第3讲系统的数学模型2

《控制工程基础》

BasisofControlEngineering

任课教师：李建民 电话 教学方式：讲授为主

学习方式：听课+自学三江学院机械工程学院第二章系统的数学模型

教学要求：（教材第二章）主要内容：Laplace变换；微分方程模型；系统模型的线性化；传递函数模型、框图和信号流图模型及其化简。基本要求：掌握控制模型建立、线性化、化简方法。三江学院机械工程学院2.1引言控制是使被控对象按照我们预定方式工作控制目的：y(t)r(t)控制要求：快、准、稳控制器被控

对象预期输出r(t)实际输出y(t)误差

e(t)控制量

u(t)+-y(t)e(t)=r(t)-y(t)三江学院机械工程学院2.1引言被控

对象微分方程建模求解微分方程的解分析控制问题是非常复杂的，解决复杂问题，更为重要的是思想方法：要善于抓住事物的本质，使复杂问题得到简化。基本问题得到解决，次要问题也就能迎刃而解三江学院机械工程学院第三次授课内容 控制问题的本质、如何更加简洁地描述控制系统？？？物理系统的微分方程模型微分方程的线性化线性微分方程的解物理系统的传递函数模型三江学院机械工程学院2.3物理系统的微分方程模型例1：质量-弹簧-阻尼器系统的动力学方程质量M弹簧k摩擦r(t)牵引力系统输入为：

牵引力r(t)系统输出为：

物体M的位置y(t)三江学院机械工程学院2.3物理系统的微分方程模型解：1)设y(t)表示物体M的位置，由牛顿第三定律，有2)物体M所受合力为：牵引力、弹簧拉力和摩擦力的叠加，有3)弹簧拉力与弹簧伸长成正比，方向相反，k为弹簧弹性系数，有假设y=0时，弹簧处于自然伸长状态三江学院机械工程学院2.3物理系统的微分方程模型解：4)假设摩擦力与物体速度成正比，方向相反，有5)所以，物体M运动方程为：6)整理后，有三江学院机械工程学院2.3物理系统的微分方程模型例2：电阻—电感—电容电路(RLC电路)Lr(t)C+-电流源RA系统输入为：电流源电流r(t)系统输出为：

A点电压VA(t)三江学院机械工程学院2.3物理系统的微分方程模型电阻、电感、电容的特性LCR三江学院机械工程学院2.3物理系统的微分方程模型例2：电阻—电感—电容电路(RLC电路)Lr(t)C+-电流源RA系统输入为：电流源电流r(t)系统输出为：

A点电压VA(t)三江学院机械工程学院2.3物理系统的微分方程模型解：(1)A点流入的电流与流出的电流相等(2)由电阻、电感、电容的特性，有(3)系统微分方程为三江学院机械工程学院2.3物理系统的微分方程模型例子3：单摆系统非线性方程：θ质量M长度L非线性方程的求解非常困难三江学院机械工程学院2.3物理系统的微分方程模型解:(1)在转动系统中，与牛顿第三定律相对应，也有类似定律：(2)其中J为转动惯量，与质量相对应，有(3)为重力引起的转动力矩，有三江学院机械工程学院2.3物理系统的微分方程模型解:(4)所以，单摆的动力学方程为：(5)整理后，得到其中L为绳长，g为重力加速度三江学院机械工程学院2.3物理系统的微分方程模型例4Lorenz方程：蝴蝶效应----混沌系统南美亚马逊丛林中的一支蝴蝶轻轻煽动了一下翅膀，却引起了……三江学院机械工程学院2.3物理系统的微分方程模型

世界的本质是非线性的，物理系统一般采用非线性微分方程来描述。然而非线性微分方程的求解非常困难，不一定有解析解，甚至不一定有解。 控制问题的复杂性源于世界的复杂性。 在大多数情况下，线性微分方程是对真实世界的一种很好的近似描述方法。线性微分方程具有非常成熟的解的理论，因此成为控制理论的重要基础。三江学院机械工程学院2.4微分方程模型的线性化1线性系统的定义

同时满足叠加性和齐次性的系统称为线性系统系统输入x输出y(x)三江学院机械工程学院2.4微分方程模型的线性化叠加性：系统输入x1输出y1输入x2输出y2对于任意的输入x1，x2而言，有(1)输入为x1时,系统输出为y1；(2)输入为x2时,系统输出为y2；如果当输入为x1+x2时，系统输出满足：

y(x1+x2)=y1+y2则称系统满足叠加性。三江学院机械工程学院2.4微分方程模型的线性化齐次性：系统输入x输出y输入x输出y对于任意的输入x和任意的常数而言，有1、若输入为x,系统输出为y(x)；2、若输入为x，系统输出满足：y(x)=y(x)则称系统满足齐次性。三江学院机械工程学院2.4微分方程模型的线性化例1：线性系统判别y=x2输入x输出y(x)(1)叠加性判别：(2)齐次性判别：三江学院机械工程学院2.4微分方程模型的线性化例2：线性系统判别y=mx+b输入x输出y(x)(1)叠加性判别：(2)齐次性判别：三江学院机械工程学院2.4微分方程模型的线性化例2+：线性系统判别y=mx输入x输出y(x)(1)叠加性判别：(2)齐次性判别：三江学院机械工程学院2.4微分方程模型的线性化例3：线性系统判别输入x输出y(x)(1)叠加性判别：(2)齐次性判别：三江学院机械工程学院2.4微分方程模型的线性化例4：线性系统判别输入x输出y(x)(1)叠加性判别：(2)齐次性判别：三江学院机械工程学院2.4微分方程模型的线性化2线性化方法：质量M弹簧k摩擦r(t)牵引力第一种方法：直接用线性模型对对象进行建模。例如：弹簧力的建模三江学院机械工程学院2.4微分方程模型的线性化2线性化方法：质量M弹簧k摩擦r(t)牵引力第一种方法：直接用线性模型对对象进行建模。例如：摩擦力的建模三江学院机械工程学院2.4微分方程模型的线性化2线性化方法：第一种方法：直接用线性模型对对象进行建模。LCR三江学院机械工程学院2.4微分方程模型的线性化线性化第二种方法：对已经用非线性建模的系统，可以对其进行小信号线性化。也就是用最贴近的线性模型来代替非线性模型。工作点x0输入x输出y三江学院机械工程学院2.4微分方程模型的线性化忽略泰勒展开的高阶项，则(x-x0)和(y-y0)之间是线性关系。这里y0=f(x0)令x=x-x0和y=y-y0，则对系统而言，小信号输入与输出间是线性关系三江学院机械工程学院2.4微分方程模型的线性化在信号幅值变化不是很大情况下，小信号线性模型是对非线性模型的良好近似。所以工作点x0输入x输出y输入x输出y非线性模型小信号模型三江学院机械工程学院2.4微分方程模型的线性化例5：小信号线性建模工作点x0=1输入x输出y非线性模型输入x输出y小信号线性模型三江学院机械工程学院2.4微分方程模型的线性化例5：小信号线性建模三江学院机械工程学院2.4微分方程模型的线性化例6：单摆系统非线性方程：线性方程：θ质量M长度L三江学院机械工程学院1系统微分方程的解例1：考虑下述微分方程所描述的系统：初始条件为。输入激励r(t)=1(t)。

2.5线性系统的传递函数系统r(t)y(t)三江学院机械工程学院解：(1)对微分方程每一项，进行Laplace变换(2)其中

线性微分方程求解三江学院机械工程学院解：(3)对方程(1)合并同类项，得线性微分方程求解(4)其中方程(3)等式右边，第一项是初始条件的影响，第二项为输入对系统的影响。等式左边的多项式称为微分方程的特征多项式，其决定了微分方程解的结构。三江学院机械工程学院线性微分方程求解解：(5)代入初始条件，整理得(6)部分分式展开，得三江学院机械工程学院线性微分方程求解(7)所以：(8)y(t)由两项组成，第一项为初始条件的影响，第二项为输入的影响。三江学院机械工程学院在求解微分方程的过程中，可以有如下结论：由微分方程决定的系统特征多项式，决定了解的结构特征方程即特征多项式等于0，其解即为特征根求解微分方程的目的，不在于多么精确地求解微分方程，而要善于抓住主要矛盾，忽略次要矛盾，弄清微分方程的本质。例如本系统的输入——输出关系，完全可以用如下的传递函数加以刻画。线性微分方程求解三江学院机械工程学院1微分方程的解特征多项式：特征方程：特征根：微分方程解的构型：2.5线性系统的传递函数三江学院机械工程学院1微分方程的解2.5线性系统的传递函数系统r(t)y(t)对于描述系统的微分方程而言，其解的结构由特征方程给出。或者换句话说就是：线性微分方程的本质就是特征方程（代数方程）。微分方程：特征方程：三江学院机械工程学院2.5线性系统的传递函数2.代数方程的解(1)解一元二次方程显然：有两个解,为：三江学院机械工程学院2.5线性系统的传递函数2.代数方程的解(2)解一元二次方程显然，直接套用求根公式，有：三江学院机械工程学院2.5线性系统的传递函数其中i为虚数单位:显然，线性代数方程的复根必然成对出现（关于实轴对称）。-1/2实轴虚轴x1x2三江学院机械工程学院2.5线性系统的传递函数2.代数方程的解(3)高阶线性代数方程的解n阶代数方程，必有n个根。复根必然成对出现(关于实轴对称)。三江学院机械工程学院2.5线性系统的传递函数例如：3阶线性代数方程的解

-1实轴虚轴x2x3x1有：三江学院机械工程学院2.5线性系统的传递函数然而，3阶以上的一般线性代数方程非常难解：例如三江学院机械工程学院2.5线性系统的传递函数(4)微分方程的解特征根决定了微分方程解的结构：三江学院机械工程学院(4)微分方程的解2.5线性系统的传递函数系统r(t)y(t)精确求解微分方程并不是控制理论的主要目的，通过求解来把握系统本质才是根本。利用微分方程来描述系统还是过于复杂，可以尝试利用特征方程来简化对系统的描述。三江学院机械工程学院线性系统输入r(t)输出y(t)2.5线性系统的传递函数三江学院机械工程学院线性系统的传递函数定义为输出变量的拉普拉斯变换与输入变量的拉普拉斯变换之比。输入、输出变量的初值都假定为零。2.5线性系统的传递函数G(s)输入R(s)输出Y(s)三江学院机械工程学院2.5线性系统的传递函数由于传递函数不考虑初始条件，所以实微分定理简化为：微分算子三江学院机械工程学院2.5线性系统的传递函数实积分定理简化为：积分算子三江学院机械工程学院2.5线性系统的传递函数质量

M

k

摩擦

r(t)

牵引力

y直接将微分用s代替，就能将微分方程转变为传递函数：例如三江学院机械工程学院2.5线性系统的传递函数Lr(t)C+-电流源RA直接将微分用s代替，积分用1/s代替，就能将微分方程转变为传递函数：三江学院机械工程学院2.5线性系统的传递函数 电阻、电感、电容的特性RLC可以把电感、电容都看成电阻，电感的阻抗为Ls，电容的阻抗为1/Cs三江学院机械工程学院2.5线性系统的传递函数Lr(t)C+-电流源RA电感、电容都建模为阻抗三江学院机械工程学院2