扭转材料力学

第四章扭转对称扳手拧紧镙帽工程中承受扭转变形的构件传动轴汽车传动轴扭转一、扭转的概念及外力偶矩的计算MM受力特征：外力偶矩的作用面与杆件的轴线相垂直。

纵向线倾斜一个角度γ，称为剪切角(或称剪应变)；两个横截面之间绕杆轴线发生相对转动，称为扭转角。扭转/扭转的概念及外力偶矩的计算变形特征：外力偶矩与功率和转速的关系功率功时间力偶矩角位移角速度每分钟的转数扭转/扭转的概念及外力偶矩的计算P:kWn:r/min二、轴受扭时的内力计算已知圆轴受外力偶矩作用，匀速转动。则１１用截面法求内力：１１扭转/杆受扭时的内力计算１１扭矩扭矩符号：按右手螺旋法则。扭矩矢量的指向与截面外法线的指向一致，为正；反之为负。扭转/杆受扭时的内力计算nn（+）nn（-）１１２２扭转/杆受扭时的内力计算截面2-2上的内力：２２１１２２（+）１１２２扭矩图：扭矩随构件横截面的位置变化的图线。（-）扭矩图扭转/杆受扭时的内力计算例题3-1图示传动轴上，经由A轮输入功率10KW，经由B、C、D轮输出功率分别为2、3、5KW。轴的转速n=300r/min，求作该轴的扭矩图。如将A、D轮的位置更换放置是否合理？ACBD扭转/杆受扭时的内力计算IIIIIIIIIIII经由A、B、C、D轮传递的外力偶矩分别为解：扭转/杆受扭时的内力计算ACBDIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII扭转/杆受扭时的内力计算ACBDIIIIIIIIIIIIACBD（-）扭矩图（+）（在CA段和AD段）扭转/杆受扭时的内力计算IIIIIIIIIIII绘出扭矩图：将A、D轮的位置更换，则ACBD扭矩图（-）（AD段）因此将A、D轮的位置更换不合理。扭转/杆受扭时的内力计算薄壁圆筒横截面上的剪应力分布三、纯剪切r薄壁圆筒:横截面半径远大于其厚度薄壁圆筒扭转时的实验现象纯剪切的概念TT实验现象：1.纵向线倾斜了相同的微小角度，方格斜歪成了菱形。2.圆周线没有发生改变，绕轴线发生了相对转动，距离不变，大小不变。，称单元体取出微元体，当，且dx、dy都很小时，视为正六面体单元体左右两个侧面产生错动，称剪切变形

为剪应变,此时必有剪应力。分析现象1方格斜歪成了菱形*薄壁圆筒截面上的剪应力纯剪切的概念dxdydz剪应力互等定理：二个相互垂直的截面上，剪应力大小相等方向相反。圆周线之间的距离保持不变，仍为圆形，大小不变，绕轴线产生相对转动。横截面上不存在正应力。纯剪切的概念T薄壁圆筒横截面上的剪应力分布分析现象2思考：由应力概念TT认为剪应力沿圆周方向均匀分布。纯剪切的概念纯剪切——若单元体各个面上只承受剪应力而没有正应力。纯剪切*剪切虎克定律其中G是材料的剪切弹性模量。实验证明：当剪应力不超过材料的比例极限时，剪应力与剪应变成正比。单位：Mpa、Gpa.且纯剪切的概念1、实验观察扭转/圆轴扭转时的应力和变形横截面上存在剪应力,不存在正应力.平面假设——圆轴的横截面变形后保持为平面，圆轴右端截面上所绘的径向线保持直线。TT圆轴扭转时横截面上的剪应力分布理论分析(1)几何分析dx扭转/圆轴扭转时的应力和变形TTT式中表示扭转角沿轴长的变化率称为单位扭转角，在同一截面上，=常数。扭转/圆轴扭转时的应力和变形在半径为的层面上（小变形条件下）(2)物理条件——剪切胡克定律扭转/圆轴扭转时的应力和变形T(3)静力平衡条件(单位扭转角,单位：rad/m)

称为极惯性矩，是截面的几何性质，与截面的几何形状、尺寸有关。扭转/圆轴扭转时的应力和变形T在扭矩相同的条件下，因此表示圆轴抵抗变形的能力，称为圆轴的抗扭刚度。（横截面上剪应力的计算公式。）式中称为抗扭截面模量。扭转/圆轴扭转时的应力和变形D=2R(4)公式中几何量与的计算。a、实心圆截面因此而dA扭转/圆轴扭转时的应力和变形b、空心圆截面Dd式中而扭转/圆轴扭转时的应力和变形例3-1内外径分别为20mm和40mm的空心圆截面轴，受扭矩T=1kN·m作用，计算横截面上A点的剪应力及横截面上的最大和最小剪应力。解：圆轴扭转时的变形例3-2

实心圆轴受扭，若将轴的直径减小一半时，横截面的最大剪应力是原来的

倍？圆轴的扭转角是原来的

倍？816

例3-3

水平面上的直角拐，AB段为圆轴，直径为d，在端点C受铅垂力P作用，材料的剪切弹性模量为G，不计BC段变形。求C点的铅垂位移。解：例3-4圆截面橡胶棒的直径d=40mm,受扭后,原来表面上的圆周线和纵向线间夹角由90°变为88°。如杆长l=300mm，试求两端截面间的扭转角；如果材料的剪变模量G=2.7MPa，试求杆横截面上最大剪应力和杆端的外力偶矩ｍ。解：由受扭圆轴失效的标志：塑性材料：首先发生屈服，在试样表面出现螺旋线，最后沿横截面被剪断。脆性材料：变形很小，在与轴线约成45º的面上断裂。圆轴的强度条件为式中（u为扭转极限应力许用剪应力,n为安全系数）扭转/圆轴的强度条件和刚度条件（一）强度条件四、圆轴的强度条件和刚度条件不是剪切破坏（二）刚度条件或[]的数值按照对机器的要求决定：精密机器的轴：一般传动轴：精度要求不高的轴：扭转/圆轴的强度条件和刚度条件解：由传动轴的尺寸计算抗扭截面模量：例3-5某汽车传动轴，用45号钢无缝钢管制成，其外径D=90mm,壁厚t=2.5mm，使用时最大扭矩为Mmax=1500N.m,试校核此轴的强度。已知[]=60MPa。若此轴改为实心轴，并要求强度仍与原空心轴相当，则实心轴的直径D1为？扭转/圆轴的强度条件和刚度条件所以此轴安全。若此轴改为实心轴，而式中解得：扭转/圆轴的强度条件和刚度条件轴的最大剪应力实心轴的横截面面积为空心轴的横截面面积为空心轴与实心轴的重量之比：因此在承载能力相同的条件下，使用空心轴比较节约材料、比较经济。扭转/圆轴的强度条件和刚度条件采用空心轴可有效地减轻轴的重量，节约材料。①根据应力分布规律，轴心附近处的应力很小，对实心轴而言，轴心附近处的材料没有较好地发挥其作用；

②从截面的几何性质分析，横截面面积相同的条件下，空心轴材料分布远离轴心，其极惯性矩Ip必大于实心轴，扭转截面系数Wt也比较大，强度和刚度均可提高；

扭转/圆轴的强度条件和刚度条件扭转/圆轴的强度条件和刚度条件AllBCd例3-6

图示等截面圆轴，已知d=90mm,l=50cm,,

。轴的材料为钢，G=80GPa,求（1）轴的最大剪应力；（2）截面B和截面C的扭转角；（3）若要求BC段的扭转角与AB段的相等，则在BC段钻孔的孔径d´应为多大？（+）（-）扭矩图解：(1)轴的最大剪应力作扭矩图：AllBCd2211因此扭转/圆轴的强度条件和刚度条件（2）B、C截面扭转角截面B：扭转/圆轴的强度条件和刚度条件AllBCd2211截面C扭转/圆轴的强度条件和刚度条件AllBCd2211（3）BC段孔径d’由得解得：扭转/圆轴的强度条件和刚度条件AllBCd例3-7

图示圆截面杆AB左端固定，承受一集度为t的均布力偶矩作用。试导出计算截面B的扭转角公式。Lt

xdx解：取微段作为研究对象。Tx(x)Tx(x)+dTx

L-xtTx(x)由平衡条件,横截面上的扭矩为：微段两端截面的相对扭转角为：AB扭转/圆轴的强度条件和刚度条件求出扭矩因此扭转/圆轴的强度条件和刚度条件LtAB五、扭转的静不定问题例3-8两端固定的圆截面等直杆AB，在截面C受外力偶矩m作用，试求杆两端的支座反力偶矩。解：静力平衡方程为：变形协调条件为：即：例3-9

一组合杆由实心杆1和空心管2结合在一起所组成（端面焊接），杆和管的材料相同。剪切模量为G,试求组合杆承受外力偶矩M以后，杆和管内的最大剪应力。12T12解：（1）静力学关系（2）变形协调条件扭转/扭转的静不定问题（3）物理关系：代入变形协调方程，得补充方程（4）补充方