线段的垂直平分线

关于线段的垂直平分线第一页，共三十二页，2022年，8月28日AB线段的垂直平分线PA=PBP1P1A=P1B……命题：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等。PMNC动手操作：作线段AB的中垂线MN，垂足为C；在MN上任取一点P，连结PA、PB；量一量：PA、PB的长，你能发现什么？由此你能得到什么规律？第二页，共三十二页，2022年，8月28日证明:∵MNAB（已知）∴PCA=PCB(垂直的定义)在PCA和PCB中,AC=CB(已知),PCA=PCB(已证)PC=PC(公共边)∴PCA≌PCB(SAS)∴PA=PB(全等三角形的对应边相等)ABPMNC命题：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等。PA=PB直线MN⊥AB,垂足为C,且AC=CB.

已知：如图，点P在MN上.求证：第三页，共三十二页，2022年，8月28日性质定理：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等。线段的垂直平分线ABPMNCPA=PB点P在线段AB的垂直平分线上线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等第四页，共三十二页，2022年，8月28日ABCMNP当点P与点C重合时,上述证明有什么缺陷?PCA与PCB将不存在.PA与PB还相等吗?相等!此时,PA=CA,PB=CB已知AC=CB∴PA=PB第五页，共三十二页，2022年，8月28日

线段的垂直平分线ABPC性质定理：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等。PA=PB点P在线段AB的垂直平分线上?逆命题：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。第六页，共三十二页，2022年，8月28日ABPC已知:线段AB,且PA=PB求证:点P在线段AB的垂直平分线MN上.

过点P作PCAB垂足为C.在RtPCA和RtPCB中PA=PB，PC=PC∴PCA≌PCB(HL)∴ＡＣ＝ＢＣ∴PC是线段AB的垂直平分线.即点P在线段AB的垂直平分线MN上.证明:第七页，共三十二页，2022年，8月28日和一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上.逆定理第八页，共三十二页，2022年，8月28日ABCMN第九页，共三十二页，2022年，8月28日CABMN第十页，共三十二页，2022年，8月28日和线段两个端点距离相等的所有点的集合.线段的垂直平分线可以看作是第十一页，共三十二页，2022年，8月28日如图，△ABC中，边AB、BC的垂直平分线交于点O。（1）求证：OA=OB=OC。（2）点O是否也在边AC的垂直平分线上呢？由此你能得出什么结论？A0CB证明：∵点O在线段AB的垂直平分线上∴OA=OB∵点O在线段BC的垂直平分线上∴OB=OC∴OA=OB∴点O在线段AC的垂直平分线上结论：三角形三边垂直平分线交于一点，这一点到三角形三个顶点的距离相等。第十二页，共三十二页，2022年，8月28日

泰安市政府为了方便居民的生活，计划在三个住宅小区A、B、C之间修建一个购物中心，试问，该购物中心应建于何处，才能使得它到三个小区的距离相等。ABC实际问题1第十三页，共三十二页，2022年，8月28日BAC线段的垂直平分线1、求作一点P，使它和△ABC的三个顶点距离相等.实际问题数学化pPA=PB=PC实际问题1第十四页，共三十二页，2022年，8月28日

高速公路AB

在某高速公路L的同侧，有两个工厂A、B，为了便于两厂的工人看病，市政府计划在公路边上修建一所医院，使得两个工厂的工人都没意见，问医院的院址应选在何处？你的方案是什么?生活中的数学L第十五页，共三十二页，2022年，8月28日1.在△ABC中，∠ACB=90°，AB=8cm，BC的垂直平分线DE交AB于D点,则CD=____

4cm

2、在△ABC,PM,QN分别垂直平分AB,AC，则:(1)若BC=10cm则△APQ的周长=_____cm;(2)若∠BAC=100°则∠PAQ=______.10200第十六页，共三十二页，2022年，8月28日

3、在△ABC中，AB=AC，AB的中垂线与AC所在的直线相交所得的锐角为50°，则∠B=______.

700或200第十七页，共三十二页，2022年，8月28日证明:连结BC.∵AB＝AC(已知)，∴A点在线段BC的垂直平分线上(垂直平分线性质定理)同理，D点也在线段BC的垂直平分线上.∵两点确定一条直线，∴直线AD是线段BC的垂直平分线.∵E是AD延长线上一点(已知)，∴BE＝CE(垂直平分线性质定理)例1

已知：如图，AB＝AC，DB＝DC，

E是AD延长线上一点.

求证：BE＝CE.DCEBA第十八页，共三十二页，2022年，8月28日证明：连结MA.∵MN垂直平分线AB(已知)，∴BM＝AM(垂直平分线性质定理)∴∠B＝∠MAB(等角对等边).∵AB＝AC(已知)，∴∠B＝∠C(等边对等角).∵∠BAC＝120°，∴∠B＝∠C＝30°(三角形内角和定理).∴∠CAM＝∠CAB—∠MAB＝90°.∴AM＝CM(直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半).∴CM＝2BM.例2已知：如图，在△ABC中，∠A＝120°，

AB＝AC，MN垂直平分AB分别交BC、

AB于M、N.

求证：CM＝2BM.ABCMN第十九页，共三十二页，2022年，8月28日例3已知：如图，AD是△ABC的角平分线，

DE⊥AB于E，DF⊥AC于F.

求证：AD垂直平分EF.证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F(已知)，∴∠AED＝∠AFD=90。，

DE＝DF(角平分线上的点到这个角的两边距离相等).∴D点在线段EF的垂直平分线上(垂直平分线性质定理).在Rt⊿AFD和Rt⊿AED中AD=AD(公共边）DE=DF（已证）∴AFD≌AED(HL)∴AF=AE∴A点在线段EF的垂直平分线上(垂直平分线性质定理).∴AD垂直平分EF.ABCDEF第二十页，共三十二页，2022年，8月28日4。如图,CD、EF分别是AB、BC的垂直平分线.请你指出图中相等的线段有哪些?AD=BDCF=BFAC=BCCE=BE123CF=DF即:BF=CF=DFACEBFD第二十一页，共三十二页，2022年，8月28日证明题:5.已知:如图,线段CD垂直平分AB,AB平分CAD.求证:AD∥BC.ABCDO123证明:∵线段CD垂直平分AB(已知)∴CA=CB(线段垂直平分线的性质定理)∴1=3(等边对等角)又∵AB平分CAD(已知)∴1=2(角平分线的定义)∴2=3(等量代换)∴AD∥BC(内错角相等,两直线平行)第二十二页，共三十二页，2022年，8月28日挑战自我驶向胜利的彼岸1.如图,已知AB是线段CD的垂直平分线,E是AB上的一点,如果EC=7cm,那么ED=

cm;如果∠ECD=600,那么∠EDC=

0,.EDABC760第二十三页，共三十二页，2022年，8月28日2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线交斜边AB于D，交BC于E，AB＝7.8，

AC＝3.9，图中角度等于60°的角有()(A)2个(B)3个(C)4个(D)5个(一)选择题：

练习D3．若一个三角形两边的垂直平分线的交点在第三边上，则这个三角形是()(A)锐角三角形(B)钝角三角形

(C)直角三角形(D)任意三角形C第二十四页，共三十二页，2022年，8月28日4．已知：如图，AB＝AC，DB＝DC.

求证：AD所在直线是BC的垂直平分线.(二)解答题：

练习

B

C

A

D

先证明△ABD≌△ACD，再导出∠BAD＝∠CAD，根据等腰三角形性质定理推论1即可证出.第二十五页，共三十二页，2022年，8月28日5.如图,在△ABC中,已知AC=27,AB的垂直平分线交AB于点D,交AC于点E,△BCE的周长等于50,求BC的长.老师期望:做完题目后,一定要“悟”到点东西,纳入到自己的认知结构中去.BAEDC∵AD=BD,DE⊥AB∴EA=EB(线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相等).∵AC=27∴EA+EC=27∴EB+EC=27

∵

EB+EC+BC=50∴BC=23第二十六页，共三十二页，2022年，8月28日例1已知：如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，

ED垂直平分AC交AC于D，交BC于E，∠BAE︰∠BAC＝2︰5.求：∠C的度数.AEDBC【分析】由于ED垂直平分AC，则有EA＝EC，从而∠EAC＝∠C.根据∠BAE︰∠BAC＝2︰5，可设∠BAE＝2k，∠BAC＝5k，则∠EAC＝∠C＝3k.由直角三角形两锐角互余，∠C＋∠BAC＝90°，得3k＋5k＝90°，求出k值即可.【点评】有比例条件的，一般用到设比例系数.第二十七页，共三十二页，2022年，8月28日例2.已知:ABC中,C=90,A=30o,BD平分ABC交AC于D.求证:D点在AB的垂直平分线上.ABCD证明:30o∵C=90o,A=30o(已知)∴ABC=60o(三角形内角和定理)∴A=ABD(等量代换)∴D点在AB的垂直平分线上.(和一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上.)∵BD平分ABC(已知)∴ABD=30o(角平分线的定义)30o∴AD=BD(等角对等边)第二十八页，共三十二页，2022年，8月28日3．已知：