2017学年高中数学版3.3几个三角恒等式3.3含答案

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精§3。3几个三角恒等式课时目标1．引导学生发现和探索积化和差公式、和差化积公式以及半角公式。2。通过本节学习，提高三角恒等变换的能力．1．积化和差与和差化积（不要求记忆)积化和差公式sinαcosβ＝_________________cosαsinβ＝________________cosαcosβ＝________________sinαsinβ＝________________和差化积公式sinθ＋sinφ＝______________sinθ－sinφ＝______________cosθ＋cosφ＝______________cosθ－cosφ＝______________2.半角公式（1)：sineq\f（α,2）＝__________________________________________；(2)：coseq\f(α,2）＝_______________________________________；(3)：taneq\f(α，2）＝_______________(无理形式）＝____________＝____________（有理形式）．一、填空题1．函数y＝sineq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（x＋\f（π,3)））＋sineq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(x－\f（π，3)））的最大值是________．2．求eq\f（sin35°－sin25°,cos35°－cos25°)的值为________．3．若taneq\f(α，2）＝eq\f（1,3)，则cosα＝________。4．若α是第三象限角且sin（α＋β）cosβ－sinβcos(α＋β)＝－eq\f(5，13),则taneq\f(α，2)＝________.5．给出下列关系式：①sin5θ＋sin3θ＝2sin8θcos2θ;②cos3θ－cos5θ＝－2sin4θsinθ；③sin3θ－sin5θ＝－eq\f(1，2)cos4θcosθ;④sin5θ＋cos3θ＝2sin4θcosθ;⑤sinxsiny＝eq\f（1，2）［cos（x－y)－cos（x＋y)]．其中正确的命题序号是________．6．已知等腰三角形顶角的余弦值为eq\f(4，5），则底角的正切值为________．7．如果｜cosθ|＝eq\f（1，5),eq\f(5π,2)<θ<3π,则sineq\f(θ，2）的值是______．8．若cosα＝－eq\f(4,5）,α是第三象限的角,则eq\f（1＋tan\f（α,2),1－tan\f(α,2）)＝________。9．已知cos2α－cos2β＝m，那么sin(α＋β)·sin(α－β)＝________。10．计算：sin4eq\f（π,16）＋sin4eq\f(3π,16)＋sin4eq\f（5π，16）＋sin4eq\f（7π,16)＝______.二、解答题11．求值：cos40°cos80°＋cos80°cos160°＋cos160°cos40°.12．已知taneq\f（α,2）＝eq\f(1,2)，求sin(α＋eq\f(π,6))的值．能力提升13．设α为第四象限的角,若eq\f（sin3α,sinα)＝eq\f(13，5)，则tan2α＝________。14．已知向量m＝（cosθ，sinθ)和n＝(eq\r(2）－sinθ，cosθ),θ∈(π，2π),且|m＋n｜＝eq\f（8\r（2),5)，求cos（eq\f(θ,2）＋eq\f（π，8)）的值．1．学习三角恒等变换,千万不要只顾死记硬背公式，而忽视对思想方法的理解．要学会借助前面几个有限的公式来推导后继公式,立足于在公式推导过程中记忆公式和运用公式．2．和差化积、积化和差公式不要求记忆，但要注意公式推导中应用的数学思想方法,同时注意这些公式与两角和与差公式的联系．3．半角公式前面的正负号的选择（1）如果没有给出决定符号的条件，则要保留根号前的正负号；（2)若给出了角α的具体范围，则根号前的符号由角eq\f（α，2)所在象限确定；（3）若给出的角α是某一象限的角，则由角eq\f（α，2)所在象限确定符号．§3。3几个三角恒等式知识梳理1。eq\f(1,2)[sin(α＋β)＋sin(α－β)]eq\f(1，2）[sin(α＋β)－sin（α－β)］eq\f（1，2)［cos(α＋β）＋cos（α－β)］－eq\f(1，2）[cos(α＋β)－cos(α－β）］2sineq\f（θ＋φ,2）coseq\f（θ－φ，2）2coseq\f(θ＋φ,2）sineq\f(θ－φ，2)2coseq\f（θ＋φ，2）coseq\f(θ－φ,2)－2sineq\f（θ＋φ，2)sineq\f（θ－φ,2)2．（1）±eq\r(\f(1－cosα,2））(2）±eq\r（\f(1＋cosα，2））(3）±eq\r(\f（1－cosα，1＋cosα）)eq\f(sinα，1＋cosα）eq\f（1－cosα,sinα)作业设计1．1解析y＝2sinxcoseq\f(π，3)＝sinx.2．－eq\r（3）解析原式＝eq\f(2sin5°cos30°，－2sin30°sin5°）＝－eq\f（cos30°,sin30°）＝－2cos30°＝－2×eq\f（\r(3),2）＝－eq\r(3）.3。eq\f（4,5）解析cosα＝eq\f（1－tan2\f(α，2),1＋tan2\f（α，2))＝eq\f（1－\f(1,9），1＋\f（1，9)）＝eq\f（4,5).4．－5解析易知sinα＝－eq\f(5,13）,α为第三象限角，∴cosα＝－eq\f（12,13)。∴taneq\f（α，2）＝eq\f（sin\f（α,2)，cos\f（α，2）)＝eq\f(2sin\f(α，2)cos\f（α，2)，2cos2\f(α,2））＝eq\f（sinα,1＋cosα）＝eq\f（－\f（5,13),1＋\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（－\f(12,13）））)＝－5.5．⑤6．3解析设该等腰三角形的顶角为α，则cosα＝eq\f(4,5)，底角大小为eq\f(1,2）(180°－α)．∴taneq\b\lc\［\rc\]（\a\vs4\al\co1（\f（1,2)180°－α))＝eq\f(1－cos180°－α,sin180°－α)＝eq\f（1＋cosα,sinα）＝eq\f(1＋\f（4，5）,\f（3,5)）＝3。7．－eq\f（\r(15），5）解析∵eq\f（5π，2)〈θ〈3π，|cosθ|＝eq\f（1,5)，∴cosθ<0,cosθ＝－eq\f(1,5）。∵eq\f（5π,4）〈eq\f(θ,2）〈eq\f(3，2)π，∴sineq\f(θ,2）〈0.由sin2eq\f(θ，2)＝eq\f(1－cosθ,2)＝eq\f(3,5)，∴sineq\f（θ，2)＝－eq\f（\r（15）,5)。8．－eq\f（1，2）解析∵α是第三象限角，cosα＝－eq\f（4,5)，∴sinα＝－eq\f（3,5）。∴eq\f（1＋tan\f(α,2),1－tan\f（α，2))＝eq\f(1＋\f(sin\f(α，2），cos\f（α，2）)，1－\f(sin\f（α,2),cos\f(α,2)）)＝eq\f(cos\f（α，2）＋sin\f（α，2）,cos\f（α，2）－sin\f(α,2））＝eq\f（cos\f(α，2)＋sin\f(α，2）,cos\f（α,2）－sin\f（α，2）)·eq\f(cos\f(α,2)＋sin\f（α，2），cos\f(α，2)＋sin\f(α，2))＝eq\f（1＋sinα，cosα)＝eq\f（1－\f（3，5)，－\f（4，5））＝－eq\f（1,2）.9．－m解析cos2α－cos2β＝（cosα＋cosβ)（cosα－cosβ)＝2coseq\f(α＋β,2)coseq\f(α－β,2)eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(－2sin\f(α＋β，2）sin\f(α－β,2）））＝－2sineq\f（α＋β,2）coseq\f（α＋β，2)·2sineq\f(α－β,2)coseq\f(α－β，2）＝－sin（α＋β)sin(α－β)＝m，∴sin(α＋β）·sin(α－β)＝－m。10.eq\f（3,2)解析原式＝sin4eq\f（π，16)＋sin4eq\f(3π，16)＋cos4eq\f（3π，16)＋cos4eq\f(π,16）＝（sin2eq\f（π，16)＋cos2eq\f(π,16））2－2sin2eq\f（π,16）cos2eq\f（π，16）＋(cos2eq\f（3π,16)＋sin2eq\f(3π,16))2－2cos2eq\f(3π,16)sin2eq\f(3π，16)＝1－eq\f（1，2)sin2eq\f(π，8）＋1－eq\f(1,2）sin2eq\f(3π,8)＝2－eq\f(1－cos\f（π，4),4)－eq\f(1－cos\f（3,4)π,4）＝eq\f（3，2).11．解原式＝eq\f（1,2)(cos120°＋cos40°）＋eq\f（1,2)（cos240°＋cos80°)＋eq\f（1，2)(cos200°＋cos120°)＝eq\f（1,2)(cos40°＋cos80°＋cos200°）－eq\f（3,4)＝eq\f（1，2）(2cos60°cos20°－cos20°）－eq\f(3,4）＝eq\f(1，2）(cos20°－cos20°)－eq\f（3,4）＝－eq\f（3，4).12．解∵taneq\f（α，2）＝eq\f(1，2)，∴sinα＝2sineq\f(α，2）coseq\f（α，2）＝eq\f（2sin\f(α，2）cos\f(α,2）,sin2\f（α，2)＋cos2\f（α，2)）＝eq\f(2tan\f(α，2）,1＋tan2\f(α,2))＝eq\f（2×\f(1,2），1＋\f（1,4)）＝eq\f（4，5)，cosα＝cos2eq\f（α,2)－sin2eq\f（α，2）＝eq\f（cos2\f(α,2）－sin2\f(α，2)，cos2\f（α,2)＋sin2\f（α，2))＝eq\f(1－tan2\f(α,2),1＋tan2\f(α，2）)＝eq\f（1－\f(1,4）,1＋\f（1,4))＝eq\f（3，5).∴sin(α＋eq\f(π，6）)＝sinαcoseq\f(π,6)＋cosαsineq\f（π,6）＝eq\f(\r(3)，2）×eq\f(4，5）＋eq\f（1，2)×eq\f（3,5)＝eq\f(3＋4\r(3），10）。13．－eq\f（3,4)解析由eq\f(sin3α，sinα）＝eq\f（sin2α＋α，sinα）＝eq\f（sin2αcosα＋cos2αsinα,sinα）＝2cos2α＋cos2α＝eq\f（13，5）.∵2cos2α＋cos2α＝1＋2cos2α＝eq\f(13，5），∴cos2α＝eq\f(4，5)。∵α为第四象限角，∴2kπ＋eq\f(3π，2)〈α<2kπ＋2π,(k∈Z）∴4kπ＋3π〈2α<4kπ＋4π，（k∈Z)故2α可能在第三、四象限，又∵cos2α＝eq\f(4，5），∴sin2α＝－eq\f(3，5),tan2α＝－eq\f（3，4)。14．解∵m＋n＝(cosθ－sinθ＋eq\r（2）,cosθ＋sinθ），｜m＋n｜＝eq\r（cosθ－sinθ＋\r(2)2＋cosθ＋sinθ2)＝eq\r（4＋2\r(2）cosθ－sinθ)＝eq\r（4＋4cosθ＋\f（π,4）)＝2eq\r（1＋cosθ＋\f（π,4)).由已知|m＋n|＝eq\f(8\r（2)，5),得cos（θ＋eq\f(π,4))＝eq\f（7,25）。又cos（θ＋eq\f(π，4)）＝