p05测量误差的基本知识

第五章测量误差基本知识§5.1测量误差概念

§5.2评定精度的标准

§5.3观测值的算术平均值及改正数

§5.4观测值的精度评定§5.5误差传播定律§5.6误差传播定律的应用§5.7加权平均值及其中误差§5.1测量误差概念

测量实践中可以发现，测量结果不可避免的存在误差，比如：1、对同一量多次观测，其观测值不相同。2、观测值之和不等于理论值： 三角形α+β+γ≠180°

闭合水准∑h≠0一、测量误差的来源

同精度观测：观测条件相同的各次观测。不同精度观测：观测条件不相同的各次观测。1.仪器误差2.观测误差3.外界条件的影响观测条件粗差：因读错、记错、测错造成的错误。二、测量误差的分类

在相同的观测条件下，无论在个体和群体上，呈现出以下特性：误差的绝对值为一常量，或按一定的规律变化；误差的正负号保持不变，或按一定的规律变化；误差的绝对值随着单一观测值的倍数而积累。1、系统误差—

误差的大小、符号相同或按一定的规律变化。

例：钢尺—尺长、温度、倾斜改正水准仪—

i角经纬仪—

c角、i角

注意：系统误差具有累积性，对测量成果影响较大。

消除和削弱的方法:

（1）校正仪器；（2）观测值加改正数；（3）采用一定的观测方法加以抵消或削弱。

在相同的观测条件下，对某个固定量作一系列的观测，如果观测结果的差异在正负号及数值上，都没有表现出一致的倾向，即没有任何规律性，这类误差称为偶然误差。2、偶然误差

偶然误差的特性真误差:理论值与观测值之差例对一个角度观测如下:③绝对值相等的正、负误差出现的机会相等，可相互抵消；④同一量的同精度观测，其偶然误差的算术平均值，随着观测次数的增加而趋近于零，即：

①在一定的条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定的限度;（有界性）②绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的机会要多；（密集性、区间性）（抵偿性）

误差处理的原则：1、粗差：舍弃含有粗差的观测值，并重新进行观测。2、系统误差：按其产生的原因和规律加以改正、抵消和削弱。3、偶然误差：根据误差特性合理的处理观测数据减少其影响。返回精度：

又称精密度，指在对某量进行多次观测中，各观测值之间的离散程度。评定精度的标准

中误差容许误差相对误差§5.2评定精度的标准一、中误差

定义在相同条件下，对某量（真值为X）进行n次独立观测，观测值l1，l2，……，ln，偶然误差（真误差）Δ1，Δ2，……，Δn，则中误差m的定义为：式中式中：例：试根据下表数据，分别计算各组观测值的中误差。解：第一组观测值的中误差：第二组观测值的中误差：，说明第一组的精度高于第二组的精度。说明：中误差越小，观测精度越高

定义由偶然误差的特性可知，在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定的限值。这个限值就是容许（极限）误差。

二、容许误差（极限误差）

测量中通常取2倍或3倍中误差作为偶然误差的容许误差；即Δ容=2m或Δ容=3m。极限误差的作用：区别误差和错误的界限。

相对误差K是中误差的绝对值m

与相应观测值D

之比，通常以分母为1的分式来表示，称其为相对（中）误差。即:三、相对误差例已知：D1=100m,m1=±0.01m,D2=200m,m2=±0.01m，求：K1,K2解：§5.3观测值的算术平均值及其改正值观测值精度评定的标准

中误差容许误差相对误差一、算术平均值（最或然值）

是指对某未知量进行n次同精度观测，其观测值分别为，将这些观测值取平均值作为该未知量的最可靠的数值。二、观测值中误差计算1.按观测值的改正值计算中误差a.观测值的改正值的计算观测值的改正值：即算术平均值与观测值之差b.按观测值的改正值计算中误差c.按观测算术平均值的中误差计算（白塞尔公式）例对某一段水平距离观测了6次，试求：例设用经纬仪测量某个角6测回，观测之列于中。试求观测值的中误差及算术平均值中误差。算术平均值中误差是：返回

概念

误差传播定律：阐述观测值的中误差与观测值函数中误差的关系的定律。函数形式倍数函数和差函数线性函数一般函数&5.5误差传播定律设非线性函数的一般式为：式中：为独立观测值；为独立观测值的中误差。求函数的全微分，并用“Δ”替代“d”，得一、一般函数式中：是函数F对的偏导数，当函数式与观测值确定后，它们均为常数。

为了求得函数和观测值之间的中误差关系，假设对进行了k次观测，则上式可写为：

将以上各式等号两边平方，再相加得：将上式两端各除于k，可得：当k值为有限次时，则：即：误差传播定律的一般形式例已知：测量斜边D′=50.00±0.05m，测得倾角α=15°00′00″±30″求：水平距离D中误差mD。解：1.函数式

2.全微分

3.求中误差误差传播定的几个主要公式：函数名称函数式函数的中误差倍数函数和差函数线性函数一般函数返回&5.6误差传播定律的应用

1.列出观测值函数的表达式：

2.对函数式全微分，得出函数的真误差与观测值真误差之间的关系式：式中，是用观测值代入求得的值。

求观测值函数中误差的步骤：三、运用误差传播定律的步骤

3、根据误差传播率计算观测值函数中误差：

注意：在误差传播定律的推导过程中，要求观测值必须是独立观测值。§5.7加权平均值及其中误差1算术平均值 对一个量进行同精度观测n次,假设真值为x，则每一次的真误差为

（3）式是由偶然误差第四特性知道，当观测次数无限增多时，即（算术平均值）说明，n趋近无穷大时，算术平均值即为真值。2算术平均值的中误差如果是同精度观测,每个观测值的中误差都是一样的,根据误差传播定律可得算术平均值的中误差M.说明算术平均值中误差比观测值中误差提高了 倍。一般来说，当n大于20后,提高不明显。算例改正值平均值3加权平均值（1）权的意义同精度观测算术平均值作为最或然值不同精度观测？（2）权的定义（1）对未知量进行了n次的同精度观测，得到l1,l2…,ln1,ln1+1,ln1+2,….Ln1+n2（n=n1+n2

）,（2）现将n个观测值分为两组，第一组有n1个观测值，第二组有n2个观测值。（3）分别求两组的算术平均值，并以L1,L2表示为以观测值的中误差为m，则这两组算术平均值的中误差分别为：从上式可以看出，当n1≠n2时，L1,L2的精度是不同的根据全部同精度观测值求该未知量的最或然值顾及两组的算术平均值公式，得由上式可知，如将L1,L2看成两个不同精度的观测值，则为求被观测值的最或然值时，在本例的情况下，只要考虑求得它们的观测次数n1和n2，代入下式即可为得到不同精度观测值求被观测量的最或然值的一般公式时，可将代入得从上式可见，如果将上式的m2换成另一常数C，并不影响x的值。因此，在测量工作中，令由权的定义式及上式可以看出，

Li的精度越高，即mi越小，而Pi越大，相应的Li在x中的比重就越大；反之，

Li的精度越低，即mi越大，而Pi越小，相应的Li在x中的比重就越小也就是说，Pi值的大小，权衡了观测值Li在x中所占比重的大小，故称Pi为Li的权。得到例已知L1的中误差m1=±3mm，

L2的中误差m2=±4mm，L3的中误差m3=±5mm，求各观测值的权。解：（1）设C=m1=±3mm，则

（2）单位权中误差单位权观测值中误差计算举例：1、已知真值的情况计算中误差

如：对一个三角形内角重复观测5次，观测结果如下：180°00′30″，179°59′36″，180°00′36″，179°59′18″，180°00′48″求观测值中误差。 观测值 真误差△

△△

180°00′12″ ＋12″ 144″179°59′36″ －24 576180°00′30″ ＋30 900179°59′48″ －12 144180°00′06″ ＋06 36理论值:180° 2、不知道真值,求观测值中误差的计算

如对一角度进行4次观测,观测数据如下:

观测值 V VV

502930 －30 90050300000 00503012＋12 144503018 ＋18 324平均值为:50300001368″

距离测量计算举例1：

1往返丈量一段距离，往量得250.015m,返量得250.005m.求这段距离丈量的相对误差?解:D平=250.010m,往返较差m=0.01m,则相对误差K=1/(250.01/0.01)=1/25000距离测量例2:

对一段距离观测了5次,得150.005m、150.008m、150.000m、150.003m、150.006m.试计算这段距离的最或然值、最或然值的中误差、相对中误差、测量一次的中误差？解：(1)5次结果的平均值（即最或然值）：150.0044;(2)改正值v:＋0.6,＋3.6,-4.4,-1.4,＋1.6

(5)K=1/(150/0.00186)=1/80645 (相对中误差)

误差传播定律应用实例1.倍数函数例：在1∶2000地形图上，量得一段距离为23.2cm，其测量中误差±0.1cm，求该段距离的实地长度及中误差。【解】

（1）图上量得的距离对应的实地长度：23.2×2000=464m（2）实地长度的中误差2000×0.1=200cm=2m（3）实地长度：464m±2m观测值与常数乘积的中误差=观测值的中误差×常熟2.和差函数例：在一个直角三角形中，独立丈量了两条直角边a，b，其中误差均为m，试推导由a，b边计算所得斜边c的中误差的公式？【解】（1）斜边的计算公式为，（2）全微分得：（3）应用误差传播定律得：

观测值代数和的中误差平方=各观测值中误差的平方之和当z是一组观测值x1，x2，…xn代数和或差的中误差时，即z=x1±x2

…±

xn，则可得到函数z的中误差平方为：若这些观测值都为同精度观测值时（中误差都为m），则上式将为：总结和回顾:

误差传播定律（线性函数）设t个独立观测值的线性函数则有假若对该组观测值进行n次观测，有将上列n个式子平方后求和，得

其中有误差传播定律（线性函数）两种特殊情况（1）设Z是一组同精度独立观测值的代数和，该组观测值的中误差均为m，即则（2）对某量同精度观测n次，算术平均值为设一次观测的中误差为m,则误差传播定律（非线性函数）设t个独立观测值的非线性函数对该式求全微分，并用真误差代替微分量，有再利用线性函数的误差传播定律公式，可得

误差传播定律在测量上应用举例（1）水准测量的精度设A、B两水准点间的高差h施测了n个测站，则若各测站观测的精度相同，其中误差均为，则。设各测站的S大致相等，A、B间的距离为L，则测站数如果L、S均以千米为单位，则为一千米观测高差的中误差，令

则有误差传播定律在测量上应用举例（2）距离丈量的精度若用长度为l的钢尺量距，连续丈量n个尺段，设全长为D，则设每尺段的量距中误差为则其中是定值，为单位长度的量距中