2017-2018学年高二数学上学期期末复习备考讲练专题07空间向量与立体几何导学案理

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精PAGE19学必求其心得，业必贵于专精专题07空间向量与立体几何一、学习目标:1、掌握空间向量的概念、运算及其应用；2、掌握利用空间向量解决立体几何问题的方法。二、知识梳理1。设，,(1）．（2）．（3）若、为非零向量,则．（4）若,则．（5)．(6）．（7），，则．2、设异面直线，的夹角为,方向向量为，，其夹角为，则有．3、设直线的方向向量为，平面的法向量为,与所成的角为，与的夹角为，则有．4、设，是二面角的两个面，的法向量，则向量,的夹角（或其补角）就是二面角的平面角的大小．若二面角的平面角为，则．5、点与点之间的距离可以转化为两点对应向量的模计算．6、在直线上找一点，过定点且垂直于直线的向量为，则定点到直线的距离为．7、点是平面外一点，是平面内的一定点，为平面的一个法向量，则点到平面的距离为．三、典型例题例1.给出下列命题：①若eq\o(AB，\s\up6(→))＝eq\o(CD,\s\up6（→））,则必有A与C重合,B与D重合,AB与CD为同一线段;②若a·b＜0，〈a，b〉为钝角；③若a是直线l的方向向量，则λa(λ∈R）也是l的方向向量；④非零向量a，b,c满足a与b,b与c，c与a都是共面向量,则a，b,c必共面．其中错误命题的个数是（)A．1B．2C．3D．4【答案】D变式练习1。已知正方体ABCD。A1B1C1D1中，eq\o（A1E,\s\up6（→)）＝eq\f（1,4）eq\o（A1C1，\s\up6（→)),若eq\o(AE,\s\up6（→））＝xeq\o（AA1,\s\up6(→)）＋y(eq\o(AB,\s\up6(→)）＋eq\o（AD，\s\up6(→））），则x＝________,y＝________．【答案】1eq\f(1，4)【解析】由题知eq\o（AE，\s\up6（→))＝eq\o(AA1，\s\up6(→)）＋eq\o(A1E，\s\up6(→))＝eq\o(AA1,\s\up6（→)）＋eq\f（1，4)eq\o(A1C1，\s\up6(→））＝eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)（eq\o（AB，\s\up6（→））＋eq\o（AD,\s\up6（→）))，从而有x＝1,y＝eq\f（1，4).例2。在四棱锥P­ABCD中，AB⊥AD，CD⊥AD，PA⊥底面ABCD，PA＝AD＝CD＝2AB＝2，M为PC的中点．(1）求证：BM∥平面PAD；（2）平面PAD内是否存在一点N,使MN⊥平面PBD？若存在，确定N的位置；若不存在，说明理由．【解析】以A为原点,以AB，AD，AP分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系如图所示,则B(1,0,0），D(0,2，0），P(0，0,2)，C(2，2，0），M（1,1，1)，【方法规律】空间图形中的平行、垂直问题是立体几何当中最重要的问题之一，利用空间向量证明平行和垂直问题，主要是运用直线的方向向量和平面的法向量,借助空间中已有的一些关于平行和垂直的定理，再通过向量运算来解决．变式练习2.已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别在DB、D1C上,且DE＝D1F＝eq\f(\r（2),3）a，其中a为正方体棱长．求证:EF∥平面BB1C1C。【答案】见解析【解析】证明如图，建立空间直角坐标系D－xyz,则E(eq\f(a，3)，eq\f（a,3），0）,F（0，eq\f(a，3），eq\f（2a,3)），故eq\o(EF,\s\up16(→)）＝(－eq\f（a,3），0，eq\f（2a,3)）．又eq\o(AB,\s\up16(→)）＝(0，a，0）,显然为平面BB1C1C的一个法向量,而eq\o(AB，\s\up16（→））·eq\o(EF，\s\up16（→）)＝(0，a，0）·（－eq\f（a，3)，0，eq\f(2a,3）)＝0，∴eq\o(AB,\s\up16（→)）⊥eq\o(EF，\s\up16（→））。又E∉平面BB1C1C，因此EF∥平面BB1C1C.例3。四棱锥P－ABCD的底面是正方形，PA⊥底面ABCD,PA＝AD＝2，点M，N分别在棱PD,PC上，且PC⊥平面AMN。(1）求AM与PD所成的角;(2)求二面角P。AM.N的余弦值；（3)求直线CD与平面AMN所成角的余弦值．【方法规律】利用空间向量确定空间中的线线角、线面角、二面角,避免了利用传统方法求角时先进行角的确定，然后求角的弊端，只需要准确求解直线的方向向量和平面的法向量，代入公式求角即可。变式练习3.如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中,AB＝BC＝2,AA1＝eq\r(2),点E，F分别是平面A1B1C1D1、平面BCC1B1的中心．以D为坐标原点，DA，DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．试用向量方法解决下列问题：（1)求异面直线AF和BE所成的角；（2）求直线AF和平面BEC所成角的正弦值．【答案】（1)90°（2）eq\f（5\r(33），33)。【解析】（1)由题意得A(2，0,0）,Feq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，2，\f(\r(2）,2))），B(2，2，0),E(1，1，eq\r（2)），C（0,2，0）．例4。如图,正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中,底面边长为2eq\r(2),侧棱长为4，点E、F分别为棱AB、BC的中点,EF∩BD＝G,求点D1到平面B1EF的距离d.【解析】如图建立空间直角坐标系D－xyz，易得D1（0，0，4），B1(2eq\r(2)，2eq\r（2），4），E(2eq\r（2)，eq\r(2），0），F（eq\r（2),2eq\r（2)，0)，故eq\o(EF,\s\up16(→）)＝（－eq\r（2），eq\r（2)，0），eq\o(EB1,\s\up16（→))＝（0，eq\r（2），4),eq\o(D1B1，\s\up16(→）)＝（2eq\r（2），2eq\r(2)，0）．设n＝(x,y，z)是平面B1EF的一个法向量，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1（n·\o（EF，\s\up16(→)）＝0，，n·\o（EB1，\s\up16(→）)＝0))⇒eq\b\lc\｛（\a\vs4\al\co1(－\r（2）x＋\r(2)y＝0，，\r（2)y＋4z＝0，)）令x＝1，得n＝（1，1,－eq\f（\r（2)，4)）．则|eq\o(D1B1，\s\up16（→））·n|＝4eq\r（2），∴d＝eq\f（｜\o（D1B1，\s\up16(→)）·n|，｜n|)＝eq\f（16\r(17)，17）。∴点D1到平面B1EF的距离为eq\f(16\r(17）,17）.【方法规律】对利用向量处理距离问题的考查，运用向量求解距离问题，对求点面距，关键是求出平面的法向量,进而利用公式求解．变式练习4：长方体ABCD-中，AB=4,AD=6，，M是A1C1的中点，P在线段BC上，且|CP|=2，Q是DD1的中点，求M到平面AB1P的距离.【答案】三、课堂练习1.已知向量＝(3，－2，1），=（－2，4,0),则4＋2等于（）A．(16,0，4) B．（8，－16，4）C．（8，16,4）D．（8,0,4）【答案】D【解析】4＋2＝4(3，－2,1)＋2(－2，4，0）＝（12,－8，4）＋(－4,8，0）＝(8，0,4)．故选D。2．在三棱柱ABC。A1B1C1中,若eq\o(CA，\s\up15（→）)＝a，eq\o（CB，\s\up15（→）)＝b,eq\o（CC1，\s\up15(→））＝c，则eq\o（A1B,\s\up15（→))＝（）A．a＋b－c B．a－b＋cC．－a＋b＋cD．－a＋b－c【答案】D【解析】eq\o(A1B,\s\up15(→)）＝eq\o（A1A,\s\up15（→））＋eq\o（AB，\s\up15(→)）＝－c＋（b－a）＝－a＋b－c。故选D。3.A(1,0，1），B（4，4,6），C(2，2，3）,D（10,14，17）这四个点________(填“共面”或“不共面”)．【答案】共面【解析】eq\o(AB,\s\up15（→））＝(3,4,5），eq\o(AC,\s\up15(→））＝（1，2，2），eq\o(AD，\s\up15（→)）＝（9，14,16），设eq\o(AD，\s\up15（→）)＝xeq\o(AB,\s\up15（→））＋yeq\o（AC，\s\up15(→)）.即(9，14,16）＝(3x＋y,4x＋2y,5x＋2y),∴eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（x＝2，，y＝3，））从而A、B、C、D四点共面．4.如图,已知点P在正方体的对角线上,∠PDA=60°.（1）求DP与所成角的大小；（2）求DP与平面所成角的大小。【答案】（1）（2）（1)因为，所以，即与所成的角为．（2)平面的一个法向量是．因为，所以，可得与平面所成的角为．四、课后练习1.下列等式中，使点M与点A、B、C一定共面的是A。B.C.D.【答案】D【解析】2。已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于1，点E、F分别是AB、AD的中点,则等于A.B。C.D.【答案】B【解析】∵，，.故选B。3。已知四边形ABCD满足：eq\o（AB,\s\up7（→））·eq\o（BC,\s\up7（→))>0,eq\o（BC，\s\up7(→）)·eq\o（CD,\s\up7（→)）〉0,eq\o(CD,\s\up7（→)）·eq\o（DA，\s\up7（→））>0，eq\o(DA，\s\up7(→）)·eq\o(AB，\s\up7（→））>0，则该四边形为（）A．平行四边形B．梯形C．长方形D．空间四边形【答案】D【解析】由已知条件得四边形的四个外角均为锐角,但在平面四边形中任一四边形的外角和是360°，这与已知条件矛盾,所以该四边形是一个空间四边形．故选D。4。⊿ABC的三个顶点分别是,，，则AC边上的高BD长为A.5B。C.4D.【答案】A【解析】由于，所以,故选A5。已知向量a＝(－1,2,3),b＝（1,1，1），则向量a在b方向上的投影为________．【答案】eq\f（4\r（3），3)【解析】向量a在b方向上的投影为：|a|·cosa，b＝eq\r（14)×eq\f（－1＋2＋3,\r(14)×\r（3)）＝eq\f（4\r（3）,3)。6。在直角坐标系中，设A（-2，3）,B（3，-2)，沿轴把直角坐标平面折成大小为的二面角后，这时，则的大小为．【答案】12007。如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形,侧棱PA的长为2，且PA与AB、AD的夹角都等于600，是PC的中点，设．（1）试用表示出向量;（2）求的长．【答案】见解析在空间四边形OABC中，OA＝8，AB＝6,AC＝4，BC＝5,∠OAC＝45°，∠OAB＝60°，求OA与BC夹角的余弦值．【答案】eq\f(3－2\r(2），5)【解析】∵eq\o（BC，\s\up7（→）)＝eq\o(AC，\s\up7(→))－eq\o(AB,\s\up7（→）），∴eq\o(OA，\s\up7（→))·eq\o(BC，\s\up7（→）)＝eq\o（OA,\s\up7(→))·eq\o(AC，\s\up7（→）)－eq\o(OA，\s\up7(→））·eq\o（AB,\s\up7（→))＝｜eq\o（OA，\s\up7（→))｜·｜eq\o(AC,\s\up7(→)）｜·cos〈eq\o（OA，\s\up7（→)）,eq\o(AC，\s\up7(→））〉－|eq\o(OA，\s\up7(→））｜·｜eq\o（AB，\s\up7（→)）｜·cos<eq\o(OA，\s\up7（→))，eq\o（AB，\s\up7(→)）〉＝8×4×cos135°－8×6×cos120°＝24－16eq\r(2）.∴c