高考冲刺：解析几何综合问题

PAGE高考冲刺：解析几何综合问题编稿：辛文升审稿：孙永钊【高考展望】1.坐标法、曲线的方程与方程的曲线是解析几何的学科基础，应在理解的基础上会应用；2.点、直线、圆、圆锥曲线是解析几何重点研究的基本图形，其方程、几何性质是高中解析几何重点研究的内容，也是高考考查的重点；3.几何性质与方程的对应关系是正确理解解析几何问题的关键，也是正确解决解析几何问题的关键；4.数形结合的数学思想方法是解决解析几何的根本方法，是解决解析几何综合问题的基本思路.【知识升华】知识点一：曲线的方程和方程的曲线的关系一般地，在直角坐标系中，如果某曲线（看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹）上的点与一个二元方程的实数解建立了如下的关系：（1）曲线上所有点的坐标都是方程的解；（2）以方程的解为坐标的点都在曲线上.那么，方程叫做曲线的方程；曲线叫做方程的曲线.知识点二：求曲线的方程1.坐标法的定义：在直角坐标系中，用坐标表示点，把曲线看成满足某种条件的点的集合或轨迹，用曲线上点的坐标（x，y）所满足的方程表示曲线，通过研究方程的性质间接地来研究曲线的性质.这就是坐标法.2.坐标法求曲线方程的步骤：建系→设点→点满足的几何条件坐标化→整理化简成最简形式→证明（可省略，但必须删去增加的或者补上丢失的解）3．求轨迹方程的常用方法：直接法、定义法、代入法、参数法等。【高清课堂：解析几何综合问题369357知识要点】知识点三：有关圆锥曲线综合题类型(1)求圆锥曲线方程一般求已知曲线类型的曲线方程问题，可采用“先定形，后定式，再定量”的步骤：定形——指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置，如果位置不确定时，考虑是否多解。此时注意数形结合，在图形上标出已知条件，检查轴上的点、垂直于轴的直线的位置是否准确等。定式——根据“形”设方程的形式，注意曲线系方程的应用，如当椭圆的焦点不确定在哪个坐标轴上时，可设方程为mx2+ny2=1(m＞0,n＞0)定量——由题设中的条件找到“式”中特定系数的等量关系，通过解方程得到量的大小。此处注意n个未知数，列够n个独立的方程，并注意“点在线上”条件及韦达定理的使用。要点诠释：求指定的圆锥曲线的方程是高考命题的重点，主要考查学生识图、画图、数形结合、等价转化、分类讨论、逻辑推理、合理运算及创新思维能力，解决好这类问题，除要求同学们熟练掌握好圆锥曲线的定义、性质外，命题人还常常将它与对称问题、弦长问题、最值问题等综合在一起命制难度较大的题，解决这类问题常用定义法和待定系数法(2)求取值范围或最值①函数方法将待求范围参数表示为另一个变量的函数，注意求函数的定义域。②方程与不等式组n个未知数，列够n个独立方程或不等式，注意归纳总结列不等式的方法：③利用几何性质求参数范围；④利用不等式性质(结合几何性质)求参数范同．知识点四：解析几何问题中，解决运算问题的几点措施：解析几何图形结构、问题结构多，且易于发散，一旦形成为图形或知识点的综合，往往最具运算量、最为繁难复杂．因此，有时即便是明确了解法甚至较细的步骤，解题过程当中也常常被卡住，算不到底、算不出正确结果也是常有的事。因此，如何解决运算量问题，对于解题成功与否至关重要．解决运算问题，可以有以下措施：(1)不断提高运算和恒等变形能力。注意培养观察问题、分析问题、转化问题、解决问题的能力，避免思维定势，提高思维灵活性；具体审题中多收集些信息，综观全局，权衡利弊，再决定解题策略；加强训练运算基本功，不断提高恒等变形的能力．(2)善于运用平面几何性质来解题问题。解题处理方式不同，可能繁简大相径庭，若考虑问题的几何特征，充分利用图形几何性质，对于解决运算量会大有裨益，这一点对于圆锥曲线综合题的处理很重要．(3)注意解析法与各种数学方法结合。当所求点的坐标直接解决有困难时，往往引进参数或参数方程起到解决问题的桥梁作用，引进合适的参数，进行设而不求的计算方式，在解析几何中是普遍的，但应注意不断积累消参经验；相应元替换法也是常用的策略．【典型例题】类型一：解析几何中最值问题例1.设椭圆的中心在原点,焦点在轴上,离心率.已知点到这个椭圆上的点的最远距离为,求这个椭圆方程.并求椭圆上到点P的距离等于的点的坐标.【解析】设椭圆方程为,为椭圆上的点,由得若,则当时最大,即,,故矛盾.若时,时,所求方程为把代入，求得M的坐标是(─,─)或(,─).举一反三：【变式1】定长为3的线段，其两端点在抛物线上移动，设中点为，求点到轴的最短距离，并求此时点的坐标.【解析一】作准线:，过、、分别作,、,垂足、、，且交轴于，连结、.∴当线段过焦点时，，此时.此时设过焦点的直线的方程为（），则由消去得即解得∴故当时，点到轴最短距离为.【解析二】设、、，则(1)+(2)得，由(3)有…………(5)(3)2-(5)得…………(6)∵，∴即∴∴（当且仅当即时，且）.例2.(2015山东高考)(本小题满分13分)平面直角坐标系xOy中,已知椭圆：（）的离心率为，左、右焦点分别为F1,F2,以F1为圆心以3为半径的圆与以F2为圆心以1为半径的圆相交,且交点在椭圆C上.(1)求椭圆C的方程.(2)设椭圆E：,P为椭圆C上任意一点,过点P的直线y=kx+m交椭圆E于A,B两点,射线PO交椭圆E于点Q.(ⅰ)求的值;(ⅱ)求△ABQ面积的最大值.【思路点拨】(1)由离心率e和2a=r1+r2可求a,b,c.(2)将直线y=kx+m与椭圆E和椭圆C联立消y,再根据二次方程根与系数的关系求解面积的最大值.【解析】(1)因为两圆的公共点在椭圆C上,所以2a=3+1=4,a=2.又因为椭圆C的离心率为,所以即椭圆C的方程为..(2)(ⅰ)椭圆E：.设是椭圆C上任意一点，则.直线：与椭圆E：联立消得，所以.即.(ⅱ)因为点在直线上，所以，点到直线的距离为.将与联立消得，由可得.=1\*GB3①设，则，所以.直线y=kx+m与y轴交点为(0,m),所以△OAB面积，令，则.将与联立消得，由可得.=2\*GB3②由=1\*GB3①=2\*GB3②可知，因此（当且仅当即时取得最大值），注意到，所以.即的面积的最大值为.举一反三：【变式1】(2015天津高考)(本小题满分14分)已知椭圆(a>b>0)的左焦点为F(-c,0),离心率为,点M在椭圆上且位于第一象限,直线FM被圆x2+y2=QUOTEb24截得的线段的长为c,|FM|=QUOTE433.(1)求直线FM的斜率.(2)求椭圆的方程.(3)设动点P在椭圆上,若直线FP的斜率大于2,求直线OP(O为原点)的斜率的取值范围.【解析】(1)由已知有=QUOTE13,又由a2=b2+c2,可得a2=3c2,b2=2c2.设直线FM的斜率为k(k>0),则直线FM的方程为y=k(x+c).由已知,有+,解得k=QUOTE33.(2)由(1)得椭圆方程为,直线FM的方程为两个方程联立,消去y,整理得3x2+2cx-5c2=0,解得x=-QUOTE53c,或x=c.因为点M在第一象限,可得M的坐标为(c,QUOTE233c).有解得c=1,所以椭圆的方程为.(3)设点P的坐标为(x,y),直线FP的斜率为t,得t=QUOTEyx+1,即y=t(x+1)(x≠-1),与椭圆方程联立消去，整理得.又由已知，得，解得-QUOTE32<x<-1,或-1<x<0.设直线OP的斜率为m,得m=,即y=mx(x≠0),与椭圆方程联立,整理可得m2=QUOTE2x2-QUOTE23.①当x∈(-QUOTE32,-1)时,有y=t(x+1)<0,因此m>0,于是m=,得m∈(QUOTE23,QUOTE233).②当x∈(-1,0)时,有y=t(x+1)>0,因此m<0,于是m=-QUOTE2x2-23,得m∈(-∞,-QUOTE233).综上,直线OP的斜率的取值范围是(-∞,-QUOTE233)∪(QUOTE23,QUOTE233).类型二：有关对称的问题例3.已知直线过坐标原点，抛物线的顶点在原点，焦点在轴的正半轴上，若点、关于直线的对称点都在上.求直线与抛物线的方程.【解析】设:(且),:()又设关于的对称点，则由得∴，即………(1)又设关于的对称点,则由得∴，即………(2)由(1),(2)知：，故直线：,抛物线：.举一反三：【变式1】已知抛物线上永远有关于直线对称的相异两点，求实数的取值范围.【解析一】令相异两点为、,（），令线段的中点为,则，，，由，相减得，.∵点在抛物线开口内，∴即故.【解析二】设关于直线对称的两点为、，直线，由，消去有：.∴，令线段的中点为,则，，∵点在直线上∴又∵,∴,∴，故.【变式2】试确定的取值范围，使得椭圆上有不同两点关于直线对称【解析】设椭圆上以为端点的弦关于直线对称，且中点为椭圆内的点从而有由(1)-(2)得∴由由在直线上从而有类型三：求轨迹（轨迹方程）【高清课堂：解析几何综合问题369357例4】例4.在平面直角坐标系xOy中，点B与点A（-1,1）关于原点O对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于.(Ⅰ)求动点P的轨迹方程；(Ⅱ)设直线AP和BP分别与直线x=3交于点M,N，问：是否存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由。【解析】（I）因为点B与A关于原点对称，所以点得坐标为.设点的坐标为由题意得化简得.故动点的轨迹方程为（II）若存在点使得与的面积相等，设点的坐标为则.因为,所以所以即，解得因为，所以故存在点使得与的面积相等，此时点的坐标为.举一反三：【变式1】已知定点A(2，0)和圆x2+y2=1上的动点Q，∠AOQ的平分线交AQ于P点(O为坐标原点)，求动点P的轨迹方程.【解析】(如图)由三角形内角平分线定义：设P(x，y)，Q(x1，y1)则∵点Q在圆上，化简得：即为P点的轨迹方程.例5.已知定点A（0，1），B（0，-1），C（1，0）．动点P满足：.（1）求动点P的轨迹方程，并说明方程表示的曲线类型；（2）当时，求的最大、最小值．【解析】（1）设动点坐标为，则，，．因为，所以．．若，则方程为，表示过点（1，0）且平行于y轴的直线．若，则方程化为．表示以为圆心，以为半径的圆．（2）当时，方程化为，因为，所以．又，所以．因为，所以令，则．所以的最大值为，最小值为．【总结升华】求动点的轨迹，首先要分析形成轨迹的点和已知条件的内在联系，选择最便于反映这种联系的坐标形式，建立等式，利用直接法或间接法得到轨迹方程.举一反三：【变式1】设椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，A是椭圆上的一点，AF2⊥F1F2，原点O到直线AF1的距离为(Ⅰ)证明(Ⅱ)设Q1,Q2为椭圆上的两个动点，OQ1⊥OQ2，过原点O作直线Q1Q2的垂线OD，垂足为D，求点D的轨迹方程.【解析】(Ⅰ)证法一：由题设AF2⊥F1F2及F1(-c,0),F2(c,0)，不妨设点A(c,y)，其中y>0，由于点A在椭圆上，有解得，从而得到直线AF1的方程为，整理得b2x-2acy+b2c=0由题设，原点O到直线AF1的距离为将c2=a2-b2代入上式并化简得a2=2b2，即证法二：同证法一，得到点A的坐标为过点O作OB⊥AF1，垂足为B，易知△F1BO∽△F1F2A，故由椭圆定义得所以解得(Ⅱ)设点D的坐标为(x0，y0)当y0≠0时，由OD⊥Q1Q2知，直线Q1Q2的斜率为，所以直线Q1Q2的方程为点Q1(x1,y1),Q2(x2,y2)的坐标满足方程组将(1