成角为，由几何关系求出三边，结合余弦定理即可求解.【详解】如图，取，，的中点E，F，G连接，，．∵，，∴（或其补角）即为与所成的角．∵平面，∴，∴，则，∵，，．取的中点，连接，，∴，∴平面，∴，又，∴，∴．∴与所成角的余弦值为．故选：C4.（江苏省南师附中、天一中学、海安中学、海门中学2022-2023学年高三上学期12月联考数学试卷）四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为eq2\r(,3)的正方形，侧面△PAD为正三角形，则其外接球体积最小值为A．eq\f(28\r(,7),3)πB．eq\f(32,3)πC．eq8\r(,6)πD．4eq\r(,3)π5.（江苏省泰兴中学、南菁高级中学、常州市第一中学三校联考2022-2023学年高三上学期第二次阶段考试数学试题）（多选题）棱长为1的正方体内部有一圆柱，此圆柱恰好以直线为轴，且圆柱上下底面分别与正方体中以为公共点的3个面都有一个公共点，以下命题正确的是（）A．在正方体内作与圆柱底面平行的截面，则截面的最大面积为B．无论点在线段上如何移动，都有C．圆柱的母线与正方体所有的棱所成的角都相等D．圆柱外接球体积的最小值为【答案】BCD如图所示：设分别为对应棱的中点，易知共面，截面的面积为，A错误；B正确；易知圆柱的母线与平行，由正方体的对称性可知与其每条侧棱间的夹角都相等，C正确；设圆柱底面半径为，则圆柱的底面必与过点的三个面相切，且切点分别在线段上，设在上的切点为，为圆柱的一条高，根据对称性知：，则圆柱的高为，，外接球体积的最小值为，D正确6.（江苏省南师附中、天一中学、海安中学、海门中学2022-2023学年高三上学期12月联考数学试卷）（多选题）在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1，E为A1D的中点，则A．B1E⊥A1CB．BE与B1C所成的角为eq\f(π,3)C．四面体A1EBC1的体积为eq\f(1,6)D．A1C与平面ABC1D1所成的角为eq\f(π,6)7.（江苏省苏州中学、扬州中学、盐城中学、常州中学2022-2023学年高三上学期12月G4联考数学试卷）（多选题）在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，PA＝AB＝1．G为PC的中点，M为平面PBD上一点下列说法正确的是A．MG的最小值为eq\f(\r(,3),6)B．若MA＋MG＝1，则点M的轨迹是椭圆C．若MA＝eq\f(\r(,15),6)，则点M的轨迹围成图形的面积为eq\f(π,12)D．存在点M，使得直线BM与CD所成角为30°8.（江苏省南通市如皋市2022-2023学年高三上学期教学质量调研(三)数学试题）（多选题）在正方体中，，则下列说法正确的是A.若，则B.若，为线段上的动点，则四面体的体积为定值C.若，，为线段的中点，则D.若，则线段AP的长度为定值【答案】ABD【解析】设正方体的边长为1，如图建系.，∴对于A，时，，，，A对.对于B，时，，∴P在上，平面，∴B到平面的距离与Р到平面的距离相等，而的面积为定值，则四面体为定值，B对.对于C，，，BP与AR不平行，C错.对于D，，，∴，D对，选ABD.9.（全国大联考2023届高三第四次联考数学试卷）在棱长为2的正方体中，为BC的中点．当点在平面内运动时，有平面，则线段MN的最小值为______．【答案】【分析】作出正方体，取的中点P，的中点，连接，，，易证平面平面，进而判断，由几何关系求得三边长，易判断到直线距离为线段MN的最小值，结合三角函数得解.【详解】取的中点P，的中点，连接，，，如图所示．∵P，N分别为，的中点，∴，又平面，平面，平面，P，Q分别为，的中点，∴．又，四边形为平行四边形，，，又平面，平面，平面，，∴平面平面，∵平面，∴平面，又点在平面内运动，∴点在平面和平面的交线上即．在中，，，．∴，∴，∴点到的最小距离，∴线段的最小值为．故答案为：10.（江苏省苏州中学、扬州中学、盐城中学、常州中学2022-2023学年高三上学期12月G4联考数学试卷）在轴截面为正方形ABCD的圆柱中，M，N分别为弧AD，弧BC的中点，且在平面ABCD的两侧．(1)求证：四边形ANCM是矩形；(2)求二面角B－MN－C的余弦值．11.（江苏省南师附中、天一中学、海安中学、海门中学2022-2023学年高三上学期12月联考数学试卷）如图1，梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝BC＝2，AD＝4，将△ABC沿对角线AC翻折，使点B至点P，且使平面PAC⊥平面ACD，如图2．(1)求证：PA⊥CD；(2)连接PD，当四面体PACD体积最大时，求二面角C－PA－D的大小．12.（湖北省二十一所重点中学2023届高三上学期第三次联考数学试题）如图，在几何体中，底面为以为斜边的等腰直角三角形.已知平面平面，平面平面平面.（1）证明：平面；（2）若，设为棱的中点，求当几何体的体积取最大值时与所成角的正切值.【答案】（1）证明见解析（2）6【分析】（1）先做一条辅助线，再通过面面垂直性质得到平面，再根据平面，可得，进而根据线面垂直的判定定理即可证明.（2）过点作交与点,连接,通过题目条件和小问1结论证明四边形为平行四边形，然后把多面体分为两个三棱锥求体积，令，把求体积的最大值转化为求关于的函数的最大值.构造函数，通过导函数判断其单调性，进而得到的最大值，求出此时的值.然后以点为原点建立空间直角坐标系，通过向量法求与所成角的正切值.【小问1详解】过点作交与点，平面平面，且两平面的交线为平面又平面又且平面【小问2详解】过点作交与点,连接平面平面，且两平面的交线为平面又平面到平面的距离相等且，平面又，令则，.所以在上单调递增，在上单调递减，即，当且仅当时取得最大值.如图所示，以点为原点建立空间直角坐标系，则，所以.设与所成角为，则，则，即当几何体体积最大时，与所成角的正切值为6.13.(江苏省常熟市2022-2023学年高三上学期12月份抽测二数学试题)如图，在四棱锥P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥DC，△PAD是等边三角形，已知AB＝2AD＝2DC＝4，BD＝2eq\r(,3)，M是线段PC上的一点(不与端点P，C重合)．(1)求证：平面MBD⊥平面PAD；(2)若点M是线段PC上靠近C的三等分点，求锐二面角M－BD－C的大小．14.（全国大联考2023届高三第四次联考数学试卷）如图，在三棱锥A－BCD中，△ABC是正三角形，平面ABC⊥平面BCD，BD⊥CD，点E，F分别是BC，DC的中点．（1）证明：CD⊥平面AEF．（2）若∠BCD＝60°，点G是线段BD上的动点，问：点G运动到何处时，平面AEG与平面ACD所成锐二面角的余弦值最大．【答案】（1）证明见解析（2）为的中点【分析】（1）要证CD⊥平面AEF，即证，由BD⊥CD可证，由△ABC是正三角形，平面ABC⊥平面BCD，可证，进而得证；（2）过点作，垂足为，设，以为正交基底，建立空间直角坐标系，设，求出平面AEG与平面ACD的法向量，结合向量夹角的余弦公式和函数关系求出，进而得出点G位置.【小问1详解】因为是正三角形，点是的中点，所以．又因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，又因为平面，所以．因为点E，F分别是，的中点，所以，又因为，所以，又因为，在平面内，所以平面；【小问2详解】在平面中，过点作，垂足为，设，则，，．以为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，设，则，，，．设平面的法向量为，由，得，令，故，设平面的法向量为，则，即，令，则．设平面与平面所成锐二面角的平面角为，所以，当时，，此时最大，故当为的中点时，平面与平面所成锐二面角的余弦值最大．★难点突破：立体几何（2）1.（浙江省宁波市2023届高三上学期一模数学试题）在正四棱台中，，．当该正四棱台的体积最大时，其外接球的表面积为（）A. B. C. D.【答案】D【分析】根据正棱台的性质，表示出棱台的高与边长之间的关系，根据棱台的体积公式，将体积函数式子表示出来，利用不等式求解最值，得到棱台的高.因为外接球的球心一定在棱台上下底面中心的连线及其延长线上，通过作图，数形结合，求出外接球的半径，得到表面积.