应用概率统计

应用概率统计第一页，共八十九页，2022年，8月28日定义

若事件A与B满足P(AB)=P(A)P(B),

则称A与B相互独立，简称A与B独立。

推论1A.B为两个事件,若P(A)>0,

则A与B独立等价于P(B|A)=P(B).

若P(B)>0,

则A与B独立等价于P(A|B)=P(A).第1.5节独立性及其应用

推论2

在A与B,与B,A与，与这四对事件中,若有一对独立,则另外三对也相互独立。第二页，共八十九页，2022年，8月28日性质

若n个事件相互独立，则

第三页，共八十九页，2022年，8月28日巴斯卡概率公式在n重贝努里试验中,如果第r次“成功”出现在第n次试验中,则几何概率公式在n重贝努里试验中,如果第1次“成功”出现在第n次试验中,则二项概率公式在n重贝努里试验中,如果“成功”在每次试验中出现的概率为p,令Bk=“在n次试验中“成功”出现k次”,则第四页，共八十九页，2022年，8月28日第2章随机变量及分布第2.1节随机变量的概念第2.3节随即变量的分布第2.4节连续型随机变量第2.5节随机变量函数的分布第2.2节离散型随机变量第五页，共八十九页，2022年，8月28日品质数据的分类整理：数量数据分组：组距分组：单变量分组：条形图、饼图直方图、折线图组数：组距：排序计数频率与直方图分组的原则：穷尽原则，互斥原则第六页，共八十九页，2022年，8月28日例：某商店连续40天的商品销售额（单位：万元）如下：根据上面的数据进行适当分组，编制频数分布表，并画出直方图。4125294738343038434046364537373645433344

4228463430374426384442363737493942323635第七页，共八十九页，2022年，8月28日按销售额分组（万元）频数频率%25-3030-3535-4040-4545-5046159610.015.037.522.515.0合计40100.0第八页，共八十九页，2022年，8月28日第九页，共八十九页，2022年，8月28日数据分布特征的测度1、分布的集中趋势：(1)众数：出现频率最高的值，用记之。算法(1)例1,2,4,4,5,6则1,2,3,3,4,5,6,6,7则第十页，共八十九页，2022年，8月28日(2)中位数：中间位置的数，用记之。算法(1)例1,2,3,4,5,6,7则1,2,3,4,5,6则第十一页，共八十九页，2022年，8月28日(4)均值：1)简单平均2)加权平均3)调和平均4)加权调和平均5)几何平均其中第十二页，共八十九页，2022年，8月28日众数、中位数、均值的比较对称分布左偏分布右偏分布第十三页，共八十九页，2022年，8月28日2、分布的离散程度：(1)(2)平均离差样本方差(3)样本标准差（4）极差第十四页，共八十九页，2022年，8月28日例：求1,2,3,4,5的样本均值，样本方差。解：第十五页，共八十九页，2022年，8月28日试验考察可能的结果抛掷一枚硬币100次一家餐馆营业一天抽查一批电子元件新建一座住宅楼销售一辆汽车正面出现的次数顾客数使用寿命(小时)半年完成百分比顾客性别0,1,2,…,1000,1,2,…

[0,)[0,100]男性为0,女性为1一、随机变量(randomvariables)概念记为是一个随机事件。第2.1节离散型随机变量及其分布第十六页，共八十九页，2022年，8月28日例如

(1)随机地掷一颗骰子，ω表示所有的样本点,ω:出现1点出现2点出现3点出现4点出现5点出现6点X(ω):123456(2)某人接连不断地对同一目标进行射击,直至射中为止，ω表示射击次数，则ω射击1次射击2次......射击n次......X(ω)12......n......(3)某车站每隔10分钟开出一辆公共汽车,旅客在任意时间到达车站,ω表示该旅客的候车时间,ω候车时间X(ω)[0,10]1.随机变量(4)掷一枚硬币，ω表示正反面，则X(ω):10第十七页，共八十九页，2022年，8月28日特别离散型连续型定义设E为随机试验,它的样本空间记为Ω={ω},如果对于每一个ω都有实数X(ω)与之对应,则称这个定义在Ω上的实单值函数X(ω)为随机变量.随机变量一般用X,Y,Z,或ξ,η,ζ等表示.取值为有限个和至多可列个的随机变量.可以取区间内一切值的随机变量.例如

S=πR2中,其中R为测量中的随机变量,S为随机变量R的函数.此外,若X是一个随机变量,则以X为自变量的函数Y=f(X)称为随机变量X的函数.随机变量函数也是随机变量.第十八页，共八十九页，2022年，8月28日2.离散型随机变量的概率分布

定义设随机变量X的一切可能取值为x1,x2,...,xn,...,且

pn=P(X=xn),n=1,2,...,称此公式为X的概率分布或分布列.或者Xx1x2...xn...Pp1p2...pn...

性质

(1)pn≥0,n=1,2,...；(2)p1+p2+...+pn+…=1；

计算

对a<b有P(a<X≤b)=例如在掷一颗骰子的试验中,X表示出现的点数,则X的概率分布为X123456P1/61/61/61/61/61/6设A表示出现奇数点,则P(A)=P(x=1)+P(x=3)+P(x=5)=1/2第十九页，共八十九页，2022年，8月28日注意离散型随机变量的概率分布分以下几步来求:(1)确定随机变量的所有可能取值;(2)设法（如利用古典概率）计算取每个值的概率.(3)列出随机变量的概率分布表（或写出概率函数）.第二十页，共八十九页，2022年，8月28日例1

某试验出现“成功”的概率为p(0<p<1),出现“失败”的概率为1-p，现进行一次试验,求成功次数的概率分布.解设随机变量X表示成功次数,则X=0表示试验出现“失败”,X=1表示试验出现“成功”

P(X=1)=p,P(X=0)=1-p,

所以,X的概率分布为:X01P1-pp两点分布注两点分布用于描述只有两种对立结果的随机试验.常见的离散型随机变量的概率分布(1)两点分布(0-1分布)第二十一页，共八十九页，2022年，8月28日注二项分布的试验背景是n重Bernoulli试验模型;

其中n是试验独立重复的次数,

p是每一次基本试验“成功”的概率.

随机变量X指n次试验中“成功”出现的次数.例2一批产品的合格率为0.8,有放回地抽取4次,每次一件,取得不合格品件数为X,则(2)二项分布若随机变量X的概率分布为X~B(4,0.2)第二十二页，共八十九页，2022年，8月28日一般地：设射击次数为n，每次射击击中目标的概率为p，则：当（n+1）p为整数时，概率最大的击中目标次数为(n+1)p和(n+1)p-1;

当（n+1）p不为整数时，概率最大的击中目标次数为(n+1)p的整数部分.第二十三页，共八十九页，2022年，8月28日巴斯卡分布在n重贝努里试验中,如果第r次“成功”出现在第n次试验中,则几何分布在n重贝努里试验中,如果第1次“成功”出现在第n次试验中,则第二十四页，共八十九页，2022年，8月28日(3)泊松分布定义若随机变量X的概率分布为则称X服从参数为λ(>0)的Possion分布,记为X~P(λ).可以证明

当n很大,p很小,λ=np是一个不太大的常数时,可以用泊松分布作为二项分布的近似.即第二十五页，共八十九页，2022年，8月28日

即Poisson分布可作为二项分布的近似。实际应用中，当p0.25，n>20，np5时，近似效果良好。第二十六页，共八十九页，2022年，8月28日

例3在一部篇幅很大的书籍中，发现只有13.5%的页数没有印刷错误，如果我们假定每页的错字数是服从Poisson分布的，求正好有一个错字的页数的百分比.解设为每页的错字个数，由已知得又已知

第二十七页，共八十九页，2022年，8月28日解1月1日公司收入(元)

设一年中死亡人数为（人），则

例4

在保险公司里有2500个同一年龄和同社会阶层的人参加了人寿保险。在一年里每个人死亡的概率为0.002，每个参加保险的人在1月1日付12元保险费，而在死亡时家属可从保险公司领取2000元，问下列事件的概率各为多少？

(1)保险公司亏本

(2)保险公司获利不少于10000元

(3)保险公司获利不少于20000元第二十八页，共八十九页，2022年，8月28日(1){保险公司亏本}=(2){保险公司获利不少于10000元}=

(3){保险公司获利不少于20000元}=

第二十九页，共八十九页，2022年，8月28日例5

设一试验成功的概率为p(0<p<1),接连重复进行试验,直到首次成功出现为止,求试验次数的概率分布.解设X表示试验次数,X取值为1,2,...,n,...,P(X=1)=p,P(X=2)=(1-p)p,...,P(X=n)=(1-p)n-1p,...,

记q=1-p,则X的概率分布为:几何分布P(X=n)=qn-1p,(n=1,2,...)第三十页，共八十九页，2022年，8月28日

例6一批产品共100只，其中有10只次品.求任意取出的5只产品中次品数的概率分布。解

设任意取出的5只产品中次品数为可能取值为：0,1,2,3,4,5.超几何分布

一般地，若一集合成员分A、B两类，总成员有N个，其中A类有M个，现从中任取n个,则其中所含的A

类个数的分布为：第三十一页，共八十九页，2022年，8月28日例7

袋内有5个黑球3个白球,每次抽取一个不放回,直到取得黑球为至。记X为取到白球的数目,Y为抽取次数，求X、Y的概率分布及至少抽取3次的概率。解

(1)X的可能取值为0,1,2,3,P(X=0)=5/8,P(X=1)=(3×5)/(8×7)=15/56,类似有P(X=2)=(3×2×5)/(8×7×6)=5/56,P(X=3)=1/56,所以,X的概率分布为X0123P5/815/565/561/56

(2)Y的可能取值为1,2,3,4,P(Y=1)=5/8,P(Y=2)=P(X=1)=15/56,类似有

P(Y=3)=P(X=2)=5/56,P(Y=4)=P(X=3)=1/56,

所以Y的概率分布为Y1234P5/815/565/561/56(3)P(Y≥3)=P(Y=3)+P(Y=4)=6/56第三十二页，共八十九页，2022年，8月28日例8

某车间有5台同类型的机床,每台机床配备的电动机功率为10千瓦.每台机床工作时平均每小时实际开动20分钟,且每台开动与否相互独立.因电力供应紧张,电力部门仅提供30千瓦的电力给这5台机床.问5台机床正常工作的概率有多大?解设A为“机床实际在开动”,X为“同时开动的机床数”,则P(A)=1/3,X~B(n,p),其中n=5,p=1/3,所求概率为P(X≤3)=1-P(X=4)-P(X=5)≈0.95或P(X≤3)第三十三页，共八十九页，2022年，8月28日随机变量的分布函数

定义设X是任意一个随机变量,称函数

F(x)=P(X≤x),

－∞＜x＜＋∞为随机变量X的分布函数.(1)0≤F(x)≤1,－∞＜x＜＋∞,(2)F(x)是x的单调不减函数;(3)(4)F(x)在每一点处均是右连续的,即:F(x+0)=F(x)1.分布函数性质

第三十四页，共八十九页，2022年，8月28日

(1)F(x)=(3)对任意a<b有

P(a<X≤b)=P(X≤b)-P(X≤a)=F(b)-F(a);P(a≤X<b)=P(X<b)-P(X<a)=F(b-0)-F(a-0);P(X<a)=F(a-0);P(X≥a)=1-P(X<a)=1-F(a-0).对于离散型随机变量X的分布函数有第三十五页，共八十九页，2022年，8月28日例9

设随机变量X服从参数为0.7的0-1分布,即:

X01P0.30.7,求X的分布函数.解

(1)当x<0时,F(x)=P(X≤x)==0(2)当0≤x<1时,F(x)=P(X≤x)==P(X=0)=0.3(3)当1≤x时,F(x)=P(X≤x)==P(X=0)+P(X=1)=1分布函数图形如下xF(x)110.30所以第三十六页，共八十九页，2022年，8月28日对应概率值为P0.40.40.2(1)离散型随机变量的分布函数是分段函数,分段区间是由X的取值点划分成的左闭右开区间;(2)图形上表现为阶梯形跳跃递增;(3)函数值跳跃高度是X取值区间中新增加点的对应概率值.例10

设X的分布函数为求X的概率分布.解

X的取值为X012由此可见第三十七页，共八十九页，2022年，8月28日例如设某厂生产某产品的规定尺寸为25.40cm,已知某批产品的最小尺寸为25.20cm,最大尺寸为25.60cm.现从这批产品中任取100件,得到100个测量值.计算得如下数据表:

分组25.235-25.26525.265-25.29525.295-25.32525.325-25.35525.355-25.38525.385-25.41525.415-25.44525.445-25.47525.475-25.50525.505-25.53525.535-25.56512512182516134220.010.020.050.120.180.250.160.130.040.020.02

频数频率2.2连续型随机变量的概率密度函数第三十八页，共八十九页，2022年，8月28日25.23525.565产品X尺寸(mm)建立频率柱形图如下:当n无限增大,组距无限减小时,频率分布直方图就会无限接近一条光滑曲线,此即为随机变量X的概率密度曲线,以该曲线为图形的函数称为X的概率密度函数.记为X~f(x).第三十九页，共八十九页，2022年，8月28日f(x)≥0,－∞<x<＋∞;

显然,连续型随机变量的概率密度曲线具有以下性质25.23525.565产品X尺寸(mm)第四十页，共八十九页，2022年，8月28日对于连续型随机变量X的分布函数有(1)(3)F(x)是(-∞,+∞)上的连续函数;(4)P(X=x)=F(x)-F(x-0)=0;(2)f(x)=(5)对任意a<b有

P(a≤X≤b)=P(a≤X<b)=P(a<X≤b)=P(a<X<b)=F(b)-F(a);P(X<a)=P(X≤a)=F(a);P(X≥a)=P(X>a)=1-P(X<a)=1-F(a).第四十一页，共八十九页，2022年，8月28日例11

设随机变量X～求(1)A;(2)P(-1/2<X≤1/2);(3)P(-3<X≤2)．解

(1)

即所以A=1/πAπ=1,(2)P(-1/2<X≤1/2)==1/π(π/6+π/6)=1/3(3)P(-3<X≤2)==1思考:

P(-1/2<X≤2)=?第四十二页，共八十九页，2022年，8月28日例12

设连续型随机变量X满足解密度函数曲线如图0136xf(x)S1S2=2/3

表示k点右侧的面积值.由f(x)的几何意义知又由S2=2/3可知第四十三页，共八十九页，2022年，8月28日例13

设随机变量X～求(1)A;(2)P(-1/2<X≤1/2);(3)F(x)．第四十四页，共八十九页，2022年，8月28日例14设连续型随机变量X的分布函数为求:(1)A;(2)P(0.3<X<0.7);(3)X的概率密度f(x).解(1)F(x)在x=1点连续,由左连续性得:即:所以,A=1(2)P(0.3<X<0.7)=F(0.7)-F(0.3)=0.72-0.32=0.4(3)f(x)==0x≤02x0<x<101≤x即:第四十五页，共八十九页，2022年，8月28日例15

设连续型随机变量X的分布函数为求:(1)A,B;(2)P(-1<X<1);(3)X的概率密度f(x).第四十六页，共八十九页，2022年，8月28日常见的连续型随机变量的概率密度(1)均匀分布称X服从[a,b]上的均匀分布.记为X~U(a,b).0abxf(x)第四十七页，共八十九页，2022年，8月28日例16

设随机变量X服从[-1,2]区间上的均匀分布,求X的分布函数.解如图:-12分析F(-2)==0-213F(1)==2/3F(3)==1F(1)xf(x)F(3)(1)x<-1时,F(x)==0=1(2)-1≤x<2时,F(x)=(3)2≤x时,F(x)=所求分布函数为第四十八页，共八十九页，2022年，8月28日xF(x)-11210可见(1)连续型随机变量X的分布函数F(x)为单调递增的连续函数;(2)F(x)为分段函数第四十九页，共八十九页，2022年，8月28日例17

设随机变量X～U(1,5),求第五十页，共八十九页，2022年，8月28日例18

设随机变量X服从[2,5]上的均匀分布.对X进行三次独立观测，试求至少有两次观测值大于3的概率。解由题意得:记A={X>3},则P(A)=P(X>3)=2/3设Y表示三次独立观测中A出现的次数,则Y~B(3,2/3)所求为P(Y≥2)=P(Y=2)+P(Y=3)=20/27第五十一页，共八十九页，2022年，8月28日(2)指数分布则称X服从参数为λ的指数分布,记为X~E(λ)(λ>0).定义若随机变量X的概率密度函数为概率密度曲线如图:xf(x)注指数分布常用作各种“寿命”分布的近似.第五十二页，共八十九页，2022年，8月28日注指数分布具有“永远年青”性。即例19

设随机变量X～E（0.0001）,求x>2000的概率。第五十三页，共八十九页，2022年，8月28日称随机变量X服从参数为μ,σ2的正态分布,σ>0，μ是任意实数，记为(3)正态分布定义

若随机变量X的概率密度函数为注(1)概率密度曲线是以x=μ为对称轴,以y=0为渐近线的R上的连续函数;f(x)x0μ(2)在x=μ点f(x)取得最大值:X~N(μ,σ2)(3)曲线f(x)与x轴之间的面积是1.第五十四页，共八十九页，2022年，8月28日特别若μ=0,σ2=1,即则称X服从标准正态分布.记为X~N(0,1)x0注标准正态分布的概率密度曲线以y轴为对称轴.第五十五页，共八十九页，2022年，8月28日x0注(1)

x-x标准正态分布的分布函数2.正态分布的分布函数及其计算(2)

P(|X|<a)=Φ(a)-Φ(-a)=Φ(a)–[1-Φ(a)]=2Φ(a)-1.第五十六页，共八十九页，2022年，8月28日正态分布的分布函数若X~N(μ,σ2),则所以,若X~N(μ,σ2),则对任意的a<b有第五十七页，共八十九页，2022年，8月28日例20

设X~N(10,4),求P(10<X<13),P(|X-10|<2).解

P(10<X<13)==Φ(1.5)-Φ(0)=0.4332P(|X-10|<2)=P(8<X<12)=2Φ(1)-1=0.6826=Φ(1)-Φ(-1)=Φ(1)-[1-Φ(1)]第五十八页，共八十九页，2022年，8月28日例21

设X~N(μ,σ2),P(X≤-1.6)=0.036,P(X≤5.9)=0.758,求μ及σ.解

P(X≤-1.6)=所以:又P(X≤5.9)=所以:联立解方程组得:μ=3,σ=3.8特别

Φ(0)=0.5;Φ(1.28)=0.90;Φ(1.64)=0.95;Φ(1.96)=0.975;Φ(2.33)=0.99.第五十九页，共八十九页，2022年，8月28日例22

某地抽样结果表明，考生的外语成绩（百分制）近似服从正态分布，平均成绩为72分，96分以上的占考生总数的2.3%，试求考生的外语成绩在60分至84分之间的概率。解设X为考生的外语成绩,则X~N(72,σ2),由题意得:P(X>96)=0.023=1-Φ[(96-72)/σ]=1-Φ(24/σ)所以,Φ(24/σ)=1-0.023=0.97724/σ=2,故:σ=12所求P(60<X<84)==0.6826第六十页，共八十九页，2022年，8月28日1.已知X~N(3,22),且P{X>C}=P{X≤C}则C=（)2.设X~N(μ，42),Y~N(μ，52),记p1=P{X≤μ-4}，p2=P{Y≥μ+5}则()①对任意实数μ，都有p1=p2

②对任意实数μ，都有p1<p2

③只对μ的个别值，才有p1=p2

④对任意实数μ，都有p1>p23①课堂练习f(x)x0μP(X≤μ)P(X≥μ)第六十一页，共八十九页，2022年，8月28日设X~N(μ，σ2),则随σ的增大，概率P{|X-μ|<σ}（）①单调增大②单调减少③保持不变④增减不定③设X~N（2，σ2),且P{2<X<4}=0.3,

则P{X<0}=().0.2第六十二页，共八十九页，2022年，8月28日离散型随机变量的概率分布

定义设随机变量X的一切可能取值为x1,x2,...,xn,...,且

pn=P(X=xn),n=1,2,...,称此公式为X的概率分布或分布律.或者Xx1x2...xn...Pp1p2...pn...

性质

(1)pn≥0,n=1,2,...；(2)p1+p2+...+pn+…=1；

计算

对a<b有P(a<X≤b)=第六十三页，共八十九页，2022年，8月28日X01P1-pp两点分布常见的离散型随机变量的概率分布(1)两点分布(0-1分布)(2)二项分布第六十四页，共八十九页，2022年，8月28日(3)泊松分布定义则称X服从参数为λ(>0)的Possion分布,记为X~P(λ).可以证明

泊松分布作为二项分布的近似(np=λ).即第六十五页，共八十九页，2022年，8月28日巴斯卡分布在n重贝努里试验中,如果第r次“成功”出现在第n次试验中,则几何分布在n重贝努里试验中,如果第1次“成功”出现在第n次试验中,则超几何分布第六十六页，共八十九页，2022年，8月28日f(x)≥0,－∞<x<＋∞;

性质连续型随机变量的概率密度函数第六十七页，共八十九页，2022年，8月28日随机变量的分布函数

定义设X是任意一个随机变量,称函数

F(x)=P(X≤x),

－∞＜x＜＋∞为随机变量X的分布函数.(1)0≤F(x)≤1,－∞＜x＜＋∞,(2)F(x)是x的单调不减函数;(3)(4)F(x)在每一点处均是右连续的,即:F(x+0)=F(x)1.分布函数性质

第六十八页，共八十九页，2022年，8月28日

(1)F(x)=(3)对任意a<b有

P(a<X≤b)=P(X≤b)-P(X≤a)=F(b)-F(a);P(a≤X<b)=P(X<b)-P(X<a)=F(b-0)-F(a-0);P(X<a)=F(a-0);P(X≥a)=1-P(X<a)=1-F(a-0).对于离散型随机变量X的分布函数有第六十九页，共八十九页，2022年，8月28日对于连续型随机变量X的分布函数有(1)(3)F(x)是(-∞,+∞)上的连续函数;(4)P(X=x)=F(x)-F(x-0)=0;(2)f(x)=(5)对任意a<b有

P(a≤X≤b)=P(a≤X<b)=P(a<X≤b)=P(a<X<b)=F(b)-F(a);P(X<a)=P(X≤a)=F(a);P(X≥a)=P(X>a)=1-P(X<a)=1-F(a).第七十页，共八十九页，2022年，8月28日常见的连续型随机变量的概率密度(1)均匀分布称X服从[a,b]上的均匀分布.记为X~U(a,b).0abxf(x)第七十一页，共八十九页，2022年，8月28日(2)指数分布则称X服从参数为λ的指数分布,记为X~E(λ)(λ>0).定义若随机变量X的概率密度函数为注指数分布具有“永远年青”性。即第七十二页，共八十九页，2022年，8月28日(3)正态分布定义注(1)概率密度曲线是以x=μ为对称轴,以y=0为渐近线的R上的连续函数;f(x)x0μ(2)在x=μ点f(x)取得最大值:X~N(μ,σ2)(3)曲线f(x)与x轴之间的面积是1.第七十三页，共八十九页，2022年，8月28日若μ=0,σ2=1,即标准正态分布.X~N(0,1)x0注标准正态分布的概率密度曲线以y轴为对称轴.第七十四页，共八十九页，2022年，8月28日x0注(1)

x-x标准正态分布的分布函数2.正态分布的分布函数及其计算(2)

P(|X|<a)=Φ(a)-Φ(-a)=Φ(a)–[1-Φ(a)]=2Φ(a)-1.第七十五页，共八十九页，2022年，8月28日正态分布的分布函数若X~N(μ,σ2),则所以,若X~N(μ,σ2),则对任意的a<b有第七十六页，共八十九页，2022年，8月28日离散型随机变量函数的概率分布:例23

设随机变量X的概率分布如下,Y=2X+1,Z=X2,求Y,Z的概率分布.X-1012P0.20.30.10.4解

(1)Y的对应取值为-1,1,3,5,P(Y=-1)=P(2X+1=-1)=P(X=-1)=0.2P(Y=1)=P(X=0)=0.3,P(Y=3)=P(X=1)=0.1,P(Y=5)=P(X=2)=0.4,所以Y的概率分布为Y-1135P0.20.30.10.4(2)Z的取值为0,1,4,P(Z=0)=P(X=0)=0.3,P(Z=1)=P(X=1)+P(X=-1)=0.3,P(Z=4)=P(X=2)=0.4Z014P0.