(参考答案)高考数学难点突破专题训练（1）：函数与导数

(参考答案)2023高考数学难点突破专题训练（1）：函数与导数高考数学难点突破专题训练（1）函数与导数★热身训练（2022—2023学年度第一学期高三阶段联考）1.已知，则的大小关系为（

）A． B． C． D．2.若对，不等式恒成立，则实数的最大值为（）0（多选题）已知函数及其导函数的定义域均为R，若，均为奇函数，则（） B． C．D．4.若曲线有两条过坐标原点的切线，则的取值范围为__________5.已知函数.(1)若，求曲线在点处的切线方程；(2)若对任意的恒成立，求的取值范围.★高考引领2022高考三类“比大小”问题的出题背景及应用举例文/刘蒋巍第1类出题背景1变形得：注：该不等式也可运用“移项，构造函数”的高中方法证明。第2类出题背景2若【运用案例1】（2022·新高考Ⅰ卷T7）设，则（）A.B.C.D.令，得：，可得：令，得：，即：可得：设,将0.1抽象成，,，则问题迎刃而解。【运用案例2】（南京市第一中学2023届高三上学期入学考试数学试题）已知，，，则的大小关系为（）B.C.D.令，得：，所以，由“若”得：所以，故：.【运用案例3】（2022·全国甲（文）T12）已知，则（）B.C. D.由“若”得：，则，则同理，，则故，【变式】（2019年全国高中数学联赛甘肃预赛第3题）已知，，，则的大小关系是__________________参考答案：（提示：，因为，所以）第3类出题背景3【运用案例】（2022·全国甲（理）T12）已知，则（）B.C. D.分析：因为,因为当，所以,即,所以；结合“”,令即可判断：故，【类题训练】1.已知,则A. B. C. D.2.若a＝sin1＋tan1，b＝2，c＝ln4＋eq\f(1,2)，则a，b，c的大小关系为()A．c＜b＜aB．c＜a＜bC．a＜b＜cD．b＜c＜a【分析】构造函数，利用导数说明函数的单调性，即可判断，再构造函数，，利用导数说明函数的单调性，即可判断，即可得解；【详解】解：令，则，则在定义域上单调递减，所以，即，所以，即，令，，则，因为，所以，令，，则，即在上单调递减，所以，所以，即在上单调递增，所以，即，即，即，综上可得；故选：A3.4.设，，，，则A． B． C． D．答案：B5.（多选题）已知0＜x＜y＜π，eysinx＝exsiny，则()sinx＜sinyB．cosx＞－cosyC．sinx＞cosyD．cosx＞siny答案：ABC【分析】将变为结合指数函数的性质，判断A;构造函数，求导，利用其单调性结合图象判断x,y的范围，利用余弦函数单调性，判断B;利用正弦函数的单调性判断C，结合余弦函数的单调性，判断D.【详解】由题意，，得，，，∴，∴，A对；，令，即有，令，在上递减，在上递增，因为，∴，作出函数以及大致图象如图：则，∴，结合图象则，∴，∴，B对；结合以上分析以及图象可得，∴，且，∴，C对；由C的分析可知，，在区间上，函数不是单调函数，即不成立，即不成立，故D错误；故选：ABC．6.★难点突破（一）：函数与导数1.（江苏省苏州中学、扬州中学、盐城中学、常州中学2022-2023学年高三上学期12月G4联考数学试卷）函数y＝2x2－e|x|在[－2，2]的图象大致为答案：D2.（江苏省苏州中学、扬州中学、盐城中学、常州中学2022-2023学年高三上学期12月G4联考数学试卷）南宋时期，秦九韶就创立了精密测算雨量、雨雪的方法，他在《数学九章》载有“天池盆测雨”题，使用一个圆台形的天池盆接雨水．观察发现体积一半时的水深大于盆高的一半，体积一半时的水面面积大于盆高一半时的水面面积，若盆口半径为a，盆地半径为b(0＜b＜a)，根据如上事实，可以抽象出的不等关系为A．eq\r(3,\f(a＋b,2))＜eq\f(\r(3,a)＋\r(3,b),2)B．eq\r(,\f(a＋b,2))＜eq\f(\r(,a)＋\r(,b),2)C．(eq\f(a＋b,2))2＜eq\f(a2＋b2,2)D．(eq\f(a＋b,2))3＜eq\f(a3＋b3,2)答案：D3.（江苏省泰兴中学、南菁高级中学、常州市第一中学三校联考2022-2023学年高三上学期第二次阶段考试数学试题）已知l1，l2分别是函数图象上不同的两点，处的切线，l1，l2分别与y轴交于点A，B，且l1与l2垂直并相交于点P，则△PAB的面积的取值范围是（）A B． C． D．4.（江苏省泰兴中学、南菁高级中学、常州市第一中学三校联考2022-2023学年高三上学期第二次阶段考试数学试题）已知lnπ＞π－2，设，其中e为自然对数的底数，则（）BA．a＜b＜cB．b＜a＜cC．a＜c＜bD．b＜c＜a5.(江苏省常熟市2022-2023学年高三上学期12月份抽测二数学试题)已知a＝0.2e0.1，b＝2ln1.1，c＝0.19，则a，b，c的大小关系正确的是a＞b＞cB．a＞c＞bC．b＞a＞cD．b＞c＞a答案：A6.（江苏省镇江第一中学等三校2022-2023学年高三上学期12月质量检测数学试题）已知函数的定义域为，且为奇函数，为偶函数，且对任意的，且，都有，则下列结论错误的为A．是偶函数 B．C．的图象关于对称 D．答案：D7.（江苏省南通市如皋市2022-2023学年高三上学期教学质量调研(三)数学试题）已知，，，则A. B. C. D.【答案】C【解析】令，，在，，∴，即，即，选C.8.（全国大联考2023届高三第四次联考数学试卷）设，，，则（）A. B. C.D.【答案】B【分析】先利用导数证明出，令，可以判断出最小；利用作商法比较出，即可得到答案.【详解】设.因为，所以当时，，在上单调递减，当时，，在上单调递增，所以当，且时，，即．所以，，所以最小，又因为，所以．综上可知，．故选：B9.（湖北省二十一所重点中学2023届高三上学期第三次联考数学试题）（多选题）已知，则（）A. B.C. D.【答案】AD【分析】A.先构造函数，通过函数的单调性确定的大致范围，再构造，通过函数的单调性确定与的大小关系，进而得到A选项.B.先构造函数，通过函数的单调性确定的大致范围，再构造，通过函数的单调性确定与的大小关系，进而可知B选项错误.C.通过，得到，进而可得与的大小关系,进而可知C选项错误.D.与C选项同样的方法即可判断.【详解】A.令则，所以在单调递减，在上单调递增，且，故.令则，所以在上单调递减，且即故选项A正确B.令则，所以在单调递增，在上单调递减，且，故.令所以在上单调递减，且即故选项B错误C.又在单调递增故选项C错误D.由C可知，又在单调递减故选项D正确故选：AD10.(江苏省常熟市2022-2023学年高三上学期12月份抽测二数学试题)（多选题）对于三次函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，给出定义：设f′(x)是函数y＝f(x)的导数，f″(x)是f′(x)的导数，若方程f″(x)＝0有实数解x0，则称点(x0，f(x0))为函数的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”，任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设函数f(x)＝eq\f(1,3)x3－x2＋ax－a，以下说法正确的是A．f(x)＋f(2－x)＝－eq\f(4,3)B．当a＜0时，f(x)有三个零点C．f(－2019)＋f(－2020)＋f(2021)＋f(2022)＝4D．当f(x)有两个极值点x1，x2时，过A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))的直线必过点(1，－eq\f(4,3))答案：AB11.(江苏省常熟市2022-2023学年高三上学期12月份抽测二数学试题)已知函数f(x)＝eq\B\lc\{(\a\al((x＋1)e\s(x)－1，x≤0,x\s(2)－2x，x＞0))，(e是自然对数的底数)，若函数f(f(x)－a)＋1＝0有4个不同的零点，则实数a的取值范围是▲．答案：12.（江苏省苏州中学、扬州中学、盐城中学、常州中学2022-2023学年高三上学期12月G4联考数学试卷）已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≥0时，f(x)＝2x．若对任意x∈[1，3]，不等式f(x＋a)≤f2(x)恒成立，则实数a的取值范围是．13.（江苏省南师附中、天一中学、海安中学、海门中学2022-2023学年高三上学期12月联考数学试卷）已知函数f(x)＝xlnx＋1，g(x)＝eeq\s(－x)＋ax，若f(x)与g(x)的图象上有且仅有2对关于原点对称的点，则实数a的取值范围为．14.（江苏省泰兴中学、南菁高级中学、常州市第一中学三校联考2022-2023学年高三上学期第二次阶段考试数学试题）已知定义在上的偶函数的导函数为，当时，，且，则不等式的解集为__________.15.(江苏省镇江第一中学等三校2022-2023学年高三上学期12月质量检测数学试题)已知函数.（注：是自然对数的底数），则不等式的解集为______________16.（江苏省泰兴中学、南菁高级中学、常州市第一中学三校联考2022-2023学年高三上学期第二次阶段考试数学试题）(12分)已知函数，其中．（1）若对一切，恒成立，求的值；（2)在函数的图象上取定点，记直线的斜率为k，证明：存在,使恒成立．【解】（1）令．当时单调递减；当时单调递增，故当时，取最小值………2分于是对一切恒成立，当且仅当.①令则当时，单调递增；当时，单调递减.故当时，取最大值.因此，当且仅当时，①式成立.综上所述，………5分（2）由题意知，令则…10分令，则.当时，单调递减；当时，单调递增.故当，即从而，又所以………11分因为函数在区间上的图像是连续不断的一条曲线，所以存在使即成立.………………12分17.（江苏省苏州中学、扬州中学、盐城中学、常州中学2022-2023学年高三上学期12月G4联考数学试卷）若对实数x0，函数f(x)，g(x)满足f(x0)＝g(x0)且f′(x0)＝g′(x0)，则称F(x)＝eq\B\lc\{(\a\al(f(x)，x＜x\s\do(0),g(x)，x≥x\s\do(0)))为“平滑函数”，x0为该函数的“平滑点”．已知f(x)＝ax3－eq\f(3,2)x2＋eq\f(1,2)x，g(x)＝bxlnx．(1)若1是平滑函数F(x)的“平滑点”，(i)求实数a，b的值；(ii)若过点P(2，t)可作三条不同的直线与函数y＝F(x)的图象相切，求实数t的取值范围；(2)对任意b＞0，判断是否存在a≥1，使得函数F(x)存在正的“平滑点”，并说明理由★难点突破（二）：函数与导数1.(浙江省宁波市2023届高三上学期一模数学试题)一种药品在病人血液中的量不低于1500mg时才有疗效，如果用药前，病人血液中该药品的量为0mg，用药后，药在血液中以每小时20%的比例衰减．现给某病人静脉注射了3000mg的此药品，为了持续保持疗效，则最长需要在多少小时后再次注射此药品（，结果精确到0.1）（）A.2.7 B.2.9 C.3.1 D.3.3【答案】C【分析】根据题意列出关于的式子，根据对数的运算性质即可求解.【详解】设注射个小时后需要向病人血液中再次注射该药品，则，由得：故的最大值为3.1,故选：C2.（2023届12月⾼三年级苏州⼋校联盟第⼆次适应性检测）答案：C

3.（浙江省衢州市普通高中2022-2023学年高三上学期素养测评数学试题）实数分别满足，则的大小关系为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据已知即，构造函数，确定其在上单调递减，可得，又设，其在上单调递增，所以得，即可判断的大小；再构造函数，可得恒成立，可判断，最值可得结果.【详解】解：由已知得，①设，当时，，所以在上单调递减，因此，即，所以，又设，，当时，，所以在上单调递增，因此，所以则，所以；②设，当时，，在上，单调递减，当时，恒成立；取时，；综上得故选：C.4.（2023届12月⾼三年级苏州⼋校联盟第⼆次适应性检测）（多选题）答案：AD5.(湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2022-2023学年高三上学期期中数学试题)函数和有相同的最大值，直线与两曲线和恰好有三个交点，从左到右三个交点横