2018届广东省广州市数学复习专项检测试题27基本不等式

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精PAGE8-学必求其心得，业必贵于专精基本不等式例1:求证.分析:此问题的关键是“灵活运用重要基本不等式，并能由这一特征，思索如何将进行变形，进行创造”。证明：∵，两边同加得，即；∴，同理可得：，,三式相加即得。例2：若正数、满足，则的取值范围是。解:∵,∴，令，得，∴，或（舍去）,∴，∴的取值范围是。说明：本题的常见错误有二.一是没有舍去；二是忘了还原，得出。前者和后者的问题根源都是对的理解，前者忽视了后者错误地将视为.因此，解题过程中若用换元法，一定要对所设“元”的取值范围有所了解，并注意还原之。例3：已知，求证证明:∵，,，三式相加，得，即说明：这是一个重要的不等式，要熟练掌握.例4：已知是互不相等的正数，求证:。证明：∵，∴同理可得:三个同向不等式相加,得①说明：此题中互不相等，故应用基本不等式时，等号不成立。特别地，,时,所得不等式①仍不取等号。例5：（1）求的最大值.（2）求函数的最小值,并求出取得最小值时的值。(3）若，且,求的最小值.解：(1）即的最大值为当且仅当时,即，时,取得此最大值。（2）∴的最小值为3，当且仅当，即，，时取得此最小值.（3)∴，即∵∴，即的最小值为2，当且仅当时取得此最小值。例6:求函数的最值.分析：本例的各小题都可用最值定理求函数的最值，但是应注意满足相应条件.如：，应分别对两种情况讨论，如果忽视的条件,就会发生如下错误：∵,解:当时，，又，当且仅当,即时，函数有最小值∴当时，，又，当且仅当，即时，函数最小值∴例7：求函数的最值。分析：。但等号成立时，这是矛盾的！于是我们运用函数在时单调递增这一性质，求函数的最值.解：设,∴。当时,函数递增，故原函数的最小值为，无最大值。例8：求函数的最小值.分析:用换元法，设，原函数变形为，再利用函数的单调性可得结果。或用函数方程思想求解。解：解法1：设,故。由，得:,故:.∴函数为增函数,从而.解法2：设,知，可得关于的二次方程，由根与系数的关系，得：。又，故有一个根大于或等于2，设函数，则,即，故.说明:本题易出现如下错解:.要知道，无实数解，即,所以原函数的最小值不是2。错误原因是忽视了等号成立的条件.当、为常数，且为定值，时，，不能直接求最大(小）值，可以利用恒等变形,当之差最小时，再求原函数的最大（小)值。例9：求的最小值。分析：此题出现加的形式和平方，考虑利用重要不等式求最小值。解：由，得又得,即。故的最小值是。例10：已知：,求证:。分析：根据题设,可想到利用重要不等式进行证明。证明：同理：,，。说明：证明本题易出现的思维障碍是：（1）想利用三元重要不等式解决问题；（2）不会利用重要不等式的变式；（3）不熟练证明轮换对称不等式的常用方法。因此，在证明不等式时，应根据求证式两边的结构，合理地选择重要不等式.另外，本题的证明方法在证轮换对称不等式时具有一定的普遍性。例11：已知,且，求的最大值.解法1:由，可得，。注意到.可得，。当且仅当，即时等号成立，代入中得，故的最大值为18。解法2：，,代入中得：，解此不等式得.下面解法见解法1，下略。说明:解法1的变形是具有通用效能的方法,值得注意：而解法2则是抓住了问题的本质,所以解得更为简捷。例12：若，且，求证:。分析：不等式右边的数字“8”使我们联想到可能是左边三个因式分别使用基本不等式所得三个“2”连乘而来,而.证明：，又,，，，即。同理,，。当且仅当时，等号成立.说明：本题巧妙利用的条件，同时要注意此不等式是关于的轮换式。

攀上山峰，