概率论与数理统计第二章习题答案

习题二1.一袋中有5只乒乓球，编号为1，2，3，4，5，在此中同时取3只，以X表示拿出的3只球中的最大号码，写出随机变量X的散布律.【解】X3,4,5P(X3)10.1C53P(X4)30.3C53P(X5)C420.6C53故所求散布律为X345P2.设在15只同种类零件中有2只为次品，在此中取3次，每次任取1只，作不放回抽样，以X表示拿出的次品个数，求：（1）X的散布律；（2）X的散布函数并作图；(3)P{X1},P{1X3},P{1X3},P{1X2}.222【解】X0,1,2.P(X0)C13322.C15335P(X1)C12C13212.C15335P(X2)C1311.C15335故X的散布律为X012P22121353535（2）当x<0时，F（x）=P（X≤x）=022当0≤x<1时，F（x）=P（X≤x）=P(X=0)=3534当1≤x<2时，F（x）=P（X≤x）=P(X=0)+P(X=1)=35当x≥2时，F（x）=P（X≤x）=1故X的散布函数0,x0220x1,F(x)3534,1x2351,x2(3)P(X1)F(1)22,2235P(1X3)F(3)F(1)34340223535P(1X3)P(X1)P(1X3)122235P(1X2)F(2)F(1)P(X2)34110.3535射手向目标独立地进行了3次射击，每次击中率为，求3次射击中击中目标的次数的散布律及散布函数，并求3次射击中最少击中2次的概率.【解】设X表示击中目标的次数.则X=0，1，2，3.P(X0)(0.2)30.008P(X1)C130.8(0.2)20.096P(X2)C32(0.8)20.20.384P(X3)(0.8)30.512故X的散布律为X0123P散布函数0,x00.008,0x1F(x)0.104,1x20.488,2x31,x3P(X2)P(X2)P(X3)0.8964.（1）设随机变量X的散布律为kP{X=k}=ak!，此中k=0，1，2，，λ＞0为常数，试确立常数a.（2）设随机变量X的散布律为{=}=a/N，k=1，2，，，PXkN试确立常数a.【解】（1）由散布律的性质知k1P(Xk)aagek0k0k!故ae由散布律的性质知NP(Xk)Na1ak1k1N即a1.5.甲、乙两人投篮，投中的概率分别为,,今各投3次，求：（1）两人投中次数相等的概率;（2）甲比乙投中次数多的概率.【解】分别令X、Y表示甲、乙投中次数，则X~b（3，）,Y~b(3,(1)P(XY)P(X0,Y0)P(X1,Y1)P(X2,Y2)P(X3,Y3)(0.4)3(0.3)3C130.6(0.4)2C130.7(0.3)2+C32(0.6)20.4C32(0.7)20.3(0.6)3(0.7)30.32076(2)P(XY)P(X1,Y0)P(X2,Y0)P(X3,Y0)P(X2,Y1)P(X3,Y1)P(X3,Y2)C130.6(0.4)2(0.3)3C32(0.6)20.4(0.3)3(0.6)3(0.3)3C32(0.6)20.4C130.7(0.3)2(0.6)3C310.7(0.3)2(0.6)3C32(0.7)20.3=6.设某机场每天有200架飞机在此下降，任一飞机在某一时辰下降的概率设为，且设各飞机下降是互相独立的.试问该机场需装备多少条跑道，才能保证某一时辰飞机需立刻下降而没有安闲跑道的概率小于(每条跑道只好同意一架飞机下降)？【解】设X为某一时辰需立刻下降的飞机数，则X~b(200,，设机场需装备N条跑道，则有P(XN)0.01200C200k(0.02)k(0.98)200k即0.01kN1利用泊松近似np2000.024.P(XN)Be44k0.01kN1k!查表得N≥9.故机场最少应装备9条跑道.7.有一繁忙的汽车站，每天有大批汽车经过，设每辆车在一天的某时段失事故的概率为,在某天的该时段内有1000辆汽车经过，问失事故的次数不小于2的概率是多少（利用泊松定理）？【解】设X表示失事故的次数，则X~b（1000，）P(X2)1P(X0)P(X1)e0.10.1e0.1已知在五重贝努里试验中成功的次数X知足P{X=1}=P{X=2}，求概率P{X=4}.【解】设在每次试验中成功的概率为p，则C15p(1p)4C52p2(1p)3故p13所以P(X4)C54(1)4210.332439.设事件A在每一次试验中发生的概率为，当A发生很多于3次时，指示灯发出信号，（1）进行了5次独立试验，试求指示灯发出信号的概率；（2）进行了7次独立试验，试求指示灯发出信号的概率.【解】（1）设X表示5次独立试验中A发生的次数，则X~6（5，）5P(X3)C5k(0.3)k(0.7)5k0.16308k3(2)令Y表示7次独立试验中A发生的次数，则Y~b（7，）7C7k(0.3)k(0.7)7kP(Y3)0.35293k310.某公安局在长度为t的时间间隔内收到的紧迫呼救的次数X听从参数为（1/2）t的泊松散布，而与时间间隔起点没关（时间以小时计）.（1）求某一天正午12时至下午3时充公到呼救的概率；（2）求某一天正午12时至下午5时最少收到1次呼救的概率.35【解】（1）P(X0)e2(2)P(X1)1P(X0)1e211.设P{X=k}=C2kpk(1p)2k,k=0,1,2P{Y=m}=mm4mC4p(1p),m=0,1,2,3,4分别为随机变量X，Y的概率散布，若是已知P{X≥1}=5，试求P{Y≥1}.549【解】因为P(X1)，故P(X1).99而P(X1)P(X0)(1p)2故得(1p)24,9即p1.365进而P(Y1)1P(Y0)1(1p)40.802478112.某教科书第一版了2000册，因装订等原由造成错误的概率为，试求在这2000册书中恰有5册错误的概率.【解】令X为2000册书中错误的册数，则X~b(2000,.利用泊松近似计算,np20000.0012得P(X5)e2250.00185!13.进行某种试验，成功的概率为3，失败的概率为1.以X表示试验初次成功所需试验的44次数，试写出X的散布律，并计算X取偶数的概率.【解】X1,2,L,k,LP(Xk)(1)k1344P(X2)P(X4)LP(X2k)L131)331)2k13g(4L(L444443114g(1)2415414.有2500名同一年龄和同社会阶层的人参加了保险公司的人寿保险.在一年中每个人死亡的概率为，每个参加保险的人在1月1日须交12元保险费，而在死亡时家属可从保险公司领取2000元补偿金.求：（1）保险公司亏本的概率;（2）保险公司赢利分别很多于10000元、20000元的概率.【解】以“年”为单位来考虑.（1）在1月1日，保险公司总收入为2500×12=30000元.设1年中死亡人数为X，则X~b(2500,，则所求概率为P(2000X30000)P(X15)1P(X14)因为n很大，p很小，λ=np=5，故用泊松近似，有P(X14e55k15)10.000069k0k!P(保险公司赢利很多于10000)P(300002000X10000)P(X10)10e55kk0k!

0.986305即保险公司赢利很多于10000元的概率在98%以上P（保险公司赢利很多于20000）P(300002000X20000)P(X5)5e55k0.615961k0k!即保险公司赢利很多于20000元的概率约为62%15.已知随机变量X的密度函数为f(x)=?|x|?∞<<+∞,e,Ax求：（1）A值；（2）P{0<X<1};(3)F(x).【解】（1）由f(x)dx1得1Ae|x|dx20Aexdx2A故1A.2(2)p(0X1)11xdx1e1)2e(10121(3)当x<0时，F(x)xxxedx2e2当x≥0时，F(x)x1e|x|dx01xx1xdx2edxe20211ex21ex,x0故F(x)211exx0216.设某种仪器内装有三只相同的电子管，电子管使用寿命X的密度函数为f(x)=1002,x100,0,x100.x求：（1）在开始150小时内没有电子管损坏的概率；2）在这段时间内有一只电子管损坏的概率；3）F（x）.【解】（1）P(X150)150100dx1.x3p1[P(X150)]3(2)3811224327(2)p2C33(3)9(3)当x<100时F（x）=0xf(t)dt当x≥100时F(x)100f(t)dtxf(t)dt100x100100100t2dt1xF(x)1100,x100故x0,x017.在区间［0，a］上任意扔掷一个质点，以X表示这质点的坐标，设这质点落在［0，a］中任意小区间内的概率与这小区间长度成正比率，试求X的散布函数.【解】由题意知~∪[0,]，密度函数为Xaf(x)1,0xaa0,其余故当x<0时（x）=0Fxf(t)dtxx1x当0≤x≤a时F(x)f(t)dtdt00aa当x>a时，F（x）=1即散布函数0,x0F(x)x,0xaa1,xa设随机变量X在[2，5]上听从平均散布.现对X进行三次独立察看，求最少有两次的察看值大于3的概率.【解】X~U[2,5]，即f(x)1,2x530,其余P(X3)51dx2333故所求概率为pC32(2)21C33(2)32033327119.设顾客在某银行的窗口等待服务的时间（以分钟计）听从指数散布5口等待服务，若高出10分钟他就走开.他一个月要到银行5次，以Y表示一个月内他未等到服务而走开窗口的次数，试写出Y的散布律，并求{≥1}.PY【解】依题意知X~E(1)，即其密度函数为51xx0f(x)e5,5x00,该顾客未等到服务而走开的概率为xP(X10)1e5dxe2105Y~b(5,e2),即其散布律为P(Yk)C5k(e2)k(1e2)5k,k0,1,2,3,4,5P(Y1)1P(Y0)1(1e2)50.516720.某人乘汽车去火车站乘火车，有两条路可走.第一条行程较短但交通拥堵，所需时间X听从（40，102）；第二条行程较长，但拥塞少，所需时间X听从（50，42）.NN1）若起程时离火车开车只有1小时，问应走哪条路能乘上火车的掌握大些？2）又若离火车开车时间只有45分钟，问应走哪条路追上火车掌握大些？【解】（1）若走第一条路，X~N（40，102），则P(X60)Px406040(2)0.977271010若走第二条路，X~N（50，42），则P(X60)PX506050(2.5)0.9938++44故走第二条路乘上火车的掌握大些.（2）若（40，102），则X~NP(X45)PX404540(0.5)0.69151010若X~N（50，42），则P(X45)PX504550(1.25)441(1.25)0.1056故走第一条路乘上火车的掌握大些.设X~N（3，22），1）求P{2<X≤5}，P{?4<X≤10}，P{｜X｜＞2}，P{X＞3};2）确立c使P{X＞c}=P{X≤c}.【解】（1）P(2X5)P23X353222(1)1(1)11220.841310.69150.5328P(4X10)P43X3103222770.999622P(|X|2)P(X2)P(X2)PX323PX323222211515222120.691510.99380.6977P(X3)P(X33-3)1(0)0.522c=3由某机器生产的螺栓长度（cm）X~N（,）,规定长度在±内为合格品,求一螺栓为不合格品的概率.【解】P(|X10.05|0.12)PX10.050.120.060.061(2)(2)2[1(2)]0.045623.一工厂生产的电子管寿命X（小时）听从正态散布N（160，σ2），若要求P{120＜X≤200}≥，同意σ最大不高出多少？【解】P(120X200)P120160X160200160404024010.8故4031.251.2924.设随机变量X散布函数为ABext,x0,(0),F（x）=x0.0,（1）求常数A，B；（2）求P{X≤2}，P{X＞3}；（3）求散布密度f（x）.limF(x)1A1【解】（1）由x得limF(x)limF(x)B1x0x0（2）P(X2)F(2)1e2P(X3)1F(3)1(1e3)e3(3)f(x)F(x)ex,x00,x0设随机变量X的概率密度为x,0x1,f（x）=2x,1x2,0,其余.求X的散布函数F（x），并画出f（x）及F（x）.【解】当x<0时F（x）=0x0f(t)dtx当0≤x<1时F(x)f(t)dtf(t)dt0x2tdt2xf(t)dt当1≤x<2时F(x)0f(t)dt1xf(t)dtf(t)dt011x(2t)dttdt1x232x22x22x12当x≥2时F(x)xf(t)dt10,x0x2,0x1故F(x)2x21,1x22x21,x2设随机变量X的密度函数为1）f(x)=ae??|x|,λ>0;bx,0x1,(2)f(x)=12,1x2,x其余.0,试确立常数a,b，并求其散布函数F（x）.【解】（1）由f(x)dx1知1ae|x|dx2aexdx2a0故a2ex,x0即密度函数为f(x)2exx02当x≤0时F(x)xxxdx1exf(x)dxe22当x>0时F(x)xf(x)dx0xexdxexdx2021ex2故其散布函数11ex,x0F(x)21ex,x02(2)由1121dxb1f(x)dxbxdxx22201得b=1即X的密度函数为x,0x1f(x)1,1x2x20,其余当x≤0时（）=0Fx当0<x<1时F(x)x0xf(x)dxf(x)dxf(x)dx0x2xdx2当1≤x<2时F(x)x01x1dxf(x)dx0dxxdx1x2310x当x≥2时F（x）=1故其散布函数为0,x0x2,0x1F(x)231,1x22x1,x227.求标准正态散布的上分位点，1）=，求z;2）=，求z，z/2.【解】（1）P(Xz)0.01即1(z)0.01即(z)0.09故z2.33（2）由P(Xz)0.003得1(z)0.003即(z)0.997查表得z2.75由P(Xz/2)0.0015得1(z/2)0.0015即(z/2)0.9985查表得z/22.96设随机变量X的散布律为X?2?1013P1/51/61/51/1511/30k求Y=X2的散布律.【解】Y可取的值为0，1，4，9P(Y0)P(X10)5P(Y1)P(X1171)P(X1)15306P(Y4)P(X12)5P(Y9)P(X113)30故Y的散布律为Y0149k1/57/301/511/30P29.设P{X=k}=(1)k,k=1,2,,令2Y1,当X取偶数时1,当X取奇数时.求随机变量X的函数Y的散布律.【解】P(Y1)P(X2)P(X4)LP(X2k)L(1)2(1)4L(1)2kL222(1)/(11)1443P(Y设X~N（0，1）.X（1）求Y=e的概率密度；（2）求Y=2X2+1的概率密度；（3）求Y=｜X｜的概率密度.【解】（1）当y≤0时，FY(y)P(Y当y>0时，FY(y)P(Y

21)1P(Y1)3y)0y)P(exy)P(X

lny)lnyfX(x)dx故fY(y)dFY(y)1fx(lny)1dyyy(2)P(Y2X211)1当y≤1时FY(y)P(Yy)0当y>1时FY(y)P(Yy)P(2X21y)

1eln2y/2,y02πPX2y1Py122(y1)/2fX(x)dx(y1)/2

X

y12故fY(y)dFY(y)12fXy1fXdy4y12121e(y1)/4,y12y12π(3)P(Y0)1当y≤0时FY(y)P(Yy)0当y>0时FY(y)P(|X|y)P(yXy)

12yy

fX

(x)dx故fY(y)

ddy

FY(y)

fX

(y)

fX(y)2e

y2/2,y

02π设随机变量X~U（0,1），试求：1）Y=eX的散布函数及密度函数；2）Z=?2lnX的散布函数及密度函数.【解】（1）P(0X1)1故P(1YeXe)1当y1时FY(y)P(Yy)0当1<y<e时FY(y)P(eXy)P(Xlny)lnydxlny0当y≥e时FY(y)P(eX)1y即散布函数0,y1FY(y)lny,1ye1,ye故Y的密度函数为11yefY(y)y,0,其余（2）由P（0<X<1）=1知P(Z0)1当z≤0时，FZ(z)P(Zz)0当z>0时，FZ(z)P(Zz)P(2lnXz)P(lnXz)P(Xez/2)21z/2dx1ez/2e即散布函数0,z0FZ(z)1-e-z/2,z0故Z的密度函数为fZ(z)1ez/2,z0200,z设随机变量X的密度函数为f(x)=2x2,0xπ,π0,其余.试求Y=sinX的密度函数.【解】P(0Y1)1当y≤0时，FY(y)P(Yy)0当0<y<1时，FY(y)P(Yy)P(sinXy)P(0Xarcsiny)P(πarcsinyXπ)arcsiny2xdxπ2xdx02πarcsiny2ππ121-12（arcsiny）（π-arcsiny）22ππ2arcsinyπ当y≥1时，FY(y)1故Y的密度函数为2g1,0y1fY(y)π1y20,其余设随机变量X的散布函数以下：1,x(1),F(x)1x2(2),x(3).试填上(1),(2),(3)项.【解】由lim( )1知②填1。Fxx由右连续性lim+F(x)F(x0)1知x00，故①为0。xx0进而③亦为0。即1F(x)1x2,x01,x034.同时掷两枚骰子，直到一枚骰子出现6点为止，求扔掷次数X的散布律.【解】设Ai={第i枚骰子出现6点}。（i=1,2）,P(Ai)=1.且A1与A2互相独立。再设C={每6次扔掷出现6点}。则P(C)P(A1UA2)P(A1)P(A2)P(A1)P(A2)111111666636故扔掷次数X听从参数为11的几何散布。3635.随机数字序列要多长才能使数字0最少出现一次的概率不小于?【解】令X为0出现的次数，设数字序列中要包括n个数字，则X~b(n,P(X1)1P(X0)1Cn0(0.1)0(0.9)n0.9即(0.9)n0.1得n≥22即随机数字序列最少要有22个数字。36.已知0,x0,F（x）=x101,x,221,x1.2则F（x）是（）随机变量的散布函数.（A）连续型；（B）失散型；（C）非连续亦非失散型.【解】因为F（x）在（?∞,+∞）上单调不减右连续，且lim( )0xFxlimF(x)1,所以F（x）是一个散布函数。x但是F（x）在x=0处不连续，也不是阶梯状曲线，故F（x）是非连续亦非失散型随机变量的散布函数。选（）C37.设在区间[a,b]上，随机变量X的密度函数为f(x)=sinx，而在[a,b]外，f(x)=0，则区间[,]等于（）ab(A)[0,π/2];(B)[0,π];C[?π/2,0];(D)[0,3π()].π2【解】在[0,x≥0，且π/21.故f(x)是密度函数。]上sin0sinxdx2π1.故f(x)不是密度函数。在[0,π]上sinxdx20在[π0，故f(x)不是密度函数。2,0]上sinx在[0,3π]上，当πx3π时，sin<0()也不是密度函数。22x，fx应选（A）。设随机变量X~N（0，σ2），问：当σ取何值时，X落入区间（1，3）的概率最大？【解】因为X~N(0,2),P(1X3)P(1X3)(3)(1)令g()利用微积分中求极值的方法，有g( )(33112)( )2( )31e9/2211e1/222222得又故故当

200

1e1/223e8/22令2[1]0242,则0ln3ln3g(0)02为极大值点且唯一。ln32时X落入区间（1，3）的概率最大。ln3设在一段时间内进入某一商店的顾客人数X听从泊松散布P（λ），每个顾客购买某种物件的概率为p，而且各个顾客可否购买该种物件互相独立，求进入商店的顾客购买这类物件的人数Y的散布律.m【解】P(Xm)e,m0,1,2,Lm!设购买某种物件的人数为Y，在进入商店的人数X=m的条件下，Y~b(m,p)，即P(Yk|Xm)Ckmpk(1p)mk,k0,1,L,m由全概率公式有P(Yk)P(Xm)P(Yk|Xm)mkemgCmkpk(1p)mkmkm!mpk(1p)mkemkk!(mk)!e(p)k[(1p)]mkk!(mk)!mk(p)kee(1p)k!(p)kep,kLk!0,1,2,此题说明：进入商店的人数听从参数为λ的泊松散布，购买这类物件的人数仍听从泊松散布，但参数改变成λp.设随机变量X听从参数为2的指数散布.证明：Y=1?e?2X在区间（0，1）上听从平均散布.【证】X的密度函数为2e2x,x0fX(x)0,x0因为P（X>0）=1，故0<1?e?2X<1，即P（0<Y<1）=1当y≤0时，FY（y）=0当y≥1时，FY（y）=1当0<y<1时，FY(y)P(Yy)P(e2x1y)P(X1ln(1y))12y)ln(12x22edxy0即Y的密度函数为1,0y1fY(y)

0,其余即Y~U（0，1）设随机变量X的密度函数为1,03f(x)=2,390,若k使得P{X≥k}=2/3，求k的取值范围.【解】由P（X≥k）=2知P（X<k）=133若k<0,P(X<k)=0k1k1若0≤k≤1,P(X<k)=dx3303当k=1时（<）=1311k0dx若1≤k≤3时P（X<k）=dx03111k2若3<k≤6，则P（X<k）=dxdx0339若k>6,则P（X<k）=1故只有当1≤k≤3时知足P（X≥k）=2.3设随机变量X的散布函数为

1,6,其余.(2000研考)132k119330,x1,0.4,1x1,F(x)=1x3,0.8,1,x3.求X的概率散布.（1991研考）【解】由失散型随机变量X散布律与散布函数之间的关系，可知X的概率散布为X?113P43.设三次独立试验中，事件A出现的概率相等.若已知A最少出现一次的概率为19/27，求A在一次试验中出现的概率.【解】令X为三次独立试验中A出现的次数，若设P（A）=p,则X~b(3,p)由P（X≥1）=19知P（X=0）=（1?p）3=82727故p=1344.若随机变量X在（1，6）上听从平均散布，则方程y2+Xy+1=0有实根的概率是多少？【解】f(x)1,1x650,其余P(X240)P(X2)P(X2)P(X2)45若随机变量X~N（2，σ2），且P{2<X<4}=，则P{X<0}=.【解】0.3P(2X4)P(22X242)2)(0)(20.5()故所以

2( )0.8P(X0)P(X202)(2)1(2)0.2假设一厂家生产的每台仪器，以概率能够直接出厂；以概率需进一步伐试，经调试后以概率能够出厂，以概率定为不合格品不能够出厂.现该厂重生产了n(n≥2)台仪器（假设各台仪器的生产过程互相独立）.求1）所有能出厂的概率α；2）此中恰好有两台不能够出厂的概率β；3）此中最少有两台不能够出厂的概率θ.【解】设A={需进一步伐试}，B={仪器能出厂}，则A={能直接出厂}，AB经调试后能出厂}={由题意知=A∪，且BABP(A)0.3,P(B|A)0.8P(AB)P(A)P(B|A)0.30.80.24P(B)P(A)P(AB)0.70.240.94令X为重生产的n台仪器中能出厂的台数，则X~6（n，）,故P(Xn)(0.94)nP(Xn2)Cn2(0.94)n2(0.06)2P(Xn2)1P(Xn1)P(Xn)1n(0.94)n10.06(0.94)n47.某地抽样检查结果表示，考生的外语成绩（百分制）近似听从正态散布，平均成绩为72分，96分以上的占考生总数的%，试求考生的外语成绩在60分至84分之间的概率.【解】设X为考生的外语成绩，则X~N（72，σ2）0.023P(X96)PX7296721(24)故(24)0.977查表知242,即σ=12进而X~N（72，122）故P(60X84)P6072X728472121212(1)2(1)10.682在电源电压不高出200V、200V~240V和高出240V三种情况下，某种电子元件损坏的概率分别为，和（假设电源电压X听从正态散布N（220，252））.试求：1）该电子元件损坏的概率α;(2)该电子元件损坏时，电源电压在200~240V的概率β【解】设A1={电压不高出200V}，A2={电压在200~240V}，A3={电压高出240V}，B={元件损坏}。由X~N（220，252）知P(A1)P(X200)PX2202002202525(0.8)1(0.8)0.212P(A2)P(200X240)P200220X220240220252525(0.8)(0.8)0.576P(A3)P(X240)10.2120.5760.212由全概率公式有3P(B)P(Ai)P(B|Ai)0.0642i1由贝叶斯公式有P(A2|B)P(A2)P(B|A2)0.009P(B)49.设随机变量X在区间（1，2）上听从平均散布，试求随机变量Y=e2X的概率密度fY(y).1,1x2【解】fX(x)

0,其余因为P（1<X<2）=1,故P（e2<Y<e4）=1当y≤e2时FY（y）=P(Y≤y)=0.当e2<