大数定律与中心极限定理

第五章

大数定律及中心极限定理§5.1大数定律一、依概率收敛的定义=1则称依概率收敛于a,记作对于r.v.序列{Xn}若存在常数a,使对于任何e>0,有1、Chebyshev大数定律的特殊情况

相互独立，1）内容：设

r.v.

序列且具有相同的数学期望和方差：则有或二、大数定律由Chebyshev不等式得：2）Chebyshev大数定律的意义当

n

足够大时,算术平均值几乎是一常数.具有相同数学期望和方差的独立r.v.序列的算术平均值依概率收敛于数学期望.算术均值数学期望近似代替可被注：Chebyshev大数定律中要求随机变量X1,X2,...的方差存在.但这些随机变量服从相同分布的场合,并不需要这一要求,我们有以下的定理.2、辛钦定理：

设随机变量X1,X2,...,Xn,...相互独立,服从同一分布,且具有数学期望E(Xk)=μ(k=1,2,...),则对于任意正数e,有3、Bernoulli大数定律1）内容：设

nA

是n

次独立重复试验中事件A发生的次数,p

是每次试验中A发生的概率,则有或证：引入r.v.序列{Xk}设则相互独立，由Chebyshev大数定律，得在概率的统计定义中,事件A

发生的频率“稳定于”事件A在一次试验中发生的概率是指：频率与

p

有较大偏差是小概率事件,因而在n

足够大时,可以用频率近似代替p.这种稳定称为依概率稳定.2）伯努利(Bernoulli)大数定律的意义§5.2中心极限定理

中心极限定理的客观背景在实际问题中，常常需要考虑许多随机因素所产生总影响.例如：炮弹射击的落点与目标的偏差，就受着许多随机因素的影响.

空气阻力所产生的误差，对我们来说重要的是这些随机因素的总影响.如瞄准时的误差，炮弹或炮身结构所引起的误差等等.观察表明，如果一个量是由大量相互独立的随机因素的影响所造成，而每一个别因素在总影响中所起的作用不大.则这种量一般都服从或近似服从正态分布.自从高斯指出测量误差服从正态分布之后，人们发现，正态分布在自然界中极为常见.

现在我们就来研究独立随机变量之和所特有的规律性问题.当n无限增大时，这个和的极限分布是什么呢？在什么条件下极限分布会是正态的呢？由于无穷个随机变量之和可能趋于∞，故我们不研究n个随机变量之和本身而考虑它的标准化的随机变量的分布的极限.的分布的极限.可以证明，满足一定的条件，上述极限分布是标准正态分布.考虑在概率论中，习惯于把和的分布收敛于正态分布这一类定理都叫做中心极限定理.林德伯格-列维中心极限定理[独立同分布的中心极限定理]棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理[二项分布以正态分布为极限分布](Lindberg-levi)(DeMoivre-Laplace)一、独立同分布(i.i.d)的n个随机变量之和

的标准化变量设随机变量X1,X2,...,Xn相互独立,服从同一分布,且具有数学期望和方差E(Xk)=m,D(Xk)=s2,(k=1,2,...).设随机变量X1,X2,...,Xn,...相互独立,服从同一分布,且具有数学期望和方差E(Xk)=m,D(Xk)=s2>0,(k=1,2,...),

二、定理一(独立同分布的中心极限定理)此定理说明,均值为m,方差为s2的独立同分布的n个随机变量当n充分大时(n超过10或者20以上)X1,X2,...,Xn之和X1+X2+...+Xn近似服从正态分布N(nm,ns2).这样就可以用正态分布对X1+X2+...+Xn作理论分析或作概率计算,好处是明显的.或者将其标准化有定理二(李雅普诺夫定理)——（略）定理三(棣莫弗-拉普拉斯定理)——定理一的特例

设随机变量hn(n=1,2,...)服从参数为n,p(0<p<1)的二项分布,有证：

hn可看作由n个服从同一(0-1)分布的随机变量X1,X2,...,Xn的和hn=X1+X2+...+Xn,其中E(Xk)=p,D(Xk)=p(1-p)(k=1,2,...,n),由定理一例1

一加法器同时收到20个噪声电压Vk(k=1,2,...,20),设它们是相互独立的随机变量,且都在区间(0,10)上服从均匀分布,记V=V1+V2+...+V20,求P(V>105)的近似值.

E(V)=E(V1+...+V20)=E(V1)+...+E(V20)=100,解：易知E(Vk)=5,D(Vk)=100/12(k=1,2,...,20).则根据中心极限定理,近似有

V~N(100,1000/6).D(V)=D(V1+...+V20)=D(V1)+...+D(V20)=1000/6,∵V~N(100,1000/6)

某市保险公司开办一年人身保险业务.被保险人每年需交付保险费160元.若一年内发生重大人身事故,其本人或家属可获2万元赔金.己知该市人员一年内发生重大人身事故的概率为0.005.现有5000人参加此项保险.解:例2

求:保险公司一年内从此项业务所得到的总收益在20万元到40万元之间的概率.∴

Xi∼b(1,p).P=0.005X1,X2,,X200相互独立.则:

P{20万元≤总收益≤40万元}=P{20万元≤0.016万元保险费参保人数-2万元赔金一年内发生重大人身事故的人数≤40万元}=P{20≤0.0165000-2(X1+X2++X5000)≤40}∵

np=25np(1-p)=250.995

∴总收益在20万元到40万元之间的概率为0.6826.例3

设有一批种子，其中良种占1/6.试估计在任选的6000粒种子中，良种比例与1/6比较上下不超过1%的概率.解：

设

X

表示6000粒种子中的良种数,X~b(6000,1/6)近似由德莫佛—拉普拉斯中心极限定理,

则有比较几个近似计算的结果中心极限定理二项分布(精确结果)Poisson分布Chebyshev不等式中心极限定理的意义

在第二章曾讲过有许多随机现象服从正态分布若联系于此随机现象的随机变量为X

，是由于许多彼次没有什么相依关系、对随机现象谁也不能起突出影响，而均匀地起到微小作用的随机因素共同作用则它可被看成为许多相互独立的起微小作用的因素Xk的总和，而这个总和服从或近似服从正态分布.(即这些因素的叠加)的结果