中纬度大尺度运动的准地转理论

Chp.11中纬度大尺度运动

的准地转理论1§11.1准地转运动的分类●由前几节可知，大气中风－压场间是近于地转关系的，这与实况一致，当然，这种地转气流又不停做缓慢的演变，也正因如此，才有系统的发生和发展。●从本节起，将对这种大气中的准地转运动的变化加以分析与讨论。回忆：本章第一节曾指出：地转适应中位势运动重要，而达准地转缓慢演变后，涡旋运动为主，故以下讨论将从天气尺度出发：2由此得一个重要关系：尺度分析

～～，故有：其中，是散度项大小，是涡度项大小。这样，按Rossby数与S之相对大小，可将准地转运动分为两类：3⒈第一类准地转运动（）（11.7）表明：第一类准地转运动中，垂直速度量级甚小于从连续方程中估计出的量级。再看（11.6），左边实为水平散度的量级，右边实为的量级，即

～表明：这类准地转运动具有涡旋运动为主的特点。●由（11.6）可知：～，若认为它与绝热方程分析出的～大小相当，即：～～——（11.9）天气尺度运动，水平运动尺度小于地球半径（11.3）中S相对于可以略去：～——（11.6）而上式中，，故有——（11.7）●●4表明：运动的水平尺度L及垂直尺度H还与静力稳定度有关。●故（11.9）还是两端平方去掉根号：～，故有：～1～1——（11.11）表明：必与同时成立，即层结高度稳定必与准地转相呼应。第一类准地转运动实际上指中纬度天气尺度运动或水平尺度小于地球半径的大气长波，又称为天气尺度准地转运动。⒉第二类准地转运动（～1）超长波尺度的准地转运动S～1运动的水平尺度L与地球半径a相当，故可称行星尺度准地转运动。（11.3）中可略去，得：～，即～——（11.13）●5表明：涡度方程（11.1）中，主要由散度项与项平衡，而涡度的水平方向

个别变化不重要，因而运动是准定常的；而且W与U成正比，而与L无关。●而～～S～1,表明：水平散度与涡度量级相当。●进一步，还可得出由涡度方程尺度分析估计出的垂直速度量级：W～，若认为它与由绝热方程估计出的W～量级相当，则有：表明：与L无关，但与U有关。考虑，考（11.15）：～～～1—（11.16）或为便于比较：写出与(11.11)类似的式子：表明：（11.17）与（11.11）相比，两者具有不同。教材对这两类准地转运动各自的条件及特征作了很好的归纳。请同学看书写出总结。6§11.2准地转运动方程组·摄动法§11.2.1摄动方法与多尺度方法在自然科学的许多领域内，因为控制方程的非线性、变系数、边界条件的复杂性等等，很多问题难以求得解析解，为了寻求方程解的一些信息，只得求助一些大家熟知的近似解法（小扰动方法、级数解法）和数值解法，或者而发的结合使用。近似方法中有一种重要的摄动方法，在频散波能量传播和Rossby波共振相互作用等方面已有广泛应用，取得了不少成果。奇异摄动理论实为一庞杂体系，这里仅简述其思路步骤，再由实例加以运用：（1）对方程和定解条件进行无量纲化；（2）选取一个合适的摄动量，它是一个无量纲的小的（或大的）参数ε；（3）将方程的解按此ε展开为幂级数，如u=u0+εu1+ε2u2+……;(4)将该级数代入到无量纲方程，可得关于小参数ε的各级近似方程，继而可确定出幂级数的各个系数u0、u1、u2、……；（5）若是正规（则）摄动问题，就可对级数进行截断，便得到原方程之渐近解u≈u0+εu1+ε2u2789§11.2.3第一类斜压准地转运动方程组为实际应用方便，用p坐标系（即静力平衡，亦即大尺度运动），其基本方程组为（当然，实为绝热无摩擦下）：——（11.28）其中，已取下面：先做无量纲化，同时应用上节得出的第一类准地转运动条件，再用摄动法展开，得零级近似（地转风方程组）和高一级近似（一类准地转方程组）。10①.首先用*量表无量纲量，取：—（11.29）（11.29）代入基本方程组（11.28）进行无量纲化前，还要对（11.28）的和f进行处理：●由（4.36）知，——（11.30）将代入上式，有：即有：——（11.31）指一个等压面上的平均值,故不同等压面上不同,即是p的函数.11●另一方面，对第一类准地转运动，有，故可有平面近似：——（11.34）将（11.31）、（11.34）随（11.29）一道，代入基本方程组（11.28），可得无量纲方程组：——（11.35）无量纲化的方法已多次讲了，故不再细推，其实前两式就是p.255（11.20）的前两式，只不过项。12②用WKB方法对（11.35）进行展开，这就需要选取合适的摄动量（无量纲小参数）。在（11.35）中，一共出现了4个无量纲参数：——（11.37）现讨论的是第一类准地转运动，，可以选取为摄动量（小参数）。13③故有WKB法展开（已细推过，故不再详讲）：将（11.35）中各未知量按展开：

——（11.38）④代入（11.35），并按的各同次幂分别合并，若取零级近似（不含的各项），得：——（11.39）14的项，略去经WKB法展开后的零级近似简化方程组：水平无辐散，且满足地转风关系，这与p.270所讨论的情况一致，故（11.39）称为地转风方程组。零级近似反映了大尺度运动的主要特征，不过它表征的是不随时间变化的平衡运动，要反映运动变化本质，还需考虑一级甚至二级近似。一级近似（保留及更高阶项）简化方程组为：——（11.40）不过，实际运用时，常用其变形表达式（涡度方程），下面考虑之：15涡度方程：——（5）

上式建立起零级近似与一级近似之间的联系。主要表现为：除水平辐散项外，局地变化、平流变化及包含替。这种除散度项外其他项中水平运动均可取地转风近似,就是人们称的准地转运动（quasi-geostrophicflow）。的项中，水平运动都可以用地转关系代（4）与（5）联立，即构成了关于与的闭合方程组，写回到有量纲式：零级涡度它实际上可表为地转风涡度。,由(11.39)知,

—（11.45）16这就是准地转方程组，水平散度项前f取，且其中不取地转风近似，取，垂直方向上满足静力平衡（这里体现为取了p坐标），。其余各项中且绝热方程中静力稳定度取前面已推得的平均值准地转方程组（11.45）有两个重要性质：（ⅰ）绝热无摩擦下，有位涡守恒；（ⅱ）闭合系统中能量守恒。下面分别予以说明：（ⅰ）由即有：这表明：绝热无摩擦下，准地转位涡守恒。令为q~准地转位势涡度17（ⅱ）证明闭系统内[动能＋有效位能]～守恒量：在这里闭系统指：在（地面）及（大气项）处，，且（系统边界面A，实，再对闭系统积分，有：指气柱上下截面）。作运算—（11.51）即故有：故有②＝018，故有将①、②、③代回到（11.51）

动能平衡方程（11.52）——（11.52）与Chp.7类同，静力平衡（p坐标）下，若取质量元

—（11.54），则上式改写为：——（11.53）类似地，可得有效位能平衡方程（同学自己看书，时间关系从略）：——（11.56）（11.53）＋（11.56）闭合系统中动能与有效位能之和守恒（11.57）19§11.2.4第二类准地转运动方程组（超长波尺度的准地转运动）从实际结果看，用准地转涡度方程描述天气形势及定性定量预报，均比较满意。但天气系统得波长非常长与一类有不同：二类；由前已知，这时S～1L～a平面近似已不成立故须用球坐标。超长波时，分析结果不理想，故其特点不过，水平尺度越大准地转关系越成立越小。实际上，由（11.16）故水平运动方程完全可以简化为地转风方程，即：——（11.58）~南北方向上，~东西方向上。拟作涡度运算：20两式相加且两端乘以：则有伯格方程：——（11.59）其实，这是涡度方程在第二类准地转条件下的简化形式，考涡度方程（11.11）对于第二类准地转运动，具体为

第二类准地转方程组中，绝热方程和连续方程不再简化，核心是Burger方程故有：在第二类准地转运动中，的局地变化项及平流变化项相对于Burger方程！效应项可以忽略→21§11.3准地转位势倾向方程与方程对于准地转方程组（11.45）：故上述准地转方程组可以改写为关于（重力位势倾向）及（垂直速度）的二联方程组：以上二式，消去，即得位势倾向方程；消去，即得方程。22§11.3.1准地转位势倾向方程——（11.65）●对于重力位势而言（11.65）是预报方程，因右边的可由表出

（见11.46），故由观测到的初始位势场（而勿

需速度场的直接观测),就可以计算预报出位势场的变化，故（11.65）是数值预报中准地转模式之基础方程。●但对位势倾向（11.65）是一个诊断方程，因左端只是的二阶空间

（x，y，p）导数但无时间导数。右边不含项，故是引起空间分布之

原因，称（外源）强迫项。作运算，即可消去，得准地转位势倾向方程：23对于波状运动，可设或

在空间上沿x，y方向为谐波变化，例如对于

，有：其中，k，l分别为x，y方向的波数，～地面气压。则当时，位势差为；当时，位势差为0。〈1〉〈3〉~温度平流随高度p的变化率项（因为〈2〉~绝对涡度的地转平流项。（绝对涡度＝相对涡度＋地球自转涡度）p坐标下，与T成正比）。24故（11.65）可以定性地表示为（两端已共同消去一个负号）：可见:

绝对涡度平流，〈2〉0负正大于小于大于小于0.暖平流随高度减弱(即随p增加而增加,)将使当然，实际情况要更复杂一点，例如，绝对涡度地转平流项〈2〉实可分为作用相反的两项：总结:正负变高-+绝对涡度平流+低层暖平流,高层冷平流低层冷平流,高层暖平流25流场形势究竟是东移还是西退，决定于这两种平流何者占主导地位。

如图，考一个西风带中典型的谐波流型。反气旋式→负涡度，气旋式→正涡度.故：Ⅰ区有负的涡度平流

Ⅱ区有正的涡度平流

(指的是相对涡度)则Ⅰ区

Ⅱ区大于小于0,→正负变高→系统流型东移再看效应项,由于恒为正而Ⅰ区

Ⅱ区故,小于大于0→0,系统西移小于大于26§11.3.2准地转方程作运算得作运算得两式相减，可消去位势倾向，所得结果两端再除以常数，终有——（11.69）称为准地转方程，它表明：在准地转运动的条件下，由瞬时的位势场就可以确定出场，注意：由于方程中没有时间变化项(项)，故是由位势场可以诊断出同时刻的场，因此说（11.69）是准地转条件下的诊断方程。不难看出，当场具有（9.113）’式的空间分布特征时，则有：27[1][2]～绝对涡度平流随高度的变化率，若绝对涡度平流

随高度增加，则[2]有上升运动。[3]故[3]实为温度平流的作用，若有暖平流，则有上升运动。

总之，有：上升下沉运动正负涡度平流随高度增加率+暖冷平流28地面G、D中心区域，相对涡度之地转平流很小。但在G中心以上500hPa为负的涡度平流区D;中心以上500hPa为负的涡度平流区