磁场（2）-备战2022年高考案头必备模型（解析版）

模型22磁场（2）-备战2022年高考案头必备模型+典例+方法+练习目录有界磁场之矩形、三角形边界 2两线一半径 2粒子源射出粒子 5同源不共速同向 5同源共速异向 9有界磁场之圆形磁场边界外部入射 14两线一点/点方向半径 14同源共速—轨道半径大于磁场半径 17

有界磁场之矩形、三角形边界【模型+方法】相交相切找临界两线一半径【典例】一质量为m、带电量为q的粒子以速度v0从O点沿y轴正方向射入磁感强度为B的一圆形匀强磁场区域，磁场方向垂直于纸面，粒子飞出磁场区后，从b处穿过x轴，速度方向与x轴正向夹角为30°，如图所示（粒子重力忽略不计）。试求：（1）圆形磁场区的最小面积；（2）粒子从O点进入磁场区到达b点所经历的时间；（3）b点的坐标。【答案】（1）3πm2v024q2B【解析】试题分析：（1）带电粒子在磁场中作匀速圆周运动，根据牛顿第二定律Bqv=mv2R，根据图可知∠a磁场区域最小半径r=Rcos磁场区域最小面积S=πr（2）粒子从O至a做匀速圆周运动的时间t1从a飞出磁场后做匀速直线运动，所以tan30°=Rabab=3所以t=t（3）因为sin'30°=RO'b，O'【练习1】如图所示，在xOy平面第一象限内的某区域有垂直平面的匀强磁场（没画出），一个质量为m、电荷量为q的带电粒子，由y轴上的P点开始运动，初速度为v0，方向沿x轴正方向，P到O的距离为3L，后来，粒子经过x轴上的Q点，此时速度方向与x轴负方向的夹角为θ=60°，Q到O的距离为2L，磁场的磁感应强度B=4A．带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的半径为34B．求带电粒子从P点运动到Q点所用的时间为3πLC．若匀强磁场的区域是圆形磁场，则圆形磁场的最小面积为9πLD．若匀强磁场的区域是矩形，则矩形磁场的最小面积为33【答案】ACD【解析】根据qvB=mv2r，解得r=mvqB=34L，选项A正确；粒子运动的周期为从P点到Q点，粒子在磁场以外的部分运动的时间：t2=5L-2×rtan600v0=7L2v0，故【练习2】如图所示，不考虑重力的影响，在xOy平面内，有带电粒子以与y轴成θ=30°角的速度v从A点出发，粒子运动一段时间后，进入一个有着矩形边界的匀强磁场中，经磁场偏转后从原点O沿x轴负方向射出磁场，已知AO间距离为L，粒子的质量为m，所带电荷量为+q，矩形磁场的两条相邻边分别与x、y轴重合，且憾场方向与纸面垂直，求：（1）匀强磁场的磁感应强度B的大小和方向；（2）矩形磁场的最小面积S。【答案】（1），方向垂直纸面向外；（2）s=L2【解析】（1）画出粒子运动的轨迹如图设粒子运动的轨迹圆半径为r，由几何关系可知CO=r，AC=2r则AO=L=3r，r=L又因为洛伦兹力提供向心力qvB=mv解得方向垂直纸面向外（2）由图可知最小的矩形磁场长EO=r+rsin即EO=L宽CD=r=L故矩形磁场的最小面积s=L粒子源射出粒子同源不共速同向【模型+方法】1、粒子特点：入射粒子速度的方向相同，速度的大小不同。粒子的轨迹圆的圆心轨迹为一条线段，利用圆规作图，不断改变圆心位置找到符合要求的轨迹圆。方法总结：同向异速入射的粒子，放缩圆法。2、动态放缩法①适用条件a.速度方向一定，大小不同粒子源发射速度方向一定，大小不同的带电粒子进入匀强磁场时，这些带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径随速度的变化而变化.b.轨迹圆圆心共线如图1所示(图中只画出粒子带正电的情景)，速度v越大，运动半径也越大.可以发现这些带电粒子射入磁场后，它们运动轨迹的圆心在垂直初速度方向的直线CO上.图1②界定方法以入射点O为定点，圆心位于CO直线上，将半径放缩作轨迹，从而探索出临界条件，这种方法称为“放缩圆法”.【典例】如图，正方形ABCD内有垂直于纸面的匀强磁场，三个质量和电荷量都相同的带电粒子a、b、c，从B点以不同的速率沿着BC方向射入磁场，粒子a从D点射出，粒子b从AD边的中点E射出，粒子c从AB边的中点F射出．若带电粒子仅受磁场力的作用，下列说法正确的是A．a粒子的速率是b粒子速率的两倍B．在磁场中运动的时间，c是a的两倍C．在磁场中运动的弧长，a是c的两倍D．若c粒子的速率稍微减小，在磁场中的运动时间不变【答案】BCD【解析】粒子在磁场中做匀速圆周运动时，由洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得：qvB=mv2r，可得：v=qBrm，令正方形的边长为L，由图可知a粒子的半径ra=L，有几何关系可得b粒子的半径为：rb=58L，c粒子的半径rc=L4，由此可得：vavb=rarb=85，故A错误；粒子的运动周期均为T=2πmqB，由图可知a粒子的运动时间为ta=T【练习1】如图所示，矩形区域abcd内（包括边界）存在磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向外的匀强磁场，其中ab=3L，bc=4L。a处有一正粒子源，均沿ad方向释放出相同比荷qm、速率不同的粒子，其速率范围为qBLm⩽A．粒子在磁场中运动的最长时间为πmqBB．粒子在磁场中运动的最长时间为53πm180qBC．粒子在磁场中运动的最大位移为25D．粒子以v=25qBL6m【答案】AD【解析】根据qBLm⩽v⩽5qBLm以及R=A．当粒子从ab边射出时，其时间最长t1故A正确。B．当粒子的半径为R=5L时，粒子从dc边射出，其圆心角为53°，时间最短t53故B选项错误。CD．粒子从c处离开磁场时，其在磁场中的位移最大为5L，由几何关系可得R2=(4L解得其半径R=25解得v=25qBL故C错误，D正确。故选AD。【练习2】如图所示，一矩形区域abcd内充满磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场，现从矩形区域ad边中点O射出与Od边夹角为30°、速度大小为v0的带正电粒子，已知粒子质量为m，电荷量为q，ad边长为L，ab边足够长，粒子重力忽略不计，求：(1)粒子能从ab边上射出磁场的v0的大小范围；(2)粒子在磁场中运动的最长时间和在这种情况下粒子从磁场中射出所在边上位置的范围。【来源】十磁场及带电粒子在磁场中的运动【答案】(1)qBL3m<v0≤qBLm(2)【解析】（1）画出从O点射入磁场的粒子运动轨迹的动态圆，能够从ab边射出的粒子的临界轨迹如图所示，轨迹与dc边相切时，射到ab边上的A点，此时轨迹圆心为O1，则r1－r1sin30°＝L2轨迹半径r1＝L即O1点在ab上。由qv得最大速度v1=轨迹与ab边相切时，恰不能从ab边射出，切点为ab边上的B点，此时轨迹圆心为O2，则r2＋r2sin30°＝L2轨道半径r2＝L3，由qv2B=m所以粒子能够从ab边射出的速度范围为：qBL3m（2）由T=2πmqB可知，所有粒子的运动周期相同，当运动轨迹所对的圆心角最大时，运动时间最长。当粒子从ad边射出时，时间均相等，且为最长时间，因转过的圆心角为300°tm=当运动轨迹恰与ab边相切时，恰能从ad边射出，设射出点为C，则射出的范围为OC＝r2＝L3。同源共速异向【模型+方法】1、粒子特点：入射粒子速度的方向不相同，速度的大小相同。这些粒子的圆心轨迹是圆，半径和轨迹圆的半径相等。解决方法：旋转圆法。2、定圆旋转法当粒子的入射速度大小确定而方向不确定时，所有不同方向入射的粒子的轨迹圆是一样大的，只是位置绕入射点发生了旋转，从定圆的动态旋转(作图)中，也容易发现“临界点”.另外，要重视分析时的尺规作图，规范而准确的作图可突出几何关系，使抽象的物理问题更形象、直观，如图.①适用条件a.速度大小一定，方向不同粒子源发射速度大小一定，方向不同的带电粒子进入匀强磁场时，它们在磁场中做匀速圆周运动的半径相同，若入射初速度为v0，由qv0B＝eq\f(mv\o\al(

2,0),R)得圆周运动半径为R＝eq\f(mv0,qB).b.轨迹圆圆心共圆带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在以入射点O为圆心、半径R＝eq\f(mv0,qB)的圆(这个圆在下面的叙述中称为“轨迹圆心圆”)上.②界定方法将一半径为R＝eq\f(mv0,qB)的圆的圆心沿着“轨迹圆心圆”平移，从而探索出临界条件，这种方法称为“平移圆法”.【典例1】如图所示，OM的左侧存在范围足够大、磁感应强度大小为B的匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里，ON（在纸面内）与磁场方向垂直且∠NOM=60°，ON上有一点P，OP=L、P点有一粒子源，可沿纸面内各个方向射出质量为m、电荷量为q的带正电的粒子（不计重力），速率为6A．πm2qB B．πm3qB C． D．πm【答案】A【解析】粒子进入磁场中做匀速圆周运动则有qvB=mv而将题设的v值代入得r=6粒子运动的时间t最短时，所粒子偏转的角度θ最小，则θ所对弦最短，作PB⊥OM于B点，PB即为最短的弦，结合左手定则，以r=64L为半径作出过P、B两点的轨迹圆如图所示，O根据几何关系有O'PB=Lsin6联立解得PB=2则粒子偏转的角度θ=90结合周期公式T=2πmqB可知粒子在磁场中运动的最短时间为【典例2】如图所示，以直角三角形AOC为边界的区域内存在着磁感应强度大小为B。方向垂直于纸面向里的匀强磁场。已知∠C=30°，AO＝L，D点为AC中点，O点处有一个粒子源，可以在纸面内向各个方向发射大量的比荷为qm的带负电的粒子，粒子的速度大小均为v0＝qBLm。设某粒子发射的方向与OCA．当θ=60°时，该粒子将从AB．从AC边射出的粒子在磁场中运动的时间随θ的减小而增加C．所有从OA边射出的粒子在磁场中运动的时间相等D．在AC边上仅在AD范围内有粒子射出【答案】AD【解析】A．由牛顿第二定律得qv解得R=L当θ=60°时，该粒子恰从A点射出，故AB．粒子从AC边射出时，随着θ的减小，在磁场中的弧长先减小后增大，故粒子在磁场中运动的时间随θ的减小先减少后增加，故B错误；C．从OA边射出时，圆心角φ=2π运动的时间为t=πT一定，随着θ的变化，粒子在磁场中运动的时间也发生变化，故C错误；D．当θ=0时，粒子恰好从D点射出，故在AC边上仅在AD范围内有粒子射出，故D正确。故选AD。【练习1】如图所示，OA，OB为相互垂直的有界匀强磁场边界，磁场磁感强度，方向垂直纸面向里，S为粒子源，可向磁场内各个方向均匀发射比荷qm=1.0×104C/kg的带正电粒子，速度v0=1.0×104m/sA．有12的粒子可以打到荧光屏上，且荧光屏发光的长度为10B．有12的粒子可以打到荧光屏上，且荧光屏发光的长度为10C．有12的粒子可以打到荧光屏上，且荧光屏发光的长度为10cmD．有14的粒子可以打到荧光屏上，且荧光屏发光的长度为10【答案】A【解析】带电粒子在磁场中做圆周运动的向心力由洛伦兹力提供，由向心力公式qvB=m解得，带电粒子做圆周运动的半径R=mv由题意可知粒子在磁场中的运动半径为10cm，所有粒子在磁场中半径相同，

由图可知，由O点射入水平向右的粒子恰好应为最右端边界；随着粒子的速度方向偏转，粒子转动的轨迹圆可认为是以O点为圆心以2R为半径转动．如图所示与x轴夹角0≤都可以打到屏上，所以有12的粒子可以打到荧光屏上，由几何关系可知OM=所以，且荧光屏发光的长度为QM=故A正确，BCD错误；故选A。【练习2】如图所示为一矩形磁场区域（画出上边界，其余三个边界未画出），S处有一电子源能在纸面内向各个方向持续发射电子，已知磁场方向垂直纸面向里，磁感应强度B=9.1×10-5T，S到磁场上边界的距离为4cm。电子源所发射电子的速率均为v=1.6×106m/s，电子质量m=9.×10-31kg，电荷量e=-1.6×10-19C，不计电子重力和相互间作用力。(1)如果矩形磁场区域足够宽，求磁场上边界有电子射出的边界长度；(2)要求电子仅能从矩形磁场的上边界射出而不能从其他三个边界射出，求矩形磁场的最小面积。【答案】(1)81+6cm；(2)【解析】电子在磁场中做圆周运动，有解得r=0.1m=10cm(1)能从上边界射出的左边界点为B，右边界点为C，如图所示由几何关系知道BS=2r=20cmDOAB=BDS=S上边界有电子射出的边界长度x=AB+AC=81+(2)如图所示不能从左侧边界射出的最远边界为ME，由几何关系知SE=2r=20cm不能从右侧边界射出的最远边界为NF，由几何关系知AN=AC+r=18cm不能从边界射出的边界线距离S的距离，由几何关系知SG=2r=20cm所以最小面积有界磁场之圆形磁场边界外部入射【模型+方法】当圆形磁场的半径与圆轨迹半径相等时，存在两条特殊规律；规律一：带电粒子从圆形有界磁场边界上某点射入磁场，如果圆形磁场的半径与圆轨迹半径相等，则粒子的出射速度方向与圆形磁场上入射点的切线方向平行，如甲图所示。规律二：平行射入圆形有界磁场的相同带电粒子，如果圆形磁场的半径与圆轨迹半径相等，则所有粒子都从磁场边界上的同一点射出，并且出射点的切线与入射速度方向平行，如乙图所示。两线一点/点方向半径【典例】如图所示，分布在半径为r的圆形区域内的匀强磁场，磁感应强度为B，方向垂直纸面向里。电荷量为q、质量为m的带正电的粒子从磁场边缘A点沿圆的半径AO方向射入磁场，离开磁场时速度方向偏转了60°角。（不计粒子的重力）则（）A．粒子做圆周运动的半径为r B．粒子的入射速度为3BqrC．粒子在磁场中运动的时间为 D．粒子在磁场中运动的时间为【答案】B【解析】A．设粒子做匀速圆周运动的半径为R，如图所示根据几何知识可知∠O得到圆运动的半径R=OA错误；B．根据牛顿运动定律qvB=mv有R=mv粒子的入射速度v=3B正确；CD．由于粒子在磁场中的运动方向偏转了60˚角，所以粒子完成了16个圆运动，根据线速度与周期的关系v=2πRT粒子在磁场中的运动时间为t=1CD错误。故选B。【练习1】如图，半径为R的圆是一圆柱形匀强磁场区域的横截面(纸面)，磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外．一电荷量为q(q>0)、质量为m的粒子沿平行于直径ab的方向射入磁场区域，射入点与ab的距离为R2.已知粒子射出磁场与射入磁场时运动方向间的夹角为60°，则粒子的速率为(不计重力)()A． B． C． D．2qBRm解析过程：带电粒子从距离ab为R2处射入磁场，且射出时与射入时速度方向的夹角为60°，粒子运动轨迹如图，ce为射入速度所在直线，d为射出点，射出速度反向延长交ce于f点，磁场区域圆心为O，带电粒子所做圆周运动圆心为O′，则O、f、O′在一条直线上，由几何关系得带电粒子所做圆周运动的轨迹半径为R，由F洛＝Fn得qvB＝m解得v＝故选B。【练习2】如图所示，在以直角坐标系xOy的坐标原点O为圆心、半径为r的圆形区域内，存在磁感应强度大小为B、方向垂直xOy所在平面的匀强磁场。一质量为m、电量为q带电粒子由磁场边界与x轴的交点A处，以某一速度沿x轴负方向射入磁场，粒子恰好能从磁场边界与y轴的交点C处，沿y轴正方向飞出磁场，不计带电粒子所受重力。(1)求粒子的速度v0；(2)若该粒子从A处以33v0的速度沿x轴负向射入磁场，求该粒子在磁场中运动的时间。【答案】(1)v0=qBr【解析】(1)由图可知，粒子的运动半径R=r由洛伦兹力提供向心力即qv得v0(2)粒子的运动轨迹如图，设其半径为R′由上问可得R'又tanθ得θ=120由T=2πRv得粒子在磁场中运动的时间为t=T同源共速—轨道半径大于磁场半径【典例1】如图所示，圆形区域半径为R，区域内有一垂直纸面的匀强磁场，磁感应强度的大小为B。位于磁场边界最低点P处有一粒子源，可以释放质量为m、电荷量为q的带负电粒子，粒子沿位于纸面内的各个方向以相同的速率射入磁场区域。不计粒子的重力和空气阻力，忽略粒子间的相互影响，粒子在磁场内做圆周运动的轨道半径r=2R，A、C为圆形区域水平直径的两个端点。下列说法中正确的是（）A．粒子射入磁场的速率为v=2qBRB．粒子在磁场中运动的最长时间为t=πmC．不可能有粒子从C点射出磁场D．若粒子的速率可以变化，则不可能有粒子从A点水平射出【答案】D【解析】A．由洛仑兹力提供向心力，有qvB=mv当r=2R时，速度为v=2qBRmAB．要使带电粒子在圆形磁场中的时间最长，则是以磁场圆直径为弦的轨迹时间最长，圆心为Omax，粒子的运动轨迹如图：由几何关系知此轨迹在磁场的偏转角为60°，所以最长时间为t60∘C．当入射速度的方向合适时，是可以找到从C点射出圆周运动的圆心OC的，即作PC的中垂线，使OCP=OD．若粒子的速度变为qBRm，则其运动半径为R，若粒子从P点向上入射，则从A点水平穿出，D错误。故选D。【练习1】如图所示，一磁感应强度为B的圆形匀强磁场区域，圆心为O