光学信息课件

第二章标量衍射的角谱理论光波是电磁波，其传播过程满足电磁波波动方程。当遇到障碍物时，光波会发生衍射。电磁波是矢量波，严格电磁场衍射理论必须考虑其电场强度和磁场强度的矢量性。一定条件下，可以不考虑电磁场矢量各个分量之间的联系，电磁波矢量方程可以写为分量方程（标量方程）——

光波作为标量处理标量衍射理论条件： （1）衍射孔径比光波长大得多;

（2）观察点距离衍射孔足够的远。光波传播理论发展历史1678年惠更斯提出“子波”概念——惠更斯原理1818年菲涅尔发展惠更斯原理，指出“子波”是相干的，提出惠更斯-菲涅尔原理1882年，基尔霍夫利用格林定理，通过求解电磁场波动方程，导出严格的标量衍射公式——基尔霍夫标量衍射理论。基尔霍夫衍射理论出发点——点光源发出的球面波是光波传播的基元函数

空间任意一点电场或磁场分量在无源区满足的标量波动方程，,式中为拉普拉斯算子。为电磁波传播速度。

波动方程为线性方程，满足该波动方程的基本解的线性组合都是方程的解。球面波和平面波都是波动方程的解。任何复杂的光波都可以用球面波和平面波的组合表示，它们的解也都满足波动方程。2.1光波的数学描述2.1.1光波场的复振幅单色光波场：写为复指数形式：与空间位置有关的部分：

U(P)称为光波场中P点的复振幅。包涵了P点光振动的振幅和相位。它与时间无关。利用复振幅表示的光振动：P点光强度：2.1.2球面波的复振幅任何复杂光波场都可以看作许多点光源的集合，它所发出的光波就是球面波的叠加。当光波场为非相干场时，点光源互不相干，它们发出的光波叠加为光强度叠加。当光波场为相干场时，光场的叠加为光波复振幅的叠加。点光源发出的光波为球面波，研究球面波的复振幅表示是非常重要的。坐标系几何示意图

光学中一般考虑的是某一给定平面的光场分布，如衍射物平面和观察平面的光场分布。

x0y0osxyPzz球面波的复振幅对于单色发散球面波当点光源位于坐标原点时：

r为观察点到原点的距离：会聚球面波：

若点光源位于空间任意一点，

其球面波复振幅形式不变，此时有

设光源位于平面，观察面位于其中，r可以写为：当x-y平面上只考虑一个对S点张角不大的区域，有：点光源光波场近似点光源光波场近似利用二项式展开，并略去高阶项，有

称为傍轴近似将上面r的表达式代入球面波复振幅表达式，则发散的球面波在x-y平面上的复振幅说明：分母中r直接用z1替代，而指数项中r由于波长λ极小，很大，上式中第二项不能省略点光源光波场相位因子和复振幅X-y平面上相位称为球面波的二次相位因子其相位轨迹方程： 为同心圆环簇。光源位于原点，且傍轴近似条件下的发散球面波复振幅为2.1.3平面波的复振幅平面波也是光源最简单的一种形式。平面波的特点是等相位面是平面。在各向同性介质中，等相面与传播方向垂直，各点的振幅为常数。点光源发出的光波经透镜准直，或者把点光源移到无穷远，可以近似获得平面波。

在确定的直角坐标系中，若平面波传播方向的方向余弦为则沿方向传播的单色平面波，点处产生的复振幅可以表示为

式中a0

表示常数振幅，方向余弦之间存在着下述关系：平面波的复振幅平面波的复振幅

平面波复振幅表达式可以写为：令

x-y平面上的复振幅分布可以表示为：平面波等相线平面波等相位线方程——直线方程。x0y0zxyo2.1.4平面波空间频率平面波的空间频率是信息光学中常用的基本物理量，深入理解这个概念的物理含义是很重要的首先研究波矢量位于xz平面内的简单情况，考虑oyXADCBxx0BxzXAoCD平面波空间频率等相位线方程为复振幅在xy平面上周期分布的空间周期，可以用相位差的两相邻等相位线的间距X表示则有x方向的空间频率用表示

单位：1/mm等相位线平行于y轴，可以认为沿y方向的空间周期因此y方向的空间频率平面波空间频率

传播方向余弦为(cosα,0)的单色平面波在x-y平面上的复振幅分布可用x，y方向的空间频率来表示：由空间频率与传播方向余弦之间的对应关系，我们可将上式看成传播方向余弦为的单色平面波。

任一传播方向的平面波

在传播方向余弦为的一般情况下，x-y平面上的等相位线是一些平行斜线。X-y平面上沿x方向和y方向的复振幅分布都是周期变化的，其周期空间X和Y分别为相应的空间频率分别为xyXYo任一传播方向的平面波空间频率表示x-y平面上的复振幅分布代表了一个传播方向余弦为的单色平面波。我们观察的不是某一个平面上而是整个空间光场分布，可以类似地定义沿z方向的空间频率 有由有

注意

空间频率的概念同样可以描述其它物理量如光强度的空间周期分布，但它们有不同的物理含义。 对于非相干照明的平面上的光强分布，也可以通过傅里叶分析利用空间频率来描述。但空间频率不再和单色平面波有关，也就不再对应沿某一方向传播的平面波。

表示在x-y平面上光场分布，在相干照明下，利用傅里叶变换，复振幅分布可表示成式中是的频谱。上式表明，可以看做无数指数基元叠加而成的，叠加时任一确定频率的指数基元权重是，这些指数基元在物平面上的取向和周期随不同而各不相同，也就是说，物函数可以分解为无穷多个不同频率、不同权重的指数基元。复振幅分布的空间频谱

复振幅分布的空间频谱

指数基元代表一个传播方向余弦为的单位振幅的单色平面波表示物函数可以看做不同方向传播的单色平面波分量的线性叠加。平面波分量的传播方向与空间频率相对应，其相应的振幅和常数相位取决于频谱。

为平面波的角谱。引入角谱的概念有助于进一步理解复振幅分解的物理意义．平面波的角谱用方向余弦表示，有（傅里叶变换）作业

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