2018学数学二轮复习练酷专题课时跟踪检测（二十五）创应用问题理

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精PAGE14学必求其心得，业必贵于专精PAGE课时跟踪检测(二十五)创新应用问题1．(2017·大连二模)定义运算：xy＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x，xy≥0，，y,xy＜0，））例如：34＝3,（－2)4＝4，则函数f（x）＝x2（2x－x2）的最大值为(）A．0 B．1C．2 D．4解析：选D由题意可得f（x）＝x2（2x－x2）＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（x2，0≤x≤2,,2x－x2,x＞2或x＜0,）)当0≤x≤2时,f（x）∈[0，4]；当x＞2或x＜0时，f(x)∈（－∞，0）．综上可得函数f(x)的最大值为4.2．朱载堉(1536—1611),是中国明代一位杰出的音乐家、数学家和天文历算家，他的著作《律学新说》中制成了最早的“十二平均律"．十二平均律是目前世界上通用的把一组音（八度)分成十二个半音音程的律制，各相邻两律之间的频率之比完全相等，亦称“十二等程律”．即一个八度13个音，相邻两个音之间的频率之比相等，且最后一个音是最初那个音的频率的2倍．设第三个音的频率为f1，第七个音的频率为f2。则eq\f（f2，f1)＝()A。eq\r(3,2） B.eq\r（11,16）C．4eq\r（12,2) D.eq\r(8，2）解析:选A设13个音的频率所成的等比数列｛an｝的公比为q，则依题意，有a13＝a1·q12＝2a1，所以q＝2eq\f(1,12），所以eq\f(f2，f1）＝eq\f（a7,a3)＝q4＝2eq\f(1，3)＝eq\r（3,2）.3．（2017·宜昌三模)已知甲、乙两车间的月产值在2017年1月份相同，甲车间以后每个月比前一个月增加相同的产值,乙车间以后每个月比前一个月增加产值的百分比相同．到2017年7月份发现两车间的月产值又相同，比较甲、乙两个车间2017年4月份月产值的大小，则(）A．甲车间大于乙车间B．甲车间等于乙车间C．甲车间小于乙车间D．不确定解析：选A设甲车间以后每个月比前一个月增加相同的产值a，乙车间每个月比前一个月增加产值的百分比为x，甲、乙两车间的月产值在2017年1月份均为m，则由题意得m＋6a＝m×(1＋x）6。①4月份甲车间的月产值为m＋3a,4月份乙车间的月产值为m×（1＋x）3,由①知，（1＋x)6＝1＋eq\f(6a,m),即4月份乙车间的月产值为meq\r（1＋\f（6a,m））＝eq\r（m2＋6ma),∵（m＋3a）2－(m2＋6ma）＝9a2＞0，∴m＋3a＞eq\r(m2＋6ma）,即4月份甲车间的月产值大于乙车间的月产值．4.如图,某广场要规划一矩形区域ABCD，并在该区域内设计出三块形状、大小完全相同的小矩形绿化区，这三块绿化区四周均设置有1m宽的走道，已知三块绿化区的总面积为200m2，则该矩形区域ABCD占地面积的最小值为(）A．248m2 B．288m2C．328m2 D．368m2解析:选B设绿化区域小矩形的宽为x，长为y，则3xy＝200,∴y＝eq\f(200，3x），故矩形区域ABCD的面积S＝(3x＋4）(y＋2）＝(3x＋4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(200,3x）＋2))＝208＋6x＋eq\f（800，3x）≥208＋2eq\r（1600）＝288,当且仅当6x＝eq\f(800,3x），即x＝eq\f(20，3)时取“＝”，∴矩形区域ABCD的面积的最小值为288m2。5．已知函数y＝f（x)(x∈R）,对函数y＝g（x)(x∈R）,定义g(x)关于f（x)的“对称函数"为函数y＝h（x)（x∈R)，y＝h（x）满足:对任意的x∈R，两个点(x,h(x）），(x,g(x))关于点（x，f(x））对称．若h（x)是g（x)＝eq\r（4－x2）关于f（x)＝3x＋b的“对称函数"，且h（x)＞g（x)恒成立,则实数b的取值范围是________．解析：根据“对称函数"的定义可知,eq\f(hx＋\r（4－x2），2）＝3x＋b，即h(x)＝6x＋2b－eq\r（4－x2)，h（x）＞g（x）恒成立，等价于6x＋2b－eq\r（4－x2)＞eq\r（4－x2)，即3x＋b＞eq\r（4－x2)恒成立,设F（x）＝3x＋b,m（x）＝eq\r(4－x2），作出两个函数对应的图象如图所示，当直线和上半圆相切时,圆心到直线的距离d＝eq\f(|b｜，\r(－12＋32）)＝eq\f(|b|，\r(10）)＝2，即|b｜＝2eq\r(10）,∴b＝2eq\r(10)或b＝－2eq\r（10)（舍去），即要使h(x）＞g（x)恒成立，则b＞2eq\r（10)，即实数b的取值范围是(2eq\r（10)，＋∞）．答案：（2eq\r(10)，＋∞）6．三国魏人刘徽，自撰《海岛算经》,专论测高望远．其中有一题：今有望海岛,立两表齐，高三丈,前后相去千步，令后表与前表相直．从前表却行一百二十三步，人目著地取望岛峰，与表末参合．从后表却行百二十七步，人目著地取望岛峰，亦与表末参合．问岛高及去表各几何？译文如下：要测量海岛上一座山峰A的高度AH，立两根高均为3丈的标杆BC和DE，前后标杆相距1000步,使后标杆杆脚D与前标杆杆脚B与山峰脚H在同一直线上,从前标杆杆脚B退行123步到F，人眼著地观测到岛峰，A，C，F三点共线，从后标杆杆脚D退行127步到G，人眼著地观测到岛峰，A，E，G三点也共线，问岛峰的高度AH＝________步．（古制:1步＝6尺，1里＝180丈＝1800尺＝300步)解析：如图所示，由题意知BC＝DE＝5步，BF＝123步，DG＝127步,设AH＝h步,因为BC∥AH，所以△BCF∽△HAF，所以eq\f(BC,AH)＝eq\f(BF,HF）,所以eq\f（5,h)＝eq\f（123，HF),即HF＝eq\f(123h,5）。因为DE∥AH，所以△GDE∽△GHA，所以eq\f（DE,AH)＝eq\f（DG,HG），所以eq\f（5,h）＝eq\f（127,HG），即HG＝eq\f(127h，5），由题意(HG－127)－(HF－123)＝1000,即eq\f（127h,5）－eq\f(123h，5）－4＝1000，h＝1255，即AH＝1255步．答案:12557．对于定义在区间D上的函数f(x），若存在闭区间［a，b]⊆D和常数c，使得对任意x1∈[a，b]，都有f（x1)＝c，且对任意x2∈D，当x2∉[a，b］时，f（x2)＜c恒成立，则称函数f（x）为区间D上的“平顶型”函数．给出下列结论：①“平顶型"函数在定义域内有最大值；②函数f(x）＝x－｜x－2|为R上的“平顶型”函数;③函数f（x）＝sinx－|sinx|为R上的“平顶型"函数；④当t≤eq\f(3,4)时，函数f（x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（2，x≤1，,log\f(1，2)x－t，x＞1)）是区间[0，＋∞)上的“平顶型"函数．其中正确的结论是________．（填序号)解析:由于“平顶型”函数在区间D上对任意x1∈[a，b]，都有f（x1)＝c，且对任意x2∈D，当x2∉[a,b］时，f（x2)＜c恒成立，所以“平顶型”函数在定义域内有最大值c,①正确；对于函数f（x）＝x－|x－2|，当x≥2时，f（x）＝2，当x＜2时，f(x)＝2x－2＜2，所以②正确；函数f（x）＝sinx－｜sinx｜是周期为2π的函数，所以③不正确；对于函数f(x）＝eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（2，x≤1,，log\f（1,2)x－t,x＞1））eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t≤\f(3，4)）），当x≤1时，f(x）＝2，当x＞1时，f（x）＜2,所以④正确．答案:①②④8．（2018届高三·兰州八校联考）某公司为了变废为宝,节约资源，新研发了一个从生活垃圾中提炼生物柴油的项目，经测算，该项目月处理成本y(单位：元)与月处理量x(单位：吨)之间近似满足函数关系y＝eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(\f(1，3)x3－80x2＋5040x，x∈［120,144，，\f（1，2）x2－200x＋80000，x∈[144，500］，）)且每处理一吨生活垃圾，可得到能利用的生物柴油的价值为200元，若该项目不获利,政府将给予补贴．（1)当x∈［200，300］时,判断该项目能否获利．如果能获利，求出最大利润；如果不能获利,则政府每个月至少需要补贴多少元才能使该项目不亏损．（2)该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨生活垃圾的平均处理成本最低？解：(1)当x∈［200,300]时，设该项目所获利润为S，则S＝200x－eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(1,2）x2－200x＋80000))＝－eq\f（1，2）（x－400）2，所以当x∈［200，300］时，S＜0,因此该项目不能获利．当x＝300时，S取得最大值－5000，所以政府每个月至少需要补贴5000元才能使该项目不亏损．(2)由题意可知，每吨生活垃圾的平均处理成本为f(x)＝eq\f（y，x）＝eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（\f(1，3）x2－80x＋5040,x∈[120，144,，\f(1,2）x＋\f(80000，x）－200，x∈[144，500］，)）当x∈[120,144）时，f(x)＝eq\f（1，3)x2－80x＋5040＝eq\f（1,3)（x－120）2＋240，所以当x＝120时，f(x)取得最小值240；当x∈［144,500]时，f(x）＝eq\f（1，2）x＋eq\f（80000，x）－200≥2eq\r（\f(1，2）x×\f(80000,x)）－200＝200，当且仅当eq\f（1,2）x＝eq\f(80000,x)，即x＝400时,f(x)取得最小值200，因为200＜240,所以当每月处理量为400吨时，才能使每吨生活垃圾的平均处理成本最低．9．为了维持市场持续发展,壮大集团力量,某集团在充分调查市场后决定从甲、乙两种产品中选择一种进行投资生产，打入国际市场．已知投资生产这两种产品的有关数据如下表（单位：万美元）：年固定成本每件产品的成本每件产品的销售价每年可最多生产的件数甲产品20a10200乙产品40818120其中年固定成本与年生产的件数无关,a为常数,且6≤a≤8.另外，当年销售x件乙产品时需上交0。05x2万美元的特别关税，假设所生产的产品均可售出．(1）写出该集团分别投资生产甲、乙两种产品的年利润y1，y2与生产相应产品的件数x（x∈N＊）之间的函数关系式；(2）分别求出投资生产这两种产品的最大年利润；(3)如何决定投资可使年利润最大．解：（1)y1＝（10－a)x－20(1≤x≤200，x∈N*)，y2＝－0.05x2＋10x－40(1≤x≤120，x∈N＊）．（2)∵10－a＞0，故y1为增函数，∴当x＝200时，y1取得最大值1980－200a，即投资生产甲产品的最大年利润为(1980－200a）万美元．y2＝－0。05（x－100)2＋460（1≤x≤120，x∈N*),∴当x＝100时,y2取得最大值460，即投资生产乙产品的最大年利润为460万美元．(3)为研究生产哪种产品年利润最大，我们采用作差法比较：由(2）知生产甲产品的最大年利润为(1980－200a）万美元,生产乙产品的最大年利润为460万美元，（1980－200a)－460＝1520－200a，且6≤a≤8，当1520－200a＞0，即6≤a＜7.6时，投资生产甲产品200件可获得最大年利润；当1520－200a＝0，即a＝7.6时，生产甲产品与生产乙产品均可获得最大年利润；当1520－200a＜0，即7.6＜a≤8时,投资生产乙产品100件可获得最大年利润．10．某校为了解校园安全教育系列活动的成效，对全校学生进行一次安全意识测试，根据测试成绩（单位：分）评定“合格"“不合格”两个等级,同时对相应等级进行量化：“合格"记5分，“不合格”记0分．现随机抽取部分学生的答卷，统计结果如下表，对应的频率分布直方图如图所示。等级不合格合格成绩[20，40）[40,60)[60，80)［80，100]频数6a24b（1）求a,b，c的值;（2)用分层抽样的方法，从评定等级为“合格"和“不合格”的学生中选取10人进行座谈，现从这10人中任选4人,记所选4人的量化总分为ξ，求ξ的分布列及数学期望E(ξ)；(3)某评估机构以指标MM＝eq\f（Eξ,Dξ),其中D（ξ）表示ξ的方差来评估该校安全教育活动的成效．若M≥0。7，则认定教育活动是有效的；否则认定教育活动无效，应调整安全教育方案．在(2)的条件下，判断该校是否应调整安全教育方案？解:（1)由频率分布直方图，可知成绩在［20，40)内的频率为0.005×20＝0.1，故抽取的学生答卷数为eq\f（6，0。1)＝60，由频率分布直方图可知，得分在［80,100]内的频率为0。01×20＝0.2,所以b＝60×0.2＝12.又6＋a＋24＋12＝60，所以a＝18，所以c＝eq\f（18，60×20）＝0。015.(2）“不合格”与“合格"的人数之比为24∶36＝2∶3，因此抽取的10人中“不合格"的学生有4人,“合格"的学生有6人，所以ξ的所有可能取值为20，15，10，5,0。所以P(ξ＝20）＝eq\f（C\o\al(4,6)，C\o\al（4,10））＝eq\f(1,14），P(ξ＝15)＝eq\f（C\o\al