应力应变分析

第七章应力和应变分析强度理论

7-1应力状态的概念

7-3二向应力状态分析-解析法

7-4二向应力状态分析-n图解法

7-5三向应力状态7-8广义胡克定律

7-11四种常用强度理论第七章应力和应变分析

强度理论低碳钢塑性材料拉伸时为什么会出现滑移线？铸铁问题的提出7—1应力状态的概念目录脆性材料扭转时为什么沿45º螺旋面断开？低碳钢铸铁7—1应力状态的概念目录

横截面上正应力分析和切应力分析的结果表明：同一面上不同点的应力各不相同，此即应力的点的概念。7—1应力状态的概念横力弯曲

直杆拉伸应力分析结果表明：即使同一点不同方向面上的应力也是各不相同的，此即应力的面的概念。7—1应力状态的概念

直杆拉伸{FlaS7—1应力状态的概念目录S平面zMzT4321yx13yxz单元体上没有切应力的面称为主平面；主平面上的正应力称为主应力，分别用表示，并且该单元体称为主应力单元体。7—1应力状态的概念目录7—1应力状态的概念目录（1）单向应力状态：三个主应力中只有一个不为零（2）平面应力状态：三个主应力中有两个不为零（3）空间应力状态：三个主应力都不等于零平面应力状态和空间应力状态统称为复杂应力状态Fl/2l/2S平面7—1应力状态的概念S平面543211232tｐ（壁厚为t，内直径为D，t<<D，内压为p）L一、承受内压圆柱型薄壁容器任意点的应力状态§7.2二向和三向应力状态实例ＤtｐπD２４tDpxsｐ轴线方向的应力ｐｐ×Ｄ×ｌ横向应力xsysxsys承受内压圆柱型薄壁容器任意点的应力状态:二向不等值拉伸应力状态二、承受内压球型薄壁容器任意点的应力状态（壁厚为t，内直径为D，t<<D，内压为p）ｐｐｐσxσy3、三向应力状态实例滚珠轴承中，滚珠与外圈接触点的应力状态σZσxσy1.斜截面上的应力dAαnt

7-3二向应力状态分析-解析法目录xy列平衡方程dAαnt目录

7-3二向应力状态分析-解析法利用三角函数公式并注意到化简得目录

7-3二向应力状态分析-解析法2.正负号规则正应力：拉为正；压为负切应力：使微元顺时针方向转动为正；反之为负。α角：由x轴正向逆时针转到斜截面外法线时为正；反之为负。αntx目录

7-3二向应力状态分析-解析法xy确定正应力极值设α＝α0

时，上式值为零，即3.

正应力极值和方向即α＝α0

时，切应力为零目录

7-3二向应力状态分析-解析法由上式可以确定出两个相互垂直的平面，分别为最大正应力和最小正应力（主应力）所在平面。所以，最大和最小正应力分别为：主应力按代数值排序：σ1σ2

σ3目录

7-3二向应力状态分析-解析法试求（1）斜面上的应力；

（2）主应力、主平面；（3）绘出主应力单元体。例题1：一点处的平面应力状态如图所示。已知目录

7-3二向应力状态分析-解析法解：（1）斜面上的应力目录

7-3二向应力状态分析-解析法（2）主应力、主平面目录

7-3二向应力状态分析-解析法主平面的方位：代入表达式可知主应力方向：主应力方向：目录

7-3二向应力状态分析-解析法（3）主应力单元体：目录

7-3二向应力状态分析-解析法

7-3二向应力状态分析-解析法此现象称为纯剪切

纯剪切应力状态或例2薄壁圆管受扭转和拉伸同时作用（如图所示）。已知圆管的平均直径D＝50mm，壁厚δ＝2mm。外加力偶的力偶矩Me＝600N·m，轴向载荷FP＝20kN。薄壁管截面的扭转截面系数可近似取为

求：1．圆管表面上过D点与圆管母线夹角为30º的斜截面上的应力；

2.D点主应力和最大剪应力。

2、确定微元各个面上的应力

1．取微元：围绕D点用横截面、纵截面和圆柱面截取微元。στ3．

求斜截面上的应力

σx＝63.7MPa，σy＝0，

τxy＝一76.4MPa，α＝120º。

στ三维投影成二维στ求斜截面上的应力

3．确定主应力与最大剪应力

στ确定主应力与最大剪应力

D点的最大切应力为

这个方程恰好表示一个圆，这个圆称为应力圆

7-4二向应力状态分析-图解法目录圆心的坐标圆的半径

此圆习惯上称为应力圆（planestresscircle）,或称为莫尔圆（Mohr’scircle）（1）建

-坐标系,选定比例尺o2.应力圆作法作图步骤xyxxyxxyyyDxyo（2）量取OA=xAD

=xy得D点xyxxyxxyxAOB=y（3）量取BD′=yx得D′点yByxD′（4）连接DD′两点的直线与轴相交于C

点（5）以C为圆心,CD

为半径作圆,该圆就是相应于该单元体的应力圆C（1）该圆的圆心C点到坐标原点的距离为（2）该圆半径为DxyoxAyByxD′C证明：3.应力圆的应用（1）求单元体上任一截面上的应力从应力圆的半径CD按方位角的转向转动2得到半径CE.圆周上E

点的坐标就依次为斜截面上的正应力和切应力.DxyoxAyByxD′C20FE2xyaxxyxxyefn证明：

Ⅰ.点面之间的对应关系:单元体某一面上的应力,必对应于应力圆上某一点的坐标.说明AB

Ⅱ.夹角关系:圆周上任意两点所引半径的夹角等于单元体上对应两截面夹角的两倍.两者的转向一致.2OCBA(2)求主应力数值和主平面位置主应力数值

A1和B1两点为与主平面对应的点,其横坐标为主应力1,212DxyoxAyByxD′C20FE2B1A120DxyoxAyByxD′C12A1B1主平面方位由CD顺时针转20到CA1所以单元体上从

x

轴顺时针转0（负值）即到1对应的主平面的外法线0确定后,1对应的主平面方位即确定（3）求最大切应力

G1和G两点的纵坐标分别代表最大和最小切应力20DxyoxAyByxD′C12A1B1G1G2因为最大最小切应力等于应力圆的半径sxsxtso2×45º2×45ºbeABDD’Cbe45º45º例1：轴向拉伸的最大正应力和最大切应力ebsxsx轴向拉伸时45º方向面上既有正应力又有切应力，但正应力不是最大值，切应力却最大。轴向拉伸的最大正应力和最大切应力最大正应力所在的面上切应力一定是零；ots2×45º2×45ºσ-45＝ts45＝－tbettD'(0,-t)CD(0,t)eb例2：纯剪切状态的主应力ABs-45'＝tσ45＝－tbeBAtt纯剪切状态的主单元体s-45'＝tσ45＝－tbe在纯剪应力状态下，45º方向面上只有正应力没有剪应力，而且正应力为最大值。例3：一点处的平面应力状态如图所示。已知

试求（1）斜面上的应力；（2）主应力、主平面；（3）绘出主单元体。otscdfe主应力单元体：例4：一点处的平面应力状态如图所示。已知

求（1）主应力；（2）绘出主单元体。120ºotsa120º（1）作应力圆（2）确定主应力120ºotsa120ºb半径因此主应力为：（3）绘出主单元体。120ºotsa120ºbs1s2★讨论：1、本题可用解析法求解吗？2、在某些情况下，单元体可以不取立方体，如平面应力状态问题，零应力面可以取矩形、三角形等，只要已知和零应力面垂直的任意两个面上的应力，就可以求出其它任意斜截面上的应力以及主应力。4、一点处的应力状态有不同的表示方法，而用主应力表示最为重要。otsa3、已知任意两个斜面上的应力，确定主应力解法1—解析法：分析——建立坐标系如图60°xyO例5

求图示单元体的主应力及主平面的位置。(单位：MPa)s3AB

12解：主应力坐标系如图AB的垂直平分线与s

轴的交点C便是圆心，以C为圆心，以AC为半径画圆——应力圆0s1s2BAC2

0st(MPa)(MPa)O20MPa在坐标系内画出点s3s1s2BAC2s0sata(MPa)(MPa)O20MPa主应力及主平面如图

102AB例6分析受扭构件的破坏规律。解：确定危险点并画其原始单元体求极值应力txyCtyxMCxyOtxytyx破坏分析低碳钢铸铁下图表示一受任意横向力作用的矩形截面梁,在横截面

m–m上,分别围绕1、2、3、4,、5五点各取出一单元体。假设该横截面上的剪力和弯矩都是正值。12345mm梁的主应力.主应力迹线12345mmCD1A1D2A2112345mmCO2σ

323x12345mmOC3x412345mmoC4512345mmOC

将相应的x,x

和y=0,y=-x代入主应力的计算公式得梁内任一点的主应力计算公式一、梁的主应力计算公式可见,梁内任一点处的两个主应力必然一个为拉应力,一个为压应力,两者的方向互相垂直。

在梁的xy

平面内可以绘制两组正交的曲线。一组曲线上每一点处切线的方向是该点处主应力1的方向，而另一组曲线上每一点处切线的方向是该点处主应力3的方向,这样的曲线称为梁的主应力迹线

。二、主应力迹线的概念yx上图绘出的是受均布线荷载作用的简支梁的两组主应力迹线实线表示主应力1的迹线,虚线表示主应力3的迹线,所有的迹线与梁轴线(代表梁的中性层位置)间的夹角都是45°,在梁的横截面上=0的各点处,迹线的切线则与梁的轴线平行或正交。§7.5

三向应力状态一般的空间应力状态：单元体三对平面上都有正应力和切应力，且切应力可分解成沿坐标轴方向两个分量，独立的应力分量有六个。s

xsz

s

ytxy定义三个主应力都不为零的应力状态

7-5三向应力状态目录13首先研究与其中一个主平面（例如主应力3所在的平面）垂直的斜截面上的应力122用截面法,沿求应力的截面将单元体截为两部分,取左下部分为研究对象1233主应力3所在的两平面上是一对自相平衡的力,因而该斜面上的应力,

与3无关,只由主应力1,2

决定与3垂直的斜截面上的应力可由

1,2作出的应力圆上的点来表示123321该应力圆上的点对应于与3垂直的所有斜截面上的应力A1O2B与主应力2所在主平面垂直的斜截面上的应力,

可用由1,3作出的应力圆上的点来表示C3与主应力１所在主平面垂直的斜截面上的应力,

可用由2,3作出的应力圆上的点来表示该截面上应力和对应的D点必位于上述三个应力圆所围成的阴影内

abc截面表示与三个主平面斜交的任意斜截面abc12123A1O2BC3结论三个应力圆圆周上的点及由它们围成的阴影部分上的点的坐标代表了空间应力状态下所有截面上的应力该点处的最大正应力（指代数值）应等于最大应力圆上A点的横坐标1A1O2BC3最大切应力则等于最大的应力圆的半径最大切应力所在的截面与1和3所在的主平面成45°角.例单元体的应力如图所示,作应力圆,并求出主应力和最大切应力值及其作用面方位.解:

该单元体有一个已知主应力因此与该主平面正交的各截面上的应力与主应力z

无关,依据x截面和y截面上的应力画出应力圆.

求另外两个主应力40MPaxyz20MPa20MPa20MPa由x,xy

定出D

点由y,yx

定出D′

点以DD′为直径作应力圆

A1,A2

两点的横坐标分别代表另外两个主应力

1和

3A1A2D′ODC13

1=46MPa

3=-26MPa该单元体的三个主应力

1=46MPa

2=20MPa

3=-26MPa根据上述主应力，作出三个应力圆1.基本变形时的胡克定律yx1）轴向拉压胡克定律横向变形2）纯剪切胡克定律

7-8广义胡克定律目录2、三向应力状态的广义胡克定律－叠加法

7-8广义胡克定律目录=++

7-8广义胡克定律目录3、广义胡克定律的一般形式

7-8广义胡克定律目录（1）正应力:拉应力为正,压应力为负1.符号规定（2）切应力:对单元体内任一点取矩,若产生的矩为顺时针,则τ为正;反之为负（3）线应变:以伸长为正,缩短为负;

（4）切应变:使直角减者为正,增大者为负.

7-8广义胡克定律

对于平面应力状态（假设z

=0,xz=0,yz=0）xyzxyxyyxxyxyyx二、各向同性材料的体积应变123a1a2a3构件每单位体积的体积变化,称为体积应变用θ表示.

各向同性材料在三向应力状态下的体积应变：如图所示的单元体,三个边长为dx

,dy

,dz变形后的边长分别为变形后单元体的体积为dx(1+,dy(1+2,dz(1+3

V1=dx(1+·

dy(1+2·

dz(1+3体积应变（volumetricstrain）为体积弹性模量平均主应力体积胡克定律单元体的体积应变mmm1、三向等值应力单元体的体积应变123dxdydz这两个单元体的体积应变相同mmm单元体的三个主应变为如果变形前单元体的三个棱边成某种比例,由于三个棱边应变相同,则变形后的三个棱边的长度仍保持这种比例.所以在三向等值应力m的作用下,单元体变形后的形状和变形前的相似,称这样的单元体是形状不变的。2.纯剪切应力状态下的体积应变即在小变形下,切应力不引起各向同性材料的体积改变.在最一般的空间应力状态下，材料的体积应变只与三个线应变x

,y,z

有关,仿照上述推导有在任意形式的应力状态下,各向同性材料内一点处的体积应变与通过该点的任意三个相互垂直的平面上的正应力之和成正比,而与切应力无关.例5-4已知一受力构件自由表面上某一点处的两个面内主应变分别为：1=24010-6，

2=–16010-6，弹性模量E=210GPa，泊松比为

ν=0.3，试求该点处的主应力及另一主应变。所以，该点处的平面应力状态由广义胡克定律me334

2.-=例1

图a所示为承受内压的薄壁容器。为测量容器所承受的内压力值，在容器表面用电阻应变片测得环向应变t

=350×l06，若已知容器平均直径D=500mm，壁厚=10mm，容器材料的E=210GPa，=0.25，试求:1.导出容器横截面和纵截面上的正应力表达式；2.计算容器所受的内压力。pppxs1smlpODxABy图a1、轴向应力:(longitudinalstress)解：容器的环向和纵向应力表达式用横截面将容器截开，受力如图b所示,根据平衡方程smsmxD图bppp用纵截面将容器截开，受力如图c所示2、环向应力：(hoopstress)3、求内压（以应力应变关系求之）t

m外表面ypststDqdqz图cO

§7.9复杂应力状态的应变能密度应变能密度用vd

表示与单元体形状改变相应的那部分应变能密度,称为畸变能密度用vV

表示单元体体积改变相应的那部分应变能密度,称为体积改变能密度应变能密度vε等于两部分之和将广义胡克定律代入上式,经整理得图（a）所示单元体的三个主应力不相等,因而,变形后既发生体积改变也发生形状改变.图（b）所示单元体的三个主应力相等,因而,变形后的形状与原来的形状相似,即只发生体积改变而无形状改变.（a)（b)=+（c)图b所示单元体的体积改变能密度a单元体的应变能密度为a所示单元体的体积改变能密度空间应力状态下单元体的畸变能密度(a)123例

用能量法证明三个弹性常数间的关系。纯剪单元体的应变能密度为：纯剪单元体应变能密度的主应力表示为：txyA13（拉压）（弯曲）（正应力强度条件）（弯曲）（扭转）（切应力强度条件）杆件基本变形下的强度条件7-11四种常用强度理论目录（2）材料的许用应力,是通过拉（压）试验或纯剪试验测定试件在破坏时其横截面上的极限应力,以此极限应力作为强度指标,除以适当的安全系数而得,即根据相应的试验结果建立的强度条件。上述强度条件具有如下特点（1）危险点处于单向应力状态或纯剪切应力状态；对于复杂应力状态，因σ1、σ2、σ3有任意比值，不可能做所有情况的试验。另外，加载也有困难。满足是否强度就没有问题了？目录7-11四种常用强度理论强度理论：人们根据大量的破坏现象，通过判断推理、概括，提出了种种关于破坏原因的假说，找出引起破坏的主要因素，经过实践检验，不断完善，在一定范围与实际相符合，上升为理论。

为了建立复杂应力状态下的强度条件，而提出的关于材料破坏原因的假设及计算方法。目录7-11四种常用强度理论（1）脆性断裂:无明显的变形下突然断裂.二、材料破坏的两种类型（常温、静载荷）屈服失效(Yieldingfailure)

材料出现显著的塑性变形而丧失其正常的工作能力.2.断裂失效(Fracturefailure)（2）韧性断裂:产生大量塑性变形后断裂.引起破坏的某一共同因素形状改变比能最大切应力最大线应变最大正应力

2.马里奥特关于变形过大引起破坏的论述,是第二强度理论的萌芽;

3.杜奎特(C.Duguet)提出了最大切应力理论;

4.麦克斯威尔最早提出了最大畸变能理论,这是后来人们在他的书信出版后才知道的.三、四个强度理论

1.伽利略播下了第一强度理论的种子;（1）第一类强度理论—以脆断作为破坏的标志包括:最大拉应力理论和最大伸长线应变理论（2）第二类强度理论—以出现屈服现象作为破坏的标志包括:最大切应力理论和形状改变比能理论1.最大拉应力理论（第一强度理论）目录7-11四种常用强度理论无论材料处于什么应力状态,只要发生脆性断裂,都是由于微元内的最大拉应力达到简单拉伸时的破坏拉应力数值。断裂条件强度条件最大拉应力理论（第一强度理论）铸铁拉伸铸铁扭转目录7-11四种常用强度理论适用范围：

1.适用于脆性材料的拉伸、扭转；

2.适合三向拉伸（脆、塑性材料）。

3.只突出σ1而未考虑σ2、σ3的影响，并且对没有拉应力的状态也无法应用。

2.最大伸长线应变理论（第二强度理论)基本假说:最大伸长线应变1是引起材料脆断破坏的因素.脆断破坏的条件:最大伸长线应变:强度条件:

适用范围：虽然考虑了σ2、σ3的影响，它仅与石料、混凝土等少数脆性材料的实验结果较符合。此理论对于一拉一压的二向应力状态的脆性材料的断裂较符合，如铸铁受拉压比第一强度理论更接近实际情况。断裂准则:

1.最大切应力理论(第三强度理论)基本假说:最大切应力max

是引起材料屈服的因素.根据:当作用在构件上的外力过大时，其危险点处的材料就会沿最大切应力所在截面滑移而发生屈服失效.屈服条件五、第二类强度理论

在复杂应力状态下一点处的最大切应力为强度条件屈服准则:屈服条件强度条件最大切应力理论（第三强度理论）低碳钢拉伸低碳钢扭转目录7-11四种常用强度理论实验表明：此理论对于塑性材料的屈服破坏能够得到较为满意的解释。并能解释材料在三向均压下不发生塑性变形或断裂的事实。局限性：

2、不能解释三向均拉下可能发生断裂的现象。1、未考虑的影响，试验证实最大影响达15%。最大切应力理论（第三强度理论）目录7-11四种常用强度理论无论材料处于什么应力状态,只要发生屈服,都是由于微元的最大形状改变比能达到一个极限值。4.形状改变比能理论（第四强度理论）目录7-11四种常用强度理论

基本假说:畸变能密度υd是引起材料屈服的因素.单向拉伸下,1=

s,2=

3=0,材料的极限值屈服准则:屈服条件强度条件形状改变比能理论（第四强度理论）实验表