关于“08高考江苏物理第14题”的解法研究

关于“08高考江苏物理第14题”的解法研究朱建廉南京市金陵中学在每一年的高考试卷中，都会有一些试题能够分别从诸如“试题的背景过程”、“试题的模型特征”、“试题的考查功能”、“试题的表述特色”、“试题的解答方法”等方面引发一线教师们的兴趣。“08年高考江苏物理试卷第14题”就是一道从“试题的解答方法”这一侧面引起了一线教师们的极大关注的试题。本文试图针对这一道极富特色的试题，将其中第（3）小题的相应解答方法作出全方位的研究，期望能够从这样的研究工作中获得一些启示。

试题：在磁感应强度大小为B的水平匀强磁场中，一质量为m、带正电q的小球在O点静止释放，小球的运动轨迹如图1中曲线所示。已知此曲线的最低点的曲率半径为该点到x轴距离的2倍，重力加速度为g。求：（1）小球运动到任意位置P（x，y）处的速率v；（2）小球在运动过程中第一次下降的最大距离ym；（3）当在上述磁场中加一方向竖直向上、场强大小为E（）的匀强电场时，小球从O点静止释放后获得的最大速率vm。

说明：尽管本文只着重研究第（3）小题的解法，但为维持试题表述的连续性，仍将试题完整给出。另外，为维护试题表述的严肃性，将试题的“场强B”、“场强E”等较为随意的表述分别更改为“磁感应强度大小B”、“场强大小E”。下面针对试题第（3）小题的各种解答方法实施研究。1、以“题设条件迁移法”解答

这一方法实际上就是命题组所提供的参考解答。解答中的一个关键步骤是将“加匀强电场前”的一个重要的题设条件直接迁移至“加匀强电场后”而协助试题的解答。故称作“题设条件迁移法”。

解法1（题设条件迁移法）：小球由静止释放后其运动轨迹如图2中曲线所示，考虑到洛仑兹力不做功，故当小球的竖直高度改变量达到最大值|ym|而运动到图2所示的小球运动轨迹最高点处时将获得最大速率vm，由动能定理可得（1-1）设图2所示的小球运动轨迹最高点处的曲率半径为R，则在该处针对小球又可得到相应的动力学方程为（1-2）将加匀强电场前小球运动轨迹最低点处的曲率半径所具备的特征“曲线的最低点的曲率半径为该点到x轴距离的2倍”直接迁移，认为加匀强电场后小球运动轨迹最高点处的曲率半径具备着相同的特征，即（1-3）由此即可解得小球获得的最大速率为（1-4）

分析1：这一解答方法所存在着的问题是：形如（1-3）式所给出的题设条件的直接迁移，对于中学生来说显得过于突然。因为若从中学生的知识局限和思维能力出发，做出如下判断是在情理之中的：高中生知识背景下合乎情理的判断取电场力和重力的合力为等效重力若等效重力与重力的大小不等则应有：（1）等效重力与重力的大小不等——

——竖直高度改变量相同时小球获得的速率不等（2）小球获得的速率不等——

——小球受到的洛仑兹力大小不等（3）小球受到的洛仑兹力大小不等——

——小球的速度方向变化的快慢不一定相同（4）小球速度方向变化快慢不一定相同——

——小球运动轨迹的弯曲程度不一定相同（5）小球运动轨迹的弯曲程度不一定相同——

——其最低点处的曲率半径与竖直高度变化量间的倍数关系就可能发生变化而不再是2倍了。当然，如果将试题中的另一个题设条件（1-5）改为（1-5/）则将由于加上匀强电场后小球所受到的等效重力与加上匀强电场前小球所受到的重力大小相等（1-6）这才能够保证：按照中学生的知识局限和思维能力可以给出形如（1-3）式所示的题设条件的直接迁移表达式。2、以“二次方程判别法”解答之所以将这一方法称作“二次方程判别法”，是因为在这一方法的解答过程中根据相应物理规律列出了关于某一物理量的二次方程后，又充分利用了相应的“二次方程判别式”而协助求解。

解法2（二次方程判别法）：取电场力与重力的合力为所谓的等效重力，即（2-1）在小球由静止释放而运动到图2所示的最高点的过程中运用动能定理可得（2-2）而当小球运动到图2所示的最高点处时又可根据牛顿定律得（2-3）根据（2-3）式整理可得到关于“vm”的二次方程为（2-3/）为保证（2-3/）式所给出的关于“vm”的方程有实根（2-4）由此可解得：小球运动轨迹最高点处的曲率半径为（2-5）在（2-5）式中取小球运动轨迹最高点处的曲率半径的最小值为（2-5/）将（2-5/）式所给出的小球运动轨迹最高点处的曲率半径的取值代入（2-3/）式或（2-3）式即可求得：小球获得的最大速率为（2-6）分析2：这一解法看上去似乎较为简单而未超出中学生的知识背景，但若仔细斟酌便不难发现：形如（2-5/）式所给出的小球运动轨迹最高点处的曲率半径的取值其理由并不充分。若要将小球运动轨迹最高点处的曲率半径为何必须在形如（2-5）式中取其最小值的理由阐述清楚，则必须：先将形如（2-5/）式所给出的小球运动轨迹最高点处的曲率半径的取值代入（2-3/）式或（2-3）式，求得小球获的最大速率如（2-6）式所给出；然后再将形如（2-6）式所给出的小球的最大速率代入（2-2）式，求得小球运动轨迹最高点距x轴的距离为（2-7）最后对照（2-5/）式和（2-7）式，并将“加匀强电场前”的小球运动轨迹最低点处“曲率半径为该点到x轴距离的2倍”的题设条件直接迁移到“加匀强电场后”，这才将小球运动轨迹最高点处的曲率半径为何应在（2-5）式中取其最小值如（2-5/）式所给出的道理说清楚。3、以“微分方程积分法”解答这一解答方法在解答过程中的操作步骤依次为：先列出微分方程；再作变量分离并确定各个变量的积分区域；最后作定积分求解。故称作“微分方程积分法”。

解法3（微分方程积分法）：由于小球在运动过程中受到的重力和电场力均为竖直方向上的恒力，所以其动力学方程在水平方向上的微分表达式应为（3-1）考虑到小球所受到的洛仑兹力的水平分力应为（3-2）联立（3-1）、（3-2）两式并作变量分离，可将小球运动过程中的动力学方程的微分表达形式最终表为（3-3）随着小球从静止释放直至运动到图2所示的轨迹最高点的过程，对应着变量和的积分域分别为（3-4）对形如（3-3）式所给出的微分方程在（3-4）式所给出的积分域内求定积分（3-5）得（3-6）同样考虑到洛仑兹力不做功，故将形如（1-1）式所给出的动能定理与（3-6）式联立，即可解得小球获得的最大速率如（1-4）式所给出。

分析3：这一解答方法回避了形如（1-3）式所给出的题设条件的直接迁移，但所涉及到的数学操作显然又超出了对中学生的相关要求。4、以“动量定理累积法”解法在这一方法的解答过程中，取各个变量对时间的平均值而代入动量定理，把动量定理作为牛顿运动定律对时间的累积规律应用于解答过程。故称作“动量定理累积法”。解法4（动量定理累积法）：设小球由静止释放后经时间t运动到图2所示的轨迹最高点而获得最大速率vm，并设在这一过程中小球所受到的洛仑兹力的水平分力、小球沿竖直方向的分速度等物理量对时间的平均值分别为和，则由动量定理可得（4-1）其中，洛仑兹力的水平分力的对时间平均值为（4-2）而小球在这段时间内竖直高度的改变量为（4-3）仍然考虑到洛仑兹力不做功，故将形如（1-1）式所给出的动能定理与（4-1）、（4-2）、（4-3）等式联立，即可解得小球获得的最大速率仍如（1-4）式所给出。分析4：借助于动量定理而作累积的解答方法，一方面其实质是上述积分方法的“初等表述”，另一方面也是对未选“3-5”模块的考生的一种极大的不公平。5、以“运动等效分解法”解答这一种解答方法的关键在于：假设小球在静止释放时同时具备着两个大小相等、方向相反的速度，从而在这一假设的基础上将小球实际所作的复杂运动等效分解为两个较为简单的运动以便于解答。故称作“运动等效分解法”。

解法5（运动等效分解法）：设在小球静止释放时同时具备着两个大小均为v0、方向分别沿x轴正方向和x轴负方向的速度如图3所示，并使与沿x轴负方向的速度所对应的洛仑兹力与重力和电场力的合力平衡，即（5-1）这样就可将小球的实际运动等效分解为两个较为简单的分运动，即：以所假设的速度v0沿x轴负方向作匀速直线运动；以所假设的速度v0沿逆时针方向作匀速圆周运动。当其中作匀速圆周运动的分运动恰好经历半个周期时，对应着小球恰好运动到如图4所示的运动轨迹的最高点处，图中相切于小球运动轨迹最高点处的两个圆分别是：小球的一个分运动的瞬时轨迹圆（小圆）和小球运动轨迹最高点处的曲率圆（大圆）。此时两个分运动的速度v0也恰好调整为同方向，所以小球运动过程中所获得的最大速率应为（5-2）联立（5-1）、（5-2）两式，即可解得小球获得的最大速率如（1-4）式所给出。

分析5：针对小球的复杂运动而作等效分解的解答方法妙则妙矣，但所存在着的问题有如下两点：第一，这种方法对考生的思维能力的如此高的要求是否就是命题组在主观上设定的相应考查功能呢？第二，针对如此复杂的运动实施这种分解方法的理论依据是在中学物理教学要求的范畴之内的吗？6、以“轨迹参数方程法”解答针对问题的最为彻底的解答方法就是将小球运动的轨迹定量给出，而将小球运动的轨迹定量给出的较为便利的形式是“以运动时间t为参量”而给出小球运动坐标x、y的“参数方程”。故称作“轨迹参数方程法”。

解法6（轨迹参数方程法）：为了表述方便，将图4中的坐标轴旋转1800而如图5所示，在此坐标系内，小球运动过程中沿水平方向和竖直方向上的动力学方程的微分表达式分别为（6-2）（6-1）注意到（6-4）（6-3）由此可解得：小球运动轨迹的参数方程为（6-6）（6-5）同时亦可得到小球运动过程中水平分速度和竖直分速度随时间变化的函数分别为（6-8）（6-7）注：形如（6-5）~（6-8）四式的获得较繁琐，参见附录。而所求的小球的最大速率vm应该为小球运动到图5所示的轨迹最高点处时的最大水平分速度，即（6-9）由（6-7）、（6-9）两式即可求得小球获得的最大速率如（1-4）式所给出。分析6：最终给出小球运动轨迹的参数方程如（6-5）、（6-6）式所示，这一解答应该算得上对小球的运动情况了解得足够充分了。但从相应的数学操作上看，仍不适合用于考察中学生。

结论：上述各种解答方法的研究及相关分析表明：“08高考江苏物理试卷第14题”的第（3）小题实际上不适合用于考察中学生。如欲坚持作为考题，相应的试题表述应作适当的修改，而修改方案可以有如下三种：

方案2：在第（3）小题的表述中明确表达：形如（1-3）式的题设条件仍成立。

方案1：即如前文所提及的将形如（1-5）式的题设条件改为（1-5/）式，以保证考生能够在（1-6）式成立的条件下顺利实现形如（1-3）式的题设条件的迁移。

方案3：将相应的题设条件表述充分而将试题题干及第（3）小题的表述修改为

试题表述变例1：在磁感应强度大小为B的水平匀强磁场中，一质量为m、带正电q的小球在O点静止释放，小球的运动轨迹如图（与原题图同，这里不重复给出）中曲线所示。小球由静止释放后其受力具备着如下特征：受到的两个力一个是大小、方向均恒定的重力，另一个则是大小总与速率成正比、方向总与速度方向垂直的洛仑兹力。正因为小球运动初状态和运动过程中受力具备了上述特征，所以其运动轨迹的最低点处曲率半径恰为该点到x轴距离的2倍。若重力加速度大小为g，求：（前两小题的表述略去）（3）当在上述磁场中加上一个方向竖直向上、场强大小为E，（）的匀强电场时，小球从O点静止释放后获得的最大速率vm。

试题表述变例2：在场强为B的水平匀强磁场中，一质量为m、带正电q的小球在O点静止释放，小球的运动曲线如图1所示。重力加速度为g。求：（1）小球运动到任意位置P（x，y）处的速率v；（2）小球在运动过程中第一次下降的最大距离ym；