双曲线专题教案

双曲线专题教学目标：1、掌握双曲线的定义，标准方程，几何性质，离心率，通径，最值。2、熟练地运用待定系数法求标准方程，学会求最值的方法和焦点三角形的解法。重点：双曲线的定义、几何图形和标准方程，以及简单的几何性质。难点：双曲线的标准方程，双曲线的渐进线。【教学内容】1、引入：太阳神有一牛群，由白、黑、花、棕四种颜色的公、母牛组成。在公牛中，白牛数多于棕牛数，多出之数相当于黑牛数的1/2+1/3；黑牛数多于棕牛，多出之数相当于花牛数的1/4+1/5；花牛数多于棕牛数，多出之数相当于白牛数的1/6+1/7。在母牛中，白牛数是全体黑牛数的1/3+1/4；黑牛数是全体花牛数1/4+1/5；花牛数是全体棕牛数的1/5+1/6；棕牛数是全体白牛数的1/6+1/7。问这牛群是怎样组成的？（阿基米德分牛问题）2、双曲线的基本概念.双曲线的定义：双曲线的定义在平面内，到两个定点々，勺的距离之差的绝对值等于常数2a（a>0,且2a<|勺勺|）的动点P的轨迹叫作双曲线.这两个定点勺,勺叫双曲线的焦点，两焦点的距离叫作双曲线的焦距. 成功在励志2成功在励志注意：1.双曲线的定义中，常数2a应当满足的约束条件：归F|—pFj卜2a<|«|，这可以借助于三角形中边的相关性质“两边之差小于第三边”来理解；.若去掉定义中的“绝对值”，则仅能表示双曲线的一支；.若常数a满足约束条件：忸勺|一P叮卜2a=|FF2|，则动点轨迹是以F、F2为端点的两条射线（包括端点）；.若常数a满足约束条件：||尸勺|-|尸叮|=2a>|勺F2|，则动点轨迹不存在；.若常数a=0，则动点轨迹为线段FF2的垂直平分线。.双曲线的标准方程： I?X2V2.当焦点在X轴上时，双曲线的标准方程：——1=1（a>0,b>0）,其中c2=a2+b2；a2b2V2X22.当焦点在V轴上时，双曲线的标准方程：—--=1（a>0,b>0）,其中c2=a2+b2.a2b2注意：1.只有当双曲线的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时才能得到双曲线的标准方程；.在双曲线的两种标准方程中，都有c2=a2+b2；成才要得法.双曲线的焦点总在实轴上，即系数为正的项所对应的坐标轴上成才要得法3.双曲线的简单几何性质:X2V2（1）对称性：双曲线一--—=1（a>0,b>0）是以x轴、V轴为对称轴的轴对称图形，且a2b2是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为双曲线的中心。（2）范围：双曲线上所有的点都在两条平行直线x=-a和x=a的两侧，是无限延伸的。因此双曲线上点的横坐标满足x<-aorx>a。（3）顶点：①双曲线与它的对称轴的交点称为双曲线的顶点。X2V2②双曲一-J=1（a>0,b>0）与坐标轴的两个交点即为双曲线的两个顶点，坐标分a2b2别为AJ-a,。）,A2（a,0），顶点是双曲线两支上的点中距离最近的点。③两个顶点间的线段A1A2叫作双曲线的实轴；设B（-a,0）,B2（a,0）为v轴上的两个点，则线段B1B2叫做双曲线的虚轴。实轴和虚轴的长度分别为|A1A2|=2a,|B1Bj=2b。a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长。注意：①实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线。（4）离心率： ①双曲线的焦距与实轴长的比叫做双曲线的离心率，用e表示，记作2cce=——=—。2aaTOC\o"1-5"\h\zc c- ，②因为c>a>0，所以双曲线的离心率e=->1。由c2=a2+b2，可得aIb 'c2-a2 b b==' e2-1，所以一决定双曲线的开口大小，一越大，e也越大，双曲线开\o"CurrentDocument"aa2 a a口就越开阔。步以离心率可以用来表示双曲线开口的大小程度。③等轴双曲线a=b，所以离心率e=<2。（5）渐近线：经过点A〕A/、V轴的平行线x=±a，经过点B、B/乍x轴的平行线7 bV=±b,四条直线围成一个矩形（如图），矩形的两条对角线所在直线的方程是V=士一x。ab我们把直线V=士一x叫做双曲线的渐近线。（双曲线与它的渐近线无限接近，但永不相交）a特别注意：双曲线的焦点三角形，弦长公式，中点弦问题与椭类似。【例题讲解】例1已知双曲线-£+==1，求双曲线的实（虚）轴顶点坐标，焦点坐标，准线方程,16 9成才要得法渐近线方程.成功在励志

成才要得法练习：求双曲线nx2-my2=mn(m>0,n>0)的实(虚)半轴长，焦点坐标，准线方程，渐近线方程.例2已知。O1：(x+5)2+y2=4,。02：(x-5)2+y2=9(1)若动圆P与。1,。2均内切，求动圆圆心P点的轨迹；(2)若动圆Q与。1,。2均外切，求动圆圆心。点的轨迹。练习：在方程mx2-my2=n中，若mn<0,则方程的曲线是()A.焦点在x轴上的椭圆B.焦点在x轴上的双曲线C.焦点在y轴上的椭圆D.焦点在y轴上的双曲线例成功在励志设双曲线C经过点(2,2)，且与双曲线与-x2=1具有相同渐近线，求双曲线C标成功在励志4准方程.x2y2 x2y2练习：1.双曲线斤——7=1与k—7^=入一■定有相同的()TOC\o"1-5"\h\z9 16 9 16A.焦点B.准线C.渐近线0.离心率x2 y22.与双曲线入-tt=1有共同的渐近线，并且过点A(6,8<2)的双曲线的标准方程 9 16成才要得法例4设F,F分别为双曲线x2-芸=1(a>0,b>0)的左、右焦点，双曲线上存在一点12 a2b2成才要得法9一夕使得I尸々|+|尸/21=3b,p^lF^卜|PF2|=4ab，求双曲线的离心率.练习：(1)双曲线9y2-16x2=144的离心率x2y2一，… … (2)已知双曲线--)=1(a>0,b>0)的一条渐近线与曲线y=\：2x-1相切，则该双a2b2曲线的离心率为 例5已知双曲线。的离心率为2，焦点为F,F2,点A在C上，若匕A|=2|勺山，求cosZAF2F的值.例6双曲线E与椭圆x+[=1有公共焦点，且离心率为3.(1)求双曲线E的方程;2516 2(2)若斜率为1的直线l交双曲线E于A,B两点，且|AB|=4-；30，求l的方程.例7已知双曲线x2-4y2=4以及点M(8,1)，过点M的直线与双曲线相交于A,B两点,M为线段AB的中点，求直线的方程.成才要得法成功在励志成才要得法【过手练习】1.已知方程3+ =1的图象是双曲线，那么k的取值范围是（）2—kk-1A.k<1 b,k>2 c,k<1或k>2 d,1<k<2x2y22.双曲线.-2=1（a>0,b>0）的左、右焦点分别为F1,F2,P是双曲线上一点，满足\PF21=1F1F21，直线PF1与圆x2+y2=a2相切，则双曲线的离心率e为（）TOC\o"1-5"\h\z“5 - 2v3 5A.—B.\3 C. D.一4 3 3.过双曲线x2-气=1的右焦点F作直线l交双曲线于AB两点，若|AB|=4，则这样的直线l有（）A.1条 B.2条 C.3条 D.4条.过原点的直线l，如果它与双曲线y2-x2=1相交，则直线l的斜率k的取值范围是 .3 4x25.设P为双曲线丁-y2=1上一动点，O为坐标原点，M为线段OP的中点，则点M的轨4迹方程是 .【拓展训练】例8已知双曲线错误!未找到引用源。的一条渐近线方程为错误!未找到引用源。，两条准线的距离为l.（1）求双曲线的方程；（2）直线l过坐标原点O且和双曲线交于两点M、N,点P为双曲线上异于M、N的一点，且直线PM,PN的斜率均存在，求kPM・kPN的值.【链接高考】x2y2已知双曲线a-2_=1（"0,b>0）的一条渐近线平行于直线1：y=2x+10，双曲线的成才要得法成功在励志成才要得法TOC\o"1-5"\h\z一个焦点在直线/上，则双曲线的方程为 （ ）A二-龙=1 A上—22=1c堂—更=1。主—些=15 20 20 5 25 100 100 25【课后作业】.等轴双曲线C:x2-22=a2与抛物线22=16x的准线交于A,B两点，|AB|^4<3，则双曲线C的实轴长等于（）A.\2B.2v2 C.4 D.8X2 22T 「5.已知双曲线二--=1的一条渐近线的方程为2=丹x,则双曲线的焦点到直线的距离9 m 3为（）A.2 B.<14 C.工'5 D.2<5.若直线过点（3,0）与双曲线4x2-9y2=36只有一个公共点，则这样的直线有（）A.1条 B.2条 C.3条 D.4条.方程二——匕=1（keR）表示双曲线的充要条件是（ ）k-2k+3A.k〉2或k<-3 B,k<-3 C,k〉2 D,-3<k<2X2 22.过双曲线——=1（a〉0,b〉0）的左焦点作垂直于轴的直线与双曲线相交于两点，以a2 b2为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率等于 ..已知双曲线X2-22=1（a〉0