第2节数量积向量积混合积

*三、向量的混合积第二节一、两向量的数量积二、两向量的向量积数量积向量积*混合积第七章341学习指导教学目的：

掌握向量的数量积、向量积的概念，熟练掌握数量积、向量积的运算及性质。基本练习：会计算向量的数量积、向量积。342向量与数量是两个不同的概念。向量的运算是既有大小（模）又有方向的运算，这是与数的运算（只有大小）不相同的。要注意数量积、向量积、混合积的定义，不要将数的一些运算规律随意用到向量中．数的乘法只有一种，其结果还是数，而向量的乘法有多种，例如，数量积、混合积的结果是数，向量积的结果是向量。注意事项343一、两向量的数量积设一物体在常力F作用下沿直线从点M1移动到点M2.以s表示位移.数量积的物理背景

由物理学知道,力F所作的功为W|F||s|cos

,其中为F与s的夹角.启示两向量作这样的运算,结果是一个数量.344对于两个向量a和b,它们的模|a|、|b|及它们的夹角的余弦的乘积称为向量a和b的数量积,记作ab,即a·b|a||b|cos

.数量积的定义

根据数量积,力F所作的功W就是力F与位移s的数量积,即WFs.

345数量积与投影由于|b|cos|b|cos(a

^b),当a0时,|b|cos(a

^b)是向量b在向量a的方向上的投影,于是

a·b|a|Prjab.同理,当b0时,a·b|b|Prjba.所以,一、两向量的数量积数量积也称为“点积”、“内积”。结论两向量的数量积等于其中一个向量的模和另一个向量在这向量的方向上的投影的乘积。346关于数量积的说明：证证347数量积符合下列运算规律：（1）交换律：（2）分配律：（3）若为数：若、为数：348例1试用向量证明三角形的余弦定理记则有从而由及即得设在中，要证证：349数量积的坐标表达式设3410两向量夹角余弦的坐标表示式：由此可知两向量垂直的充要条件为3411

例2

已知三点M(1,1,1)、A(2,2,1)和B(2,1,2),求AMB.从M到A的向量记为a,从M到B的向量记为b,则AMB就是向量a与b的夹角.因为ab1110011,b(2,1,2)(1,1,1)a(2,2,1)(1,1,1)(1,1,0),(1,0,1).

解

3412证3413从而,所求液体的质量为

P=rAv·n.体积为

A|v|cosq=Av·n.这柱体的高为

|v|cosq,

解

单位时间内流过这区域的液体组成一个底面积为A、斜高为|v|的斜柱体.

例4

在流速为(常向量)v的液体内有一个平面区域A,n为垂直于A的单位向量,计算单位时间内经过这区域流向n所指一方的液体的质量P(液体的密度为r).3414实例二、两向量向量积从给定点到力作用线任意点的向径和力本身的矢积。

3415定义向量积的性质：//向量积的运算律：（1）交换性：（2）分配律：34163417——向量积的坐标表达式3418向量积可用三阶行列式表示//由向量积的坐标表达式知：例如，3419补充：3420解例4设，，计算.3421解3422解根据向量积的定义，三角形ABC的面积为例5已知三角形ABC的顶点分别是A(1,2,3)、B(3,4,5)和C(2,4,7)，求三角形ABC的面积.由于因此于是3423解三角形ABC的面积为3424提示：

例6

设刚体以等角速度绕l轴旋转,计算刚体上一点M的线速度.刚体绕l轴旋转时,我们可以用在l轴上的一个向量w表示角速度,它的大小等于角速度的大小,它的方向由右手规则定出:即以右手握住l轴,当右手的四个手指的转向与刚体的旋转方向一致时,大姆指的指向就是w的方向.

解

轴上任取一点O作向量r,并以表示设点M到旋转轴l的距离为a,再在lw与r的夹角,那么3425设线速度为v,那么由物理学可知|v||w|a|w||r|sin

;

a|r|sin

.v垂直于w与r,且v的指向是使w、r、v符合右手规则.因此有vwr.

例6

设刚体以等角速度绕l轴旋转,计算刚体上一点M的线速度.

解

轴上任取一点O作向量r,并以表示设点M到旋转轴l的距离为a,再在lw与r的夹角,那么3426三、向量的混合积**定义设混合积的坐标表达式3427（1）向量混合积的几何意义：关于混合积的说明：当组成右手系时，为正；当组成左手系时，为负.3428解3429式中正负号的选择必须和行列式的符号一致.3430（向量积为零；对应坐标成比例；线性相关）；1、向量的数量积2、向量的向量积3、数量积的坐标表示（结果是一个数量）；（结果是一个向量）；（对应坐标乘积之和）；四、小结4、向量积的坐标表示（行列式）；5、向量垂直的充要条件（数量积为零；对应坐标乘积之和为零）；6、向量平行的充要条件7、向量积的几何意义（其模为平行四边形的面积）。8、*混合积及其几何意义（其绝对值