2017版数学知识方法篇专题3函数与导数第8练含答案

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精第8练突难点——抽象函数与函数图象［题型分析·高考展望]抽象函数即没有函数关系式，通过对函数性质的描述，对函数相关知识进行考查，此类题目难度较大，也是近几年来高考命题的热点。对函数图象问题,以基本函数为主,由基本函数进行简单的图象变换，主要是平行变换和对称变换，这样的题目都离不开函数的单调性与奇偶性.体验高考1。（2015·安徽)函数f(x）＝eq\f（ax＋b,x＋c2)的图象如图所示,则下列结论成立的是（）A。a〉0,b>0，c〈0 B。a<0,b〉0,c>0C。a〈0，b>0，c〈0 D。a<0,b<0，c<0答案C解析函数定义域为｛x|x≠－c}，结合图象知－c>0,∴c<0.令x＝0，得f（0)＝eq\f(b,c2)，又由图象知f(0)〉0,∴b〉0。令f(x)＝0，得x＝－eq\f（b,a)，结合图象知－eq\f(b,a)>0，∴a〈0.故选C。2.（2015·天津)已知函数f(x）＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2－|x|，x≤2,,x－22，x＞2，))函数g（x）＝b－f（2－x），其中b∈R.若函数y＝f(x)－g(x)恰有4个零点，则b的取值范围是（）A.eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(7,4），＋∞）） B。eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（－∞，\f(7,4）))C.eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（0，\f(7，4）)） D。eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f(7,4），2）)答案D解析由f(x）＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（2－|x|，x≤2，，x－22，x＞2，）)得f(2－x）＝eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(2－|2－x|，x≥0，,x2，x＜0。))所以f(x)＋f（2－x）＝eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(2－|x｜＋x2，x＜0，，4－|x|－|2－x｜，0≤x≤2，，2－｜2－x｜＋x－22，x＞2，))即f(x）＋f（2－x）＝eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(x2＋x＋2，x＜0,，2，0≤x≤2，，x2－5x＋8，x＞2.）)y＝f（x)－g（x)＝f（x）＋f(2－x)－b，所以y＝f（x)－g(x）恰有4个零点等价于方程f（x）＋f(2－x）－b＝0有4个不同的解，即函数y＝b与函数y＝f（x）＋f（2－x）的图象有4个公共点，由图象知eq\f(7,4)＜b＜2.3。（2016·课标全国乙)函数y＝2x2－e|x｜在［－2，2］的图象大致为(）答案D解析f(2)＝8－e2>8－2。82〉0，排除A；f(2)＝8－e2<8－2.72〈1,排除B；当x〉0时，f(x）＝2x2－ex，f′（x）＝4x－ex，当x∈eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（0，\f(1,4））)时,f′(x)〈eq\f(1,4)×4－e0＝0,因此f（x)在eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(0,\f（1,4))）上单调递减,排除C,故选D.4.（2016·天津）已知f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间(－∞,0）上单调递增.若实数a满足f(2｜a－1｜)〉f（－eq\r(2)）,则a的取值范围是________.答案eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f（3，2）))解析∵f（x)是偶函数，且在（－∞，0)上单调递增，∴在(0，＋∞)上单调递减,f(－eq\r（2））＝f(eq\r(2))，∴f（2｜a－1｜)〉f（eq\r（2））,∴2｜a－1｜〈eq\r（2)＝2,∴|a－1|<eq\f（1，2），即－eq\f(1，2）〈a－1〈eq\f（1，2)，即eq\f（1，2）〈a〈eq\f(3，2）.5。（2015·浙江）已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（x＋\f（2,x）－3，x≥1，,lgx2＋1，x＜1，)）则f(f（－3）)＝________，f(x）的最小值是________.答案02eq\r（2)－3解析f（f（－3))＝f（1)＝0.当x≥1时，f（x）＝x＋eq\f(2,x)－3≥2eq\r（2)－3＜0，当且仅当x＝eq\r（2)时,取等号；当x＜1时，f（x）＝lg（x2＋1)≥lg1＝0,当且仅当x＝0时,取等号.∴f(x)的最小值为2eq\r（2）－3.高考必会题型题型一与函数性质有关的简单的抽象函数问题例1已知函数f（x)是定义在R上的偶函数，且以2为周期，则“f（x）为［0，1］上的增函数”是“f(x)为[3，4]上的减函数”的（）A.既不充分也不必要条件B.充分而不必要条件C.必要而不充分条件D.充要条件答案D解析①∵f(x)在R上是偶函数，∴f(x)的图象关于y轴对称.∵f（x）为［0，1］上的增函数，∴f（x）为[－1，0]上的减函数.又∵f(x）的周期为2，∴f（x）为区间[－1＋4，0＋4]＝［3，4］上的减函数.②∵f（x)为[3，4］上的减函数，且f（x）的周期为2，∴f(x）为［－1，0]上的减函数.又∵f（x)在R上是偶函数,∴f（x）为［0，1]上的增函数。由①②知“f(x)为[0，1］上的增函数”是“f(x）为［3,4]上的减函数”的充要条件。点评抽象函数的条件具有一般性，对待选择题、填空题可用特例法、特值法或赋值法。也可由函数一般性质进行推理。变式训练1已知定义在区间（0,＋∞)上的函数f(x)满足f(eq\f(x1,x2）)＝f（x1)－f(x2），且当x＞1时，f（x）＜0.（1)求f（1)的值；（2）判断f(x）的单调性；(3）若f（3)＝－1，解不等式f（|x｜)＜－2.解(1)令x1＝x2＞0，代入f（eq\f（x1，x2））＝f(x1）－f（x2)，得f(1)＝f(x1）－f(x2）＝0,故f（1）＝0.(2)任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1＞x2，则eq\f（x1,x2）＞1。∵当x＞1时，f(x）＜0.∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（x1,x2）)）＜0，即f（x1)－f（x2）＜0，即f（x1)＜f（x2)，故函数f(x）在区间(0，＋∞)上单调递减.（3)由feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（x1，x2）)）＝f（x1)－f(x2）,得f(eq\f(9,3）)＝f（9）－f（3）。而f(3)＝－1，∴f（9)＝－2，∴原不等式为f(｜x|)＜f（9)。∵函数f(x)在区间（0，＋∞）上单调递减，∴｜x｜＞9，∴x＜－9或x＞9。∴不等式的解集为{x｜x＜－9或x＞9｝。题型二与抽象函数有关的综合性问题例2对于函数f（x)，若在定义域内存在实数x，满足f(－x）＝－f（x),则称f(x）为“局部奇函数”.(1)已知二次函数f（x）＝ax2＋2x－4a（a∈R)，试判断f(x）是否为“局部奇函数”？并说明理由；（2）若f（x)＝2x＋m是定义在区间［－1,1］上的“局部奇函数"，求实数m的取值范围.解f（x）为“局部奇函数”等价于关于x的方程f（x）＋f（－x）＝0有解.(1)当f（x）＝ax2＋2x－4a（a∈R）时，方程f(x）＋f（－x)＝0即2a（x2－4)＝0。因为方程有解x＝±2，所以f(x）为“局部奇函数"。(2)当f(x）＝2x＋m时，f（x）＋f（－x）＝0可化为2x＋2－x＋2m＝0，因为f(x）的定义域为［－1，1］，所以方程2x＋2－x＋2m＝0在[－1，1］上有解.令t＝2x∈[eq\f(1,2），2]，则－2m＝t＋eq\f（1，t）.设g(t）＝t＋eq\f（1，t)，t∈［eq\f(1，2），2］，则g′（t）＝1－eq\f(1,t2），t∈［eq\f(1，2），2]。当t∈eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（1,2)，1））时，g′(t）＜0，故g(t)在(0，1)上为减函数；当t∈（1，2)时,g′（t）＞0，故g(t)在（1,2)上为增函数。所以函数g(t)＝t＋eq\f（1,t）,t∈[eq\f（1,2），2］的值域为[2，eq\f（5,2）］，由2≤－2m≤eq\f（5，2),得－eq\f(5，4）≤m≤－1，故实数m的取值范围是［－eq\f（5，4），－1］.点评（1)让抽象函数不再抽象的方法主要是赋值法和单调函数法,因此学会赋值、判断并掌握函数单调性和奇偶性是必须过好的两关,把握好函数的性质.(2）解答抽象函数问题时，学生往往盲目地用指数、对数函数等代替函数来解答问题，而导致出错。要明确抽象函数是具有某些性质的一类函数，而不是具体的某一个函数。因此掌握这类函数的关键是把握函数的性质以及赋值的方法。变式训练2定义在（0,＋∞)上的可导函数f（x)满足xf′（x）－f(x)＝x，且f（1）＝1.现给出关于函数f（x）的下列结论：(1）函数f(x）在eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(1,e），＋∞))上单调递增；（2)函数f（x）的最小值为－eq\f(1,e2)；(3)函数f（x)有且只有一个零点；（4）对于任意的x＞0,都有f(x)≤x2。其中正确结论的个数是（)A.1B.2C.3D.4答案D解析设g(x）＝eq\f(fx，x)，x∈（0，＋∞),则g′(x）＝eq\f(xf′x－fx，x2)＝eq\f(x,x2)＝eq\f(1，x），所以g(x）＝lnx＋c(c为常数），所以f（x)＝xlnx＋cx.因为f(1)＝1,所以c＝1，所以f（x）＝xlnx＋x。对于(1），因为f′(x）＝lnx＋2，当x＞eq\f(1，e)时，f′（x)＞lneq\f(1，e)＋2＝－1＋2＝1＞0，所以（1）正确。对于（2)，由f′(x）＞0，得x＞eq\f（1,e2）;由f′(x)＜0，得0＜x＜eq\f（1,e2)，所以f(x)＝xlnx＋x在(0,eq\f(1,e2)］上单调递减,在［eq\f(1,e2)，＋∞)上单调递增.所以当x＝eq\f(1，e2）时，函数f（x）取得最小值f（eq\f(1,e2)）＝eq\f(1,e2）lneq\f(1，e2)＋eq\f（1,e2）＝－eq\f（1,e2)，所以(2)正确.对于(3），函数f(x）＝xlnx＋x的图象如图所示,所以(3)正确。对于（4)，f（x）－x2＝xlnx＋x－x2＝x（lnx＋1－x)。令h(x）＝lnx＋1－x，x∈（0,＋∞）,则h′（x）＝eq\f（1,x）－1＝eq\f（1－x,x)。令h′(x)＞0，得0＜x＜1；令h（x）＜0,得x＞1.从而h(x)在（0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减,所以h(x）≤h(1)＝0，即lnx＋1－x≤0.又x＞0，所以f（x）－x2＝x(lnx＋1－x）≤0，即f(x）≤x2.所以(4）正确.综上，正确结论的个数是4。题型三函数图象的应用与判断例3已知函数f(x）＝eq\f（1,lnx＋1－x),则y＝f(x）的图象大致为(）答案B解析令g(x）＝ln（x＋1）－x，则g′（x）＝－eq\f(x，1＋x)，x＞－1。当g′（x）>0时,－1〈x<0；当g′（x)〈0时,x>0.故g(x)〈g（0)＝0，即x>0或－1<x<0时均有f(x)〈0，排除A，C，D.点评（1)求函数图象时首先考虑函数定义域，然后考虑特殊值以及函数变化趋势，特殊值首先考虑坐标轴上的点.(2）运用函数图象解决问题时，先要正确理解和把握函数图象本身的含义及其表示的内容，熟悉图象所能够表达的函数的性质.（3）在运用函数图象时要避免只看表象不联系其本质，透过函数的图象要看到它所反映的函数的性质，并以此为依据进行分析、推断，才是正确的做法.变式训练3形如y＝eq\f（b，|x｜－a)(a＞0，b＞0）的函数因其图象类似于汉字中的“囧”字，故生动地称为“囧函数”.若当a＝1,b＝1时的“囧函数”与函数y＝lg｜x|的交点个数为n，则n＝________。答案4解析由题意知，当a＝1，b＝1时，y＝eq\f（1,|x|－1)＝eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（\f(1，x－1)x≥0，且x≠1，，－\f(1，x＋1)x＜0且x≠－1.))在同一坐标系中画出“囧函数”与函数y＝lg|x|的图象如图所示,易知它们有4个交点.高考题型精练1.定义在R上的偶函数f（x）满足f（2－x）＝f（x)，且在[－3，－2]上是减函数,α,β是钝角三角形的两个锐角，则下列不等式中正确的是（）A.f（sinα）〉f(cosβ） B。f(sinα）〈f（cosβ）C.f（cosα）〈f（cosβ） D。f（cosα)〉f(cosβ)答案B解析因为f（x)为R上的偶函数，所以f（－x)＝f（x），又f(2－x）＝f（x)，所以f(x＋2)＝f(2－(x＋2))＝f（－x）＝f（x），所以函数f（x）以2为周期。因为f(x)在[－3，－2］上是减函数，所以f(x)在［－1,0］上也是减函数，故f（x)在［0,1］上是增函数。因为α，β是钝角三角形的两个锐角,所以α＋β〈eq\f（π,2)，α<eq\f（π,2)－β，所以0〈sinα<sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（π，2）－β））＝cosβ〈1，故f(sinα)〈f(cosβ），故选B.2.定义域为R的函数f（x)对任意x都有f（2＋x）＝f（2－x)，且其导函数f′（x)满足eq\f（f′x,2－x）＞0，则当2＜a＜4时，有（）A.f(2a）＜f(log2a)＜f(2） B。f（log2a）＜f(2)＜f（2a)C。f(2a)＜f(2)＜f(log2a） D.f(log2a）＜f（2a）＜f(2）答案A解析由函数f(x)对任意x都有f（2＋x)＝f(2－x），得函数f(x）图象的对称轴为直线x＝2.因为函数f（x）的导函数f′（x)满足eq\f（f′x,2－x）＞0,所以函数f（x)在（2，＋∞)上单调递减，(－∞，2)上单调递增.因为2＜a＜4，所以1＜log2a＜2＜4＜2a。又函数f（x)图象的对称轴为直线x＝2,所以f（2）＞f（log2a)＞f(2a），故选A。3。两个函数的图象经过平移后能够重合，称这两个函数为“同根函数”，给出四个函数：f1(x)＝2log2(x＋1）,f2(x)＝log2(x＋2），f3(x)＝log2x2，f4(x）＝log2（2x），则“同根函数"是(）A。f2(x)与f4(x） B.f1（x)与f3（x）C。f1(x）与f4(x) D.f3(x)与f4（x）答案A解析f4(x）＝log2（2x）＝1＋log2x，f2（x)＝log2（x＋2),将f2（x）的图象沿着x轴先向右平移2个单位得到y＝log2x的图象,然后再沿着y轴向上平移1个单位可得到f4(x)的图象,根据“同根函数”的定义可知选A.4。设函数f(x)＝x|x－a|,若对∀x1，x2∈[3，＋∞），x1≠x2，不等式eq\f(fx1－fx2，x1－x2)＞0恒成立，则实数a的取值范围是（）A.（－∞，－3］ B。[－3,0)C。（－∞,3］ D。（0，3］答案C解析由题意分析可知条件等价于f(x)在［3，＋∞）上单调递增，又∵f(x）＝x｜x－a｜，∴当a≤0时，结论显然成立；当a＞0时，f（x）＝eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－ax，x≥a,,－x2＋ax，x＜a,））∴f（x）在eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（－∞，\f（a，2）))上单调递增，在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(a，2)，a)）上单调递减，在(a，＋∞）上单调递增，∴0＜a≤3。综上，实数a的取值范围是（－∞，3］.5。在平面直角坐标系中,若两点P,Q满足条件：（1）P，Q都在函数y＝f（x)的图象上；（2)P，Q两点关于直线y＝x对称，则称点对{P，Q}是函数y＝f（x）的一对“和谐点对”。（注：点对｛P，Q}与{Q，P}看作同一对“和谐点对”）已知函数f(x）＝eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（x2＋3x＋2x≤0,,log2xx＞0，）)则此函数的“和谐点对”有(）A。0对B.1对C.2对D。3对答案C解析作出函数f（x）的图象，然后作出f（x)＝log2x(x＞0)关于直线y＝x对称的图象，与函数f(x）＝x2＋3x＋2(x≤0）的图象有2个不同交点，所以函数的“和谐点对”有2对。6。对定义在［0，1]上，并且同时满足以下两个条件的函数f(x）称为M函数:(1)对任意的x∈[0，1］，恒有f（x)≥0；（2)当x1≥0，x2≥0,x1＋x2≤1时,总有f(x1＋x2)≥f（x1)＋f（x2）成立.则下列3个函数中不是M函数的个数是()①f(x)＝x2;②f（x）＝x2＋1；③f（x)＝2x－1.A.0B。1C.2D.3答案B解析在[0，1]上,3个函数都满足f（x)≥0.当x1≥0,x2≥0，x1＋x2≤1时：对于①，f(x1＋x2)－［f(x1）＋f（x2）］＝（x1＋x2）2－（xeq\o\al（2，1)＋xeq\o\al(2,2)）＝2x1x2≥0，满足;对于②，f(x1＋x2）－［f(x1)＋f(x2）］＝[(x1＋x2)2＋1］－［(xeq\o\al（2，1)＋1）＋（xeq\o\al(2，2)＋1）]＝2x1x2－1＜0,不满足；对于③，f(x1＋x2)－［f(x1)＋f（x2)]＝（2－1）－(2－1＋2－1）＝22－2－2＋1＝（2－1）·（2－1）≥0,满足.故选B。7。已知函数f(x）＝eq\f(1，x＋2)－m｜x｜有三个零点,则实数m的取值范围为________.答案（1，＋∞)解析函数f(x）有三个零点等价于方程eq\f（1,x＋2)＝m｜x|有且仅有三个实根.∵eq\f(1，x＋2）＝m|x｜⇔eq\f（1,m)＝|x｜·(x＋2)，作函数y＝|x|(x＋2)的图象，如图所示.由图象可知m应满足：0＜eq\f(1，m）＜1，故m＞1。8。设函数y＝f(x＋1）是定义在（－∞，0)∪（0，＋∞）上的偶函数,在区间（－∞,0）是减函数，且图象过点（1，0),则不等式(x－1)f（x）≤0的解集为________.答案（－∞，0］∪（1,2］解析y＝f(x＋1）的图象向右平移1个单位得到y＝f（x)的图象，由已知可得f(x)的图象的对称轴为x＝1，过定点（2，0），且函数在(－∞，1)上递减，在（1，＋∞)上递增，则f（x)的大致图象如图所示.不等式（x－1)f(x)≤0可化为eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（x＞1，，fx≤0)）或eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(x＜1，,fx≥0.））由图可知符合条件的解集为（－∞，0］∪(1,2］。9.设函数f（x)是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R恒有f(x＋1）＝f（x－1），已知当x∈［0，1］时，f(x）＝2x，则有①2是函数f(x）的周期；②函数f(x）在（1，2)上是减函数，在(2,3）上是增函数；③函数f（x）的最大值是1，最小值是0.其中所有正确命题的序号是________。答案①②解析在f（x＋1）＝f(x－1)中，令x－1＝t，则有f（t＋2）＝f（t），因此2是函数f（x）的周期，故①正确；当x∈［0，1］时,f（x）＝2x是增函数，根据函数的奇偶性知，f（x)在［－1,0]上是减函数，根据函数的周期性知，函数f(x)在(1，2）上是减函数,在(2，3)上是增函数，故②正确；由②知f(x）在[0，2］上的最大值f(x)max＝f（1）＝2，f(x)的最小值f（x)min＝f(0）＝f（2)＝20＝1,且f（x)是周期为2的周期函数,∴f(x)的最大值是2,最小值是1,故③错误.10.已知函数y＝f（x)（x∈R）为奇函数,且对定义域内的任意x都有f（1＋x)＝－f（1－x)。当x∈（2,3)时，f(x）＝log2(x－1)，给出以下4个结论：①函数y＝f(x)的图象关于点(k,0)（k∈Z)成中心对称；②函数y＝f(x)是以2为周期的周期函数;③当x∈（－1,0）时，f（x）＝－log2(1－x）；④函数y＝f（|x|)在（k，k＋1）(k∈Z)上单调递增，则正确结论的序号是__________.答案①②③解析因为f（1＋x）＝－f（1－x），y＝f(x）(x∈R）为奇函数，所以f(1＋x)＝f(x－1），则f（2＋x)＝f（x），所以y＝f(x）（x∈R)是以2为周期的周期函数，②正确；所以f(2k＋x）＝f（x),f(x－k）＝f(x＋k)＝－f(k－x)，所以f（x＋k）＝－f（k－x），即函数y＝f（x)的图象关于点(k，0)