建模训练第一讲概论初等模型

建模训练第一讲概论初等模型第一页，共四十三页，2022年，8月28日课程的作用课程的目的课程的特点课程安排第二页，共四十三页，2022年，8月28日课程的作用数学建模是利用数学工具解决实际问题的主要手段，促进计算机和数学软件在实际问题中的应用，成为本科生、硕士生和博士生的必须掌握的基本技能。在设计研究单位和工业部门，数学建模已被广泛地用于研究和解决各种具体的工程问题。可以预见，数学建模将在我国科学研究和工程应用中发挥越来越大的作用。第三页，共四十三页，2022年，8月28日通过本课程的学习，了解、熟悉、掌握数学建模的基本方法熟练使用MATLAB的基本编程方法，并具有初步的利用计算机处理、解决实际问题的能力，为进一步学习后续的专业课程做好准备。本课程的目的本课程的特点（FeaturesofThisCourse

）

交叉性课程，是计算机技术、数学理论知识以及诸多工程理论知识的综合。实践性课程。内容多，课时少，要求同学上课认真听讲，要充分利用上机实践消化、理解、掌握课上讲解内容。参加数学建模竞赛。中国数学建模竞赛，每年9月进行，用时3天。美国数学建模竞赛，每年2月进行，用时4天。去年举行了首届全校数学建模竞赛。数学建模竞赛3人一组，进行分工合作，最后以论文的形式上交结果。

公共信箱：jianmoshiyanke@126.com文件中心卓越建模训练密码：math2013第四页，共四十三页，2022年，8月28日课程安排课堂教学：（18周周四下午；周五下午；周六上午；周日上午；19周周一下午）上机试验：（19周周五下午2点开始；20周周一全天；周二全天；周三全天下午4：00。地点：物理实验楼十楼数学建模实验室）学习成绩：

1)上机实验平时纪律占10%

2)考勤10%

3)大作业80%（严禁抄袭）主要参考书《精通MATLAB6.5》张志涌等编著，北航出版，2003年《数学模型》姜启源等著，高等教育出版社，2004年《数学模型与数学建模》刘来福主编，北京师范大学出版社，2009《数学建模算法与程序》司守奎主编，（电子版）第五页，共四十三页，2022年，8月28日第一讲数学模型概论及初等模型1.数学模型与数学建模2.数学建模的一般步骤3.数学模型的分类4.初等模型第六页，共四十三页，2022年，8月28日数学是什么？数学有没有用？数学不是没有用，而是不够用现有的数学方法不能解决所有实际问题在专业研究中遇到很多数学问题而受阻怎么用？解决实际问题数学模型

第七页，共四十三页，2022年，8月28日1.数学模型与数学建模数学模型（MathematicalModel）是用数学符号、数学公式、程序、图形等对实际问题本质属性的抽象而又简洁的刻划，它或能解释某些客观现象，或能预测未来的发展规律，或能为控制某一现象的发展提供某种意义下的最优策略或较好策略数学建模（MathematicalModeling）应用知识从实际问题中抽象、提炼出数学模型的过程

第八页，共四十三页，2022年，8月28日数学模型早就知应用题甲乙两地相距750公里，船从甲到乙顺水航行需30小时，从乙地到甲逆水航行需50小时，问航速，水速各多少？物理题

从平静湖面的小船上仍一块石头至水中，湖面是上涨还是下降？

第九页，共四十三页，2022年，8月28日你碰到过的数学模型——“航行问题”用x

表示船速，y表示水速，列出方程：答：船速每小时20千米.甲乙两地相距750公里，船从甲到乙顺水航行需30小时，从乙到甲逆水航行需50小时，问船的速度是多少?x=20y=5求解第十页，共四十三页，2022年，8月28日航行问题建立数学模型的基本步骤作出简化假设（船速、水速为常数）；用符号表示有关量（x,y表示船速和水速）；用物理定律（匀速运动的距离等于速度乘以时间）列出数学式子（二元一次方程）；求解得到数学解答（x=20,y=5）；回答原问题（船速每小时20千米）.第十一页，共四十三页，2022年，8月28日数学模型无处不在

分析与设计

预报与决策

控制与优化

规划与管理数学建模计算机技术知识经济如虎添翼第十二页，共四十三页，2022年，8月28日（1）打水问题

每天下午5:00至5:30之间开水房的拥塞想必让每个人都深有感触，偏偏这个时候还有一些人喜欢一个人还占几个龙头，不等不让人怒火中烧，对每个人来讲，最好的方法当然是在不违反排队顺序的前提喜爱尽可能早地接触龙头。事实上大家也基本上是这样做的。在高峰时期，霸占多个龙头的人就算不遭到语言的谴责也会遭到目光的谴责。第十三页，共四十三页，2022年，8月28日打水问题（事实如我们所想吗？）

假设现在有2个水龙头，10个人来打水，每个人拎着两个壶，每打一壶要1分钟。方法A：经验方法。这样，当有两人等待时，两个人各用一个龙头，为将10个人打满，总共的等待时间是：2*(2+4+6+8+10)=60分钟方法B：每次分配水龙头时都优先满足最前面的人。这样，当有两人等待时，第一个人先用两个龙头，等他打完了第二个人再用。这种方法下总的等待时间是：1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55分钟

推广：相同任务量的并行队列第十四页，共四十三页，2022年，8月28日（2）歌德斯堡七桥问题

18世纪，德国东普鲁士的首府哥德斯堡是一座景色迷人的城市，普莱格尔河横贯城区，使这座城市锦上添花，显得更加风光旖旋。这条河有两条支流，在城中心汇成大河，在河的中央有一座美丽的小岛。河上有七座各具特色的桥把岛和河岸连接起来。能不能既不重复又不遗漏地一次相继走遍这七座桥？第十五页，共四十三页，2022年，8月28日

2.数学建模的一般步骤模型准备模型假设模型建立模型求解模型分析模型检验模型应用模型准备了解实际背景明确建模目的搜集有关信息掌握对象特征形成一个比较清晰的‘问题’第十六页，共四十三页，2022年，8月28日模型假设针对问题特点和建模目的作出合理的、简化的假设在合理与简化之间作出折中模型建立用数学的语言、符号描述问题发挥想像力使用类比法尽量采用简单的数学工具数学建模的一般步骤第十七页，共四十三页，2022年，8月28日模型求解各种数学方法、软件和计算机技术如结果的误差分析、统计分析、模型对数据的稳定性分析模型分析模型检验与实际现象、数据比较，检验模型的合理性、适用性模型应用数学建模的一般步骤第十八页，共四十三页，2022年，8月28日例1包汤圆（饺子）问题

通常，1公斤面，1公斤馅，包100个汤圆（饺子）今天，1公斤面不变，馅多于1公斤，问多包几个（小一点），还是少包几个（大一些）？问题：圆面积为S的一个皮，包成体积为V的汤圆，若分成n个皮，每个圆面积为s，包成的体积为v第十九页，共四十三页，2022年，8月28日包汤圆（饺子）问题第二十页，共四十三页，2022年，8月28日背景年1625183019301960197419871999人口(亿)5102030405060世界人口增长概况中国人口增长概况年19081933195319641982199019952000人口(亿)3.04.76.07.210.311.312.013.0研究人口变化规律控制人口过快增长例2如何预报人口的增长第二十一页，共四十三页，2022年，8月28日指数增长模型——马尔萨斯提出(1798)常用的计算公式x(t)~时刻t的人口基本假设

:人口(相对)增长率r

是常数今年人口x0,年增长率rk年后人口随着时间增加，人口按指数规律无限增长与常用公式的一致第二十二页，共四十三页，2022年，8月28日指数增长模型的应用及局限性与19世纪以前欧洲一些地区人口统计数据吻合.适用于19世纪后迁往加拿大的欧洲移民后代.可用于短期人口增长预测.不符合19世纪后多数地区人口增长规律.不能预测较长期的人口增长过程.19世纪后人口数据人口增长率r不是常数(逐渐下降)第二十三页，共四十三页，2022年，8月28日阻滞增长模型(Logistic模型)人口增长到一定数量后，增长率下降的原因：资源、环境等因素对人口增长的阻滞作用,且阻滞作用随人口数量增加而变大假设r~固有增长率(x很小时)xm~人口容量（资源、环境能容纳的最大数量）r是x的减函数第二十四页，共四十三页，2022年，8月28日dx/dtx0xmxm/2xmtx0x(t)~S形曲线,x增加先快后慢x0xm/2阻滞增长模型(Logistic模型)第二十五页，共四十三页，2022年，8月28日参数估计用指数增长模型或阻滞增长模型作人口预报，必须先估计模型参数r或r,xm.根据统计数据利用线性最小二乘法作拟合阻滞增长模型(Logistic模型)例：美国人口数据(百万)

186018701880……1960197019801990200031.438.650.2……179.3204.0226.5251.4281.4tx数据(t,x)数据(x,y)用最小二乘法估计r,sr,xm第二十六页，共四十三页，2022年，8月28日模型检验用模型计算2000年美国人口误差不到3%阻滞增长模型(Logistic模型)r=0.2557,xm=392.1用美国1860~1990年数据(去掉个别异常数据)与实际数据(2000年为281.4)比较1790年为零点=274.5第二十七页，共四十三页，2022年，8月28日Logistic模型的应用模型应用加入2000年人口数据后重新估计模型参数r=0.2490,xm=434.0x(2010)=306.0预报美国2010年的人口经济领域中的增长规律(耐用消费品的售量).种群数量模型(鱼塘中的鱼群,森林中的树木).预报人口的增长指数增长模型阻滞增长模型参数估计和模型检验是建模的重要步骤.线性最小二乘法是参数估计的基本方法.修改假设第二十八页，共四十三页，2022年，8月28日3.数学模型分类第二十九页，共四十三页，2022年，8月28日4.课程目标与知识准备能力的培养观察能力，分析能力，归纳能力和数据处理能力在尽可能短的时间内查到并学会你想要用的知识的本领（百度，图书馆）学有所用，增强兴趣和信心学习方法：多思考分析，多实践，上机实习禁止游戏

数学知识数学分析，代数，几何，概率统计，优化等软件使用matlab，lingo，c++等第三十页，共四十三页，2022年，8月28日第二部分初等模型研究对象的机理比较简单，一般用静态、线性、确定性模型描述就能达到建模的目的录像机计数器的用途汽车刹车距离

第三十一页，共四十三页，2022年，8月28日问题在一次使用中录像带已经转过大半，计数器读数为4450，问剩下的一段还能否录下1小时的节目？要求不仅回答问题，而且建立计数器读数与录像带转过时间的关系.思考计数器读数是均匀增长的吗？

录像机计数器的用途经试验，一盘标明180分钟的录像带从头走到尾，时间用了184分，计数器读数从0000变到6061.观察计数器读数增长越来越慢！第三十二页，共四十三页，2022年，8月28日录像机计数器的工作原理主动轮压轮0000左轮盘右轮盘磁头计数器录像带录像带运动方向主动轮匀速转动右轮盘半径增大计数器读数增长变慢录像带速度是常数问题分析右轮转速越来越慢第三十三页，共四十三页，2022年，8月28日模型假设录象带的运动速度是常数v

；计数器读数n与右轮转数m成正比，记m=kn；录象带厚度（加两圈间空隙）为常数w；空右轮盘半径记作r

；时间

t=0时读数n=0.建模目的建立时间t与读数n之间的数量关系.（设v,k,w,r为已知参数）第三十四页，共四十三页，2022年，8月28日模型建立建立t与n的函数关系有多种方法1.右轮盘转第

i圈的半径为r+wi,

m圈的总长度等于录象带在时间t内移动的长度vt,即第三十五页，共四十三页，2022年，8月28日2.考察右轮盘面积的变化，等于录象带厚度乘以转过的长度，即模型建立3.考察t到t+dt录象带运动的长度，等于在右轮盘上缠绕的一段圆弧，即第三十六页，共四十三页，2022年，8月28日

3种建模方法得到同一结果模型中有待定参数一种确定参数的办法是测量或调查，请设计测量方法.模型建立第三十七页，共四十三页，2022年，8月28日参数估计另一种确定参数的方法——测试分析将模型改记作只需估计a,b.理论上，已知t=184,n=6061,

再有一组(t,n)数据即可.实际上，由于测试有误差，最好用足够多的数据作拟合.现有一批测试数据：

t020406080n00001141201927603413

t

100120140160184n40044545505155256061用最小二乘法可得第三十八页，共四十三页，2022年，8月28日模型检验应该另外测试一批数据检验模型：模型应用回答提出的问题：由模型算得n=4450时t=116.4分，剩下的录象带能录184-116.4=67.6分钟的节目.揭示了“t

与n之间呈二次函数关系”这一普遍规律，当录象带的状态改变时，只需重新估计a,b

即可.第三十九页，共四十三页，2022年，8月28日录像机计数器的用途日常生活中的问题(录制节目)数学建模全过程的典型示例观察现象(读数增长越来越慢)建模准备