理想流体的运动微分方程

1.3.4理想流体的运动微分方程1.3.4.1理想流体运动微分方程推导原理：牛顿第二定律：

在微元六面体的中心有一点，该点流体的密度为，压力为，微元六面体的边长为对微元六面体进行受力分析。面上中心点的压强为；面上中心点的压强为；

在x轴方向上进行受力分析：（1）表面力：则x方向的净表面力(2)在x轴方向上的质量力为：式中X为单位质量力在x轴方向上的分量。(3)在x方向的合外力代数和应为质量与分加速度乘积：同理在y，z轴方向上也有：得或即和所以有：

这就是理想流体运动微分方程，即欧拉运动微分方程。因此，得到：欧拉运动微分方程写成：写成矢量表达式为：式中哈密顿算子：1.3.4.2欧拉运动微分方程的求解欧拉运动微分方程建立了作用在理想流体上的力与流体运动加速度之间的关系，它是研究理想流体各种运动规律的基础，对可压缩及不可压缩理想流体的稳定流动都是适用的。一般情况下，作用在流体上的单位质量力X、Y、Z是已知的，对理想不可压缩流体密度为常数，三个微分方程中未知数有四个，即ux、uy、uz和p，因此需要加上连续性方程，方程是可解的。对于可压缩流体，密度是变量，需要再加上气体状态方程式，方程组理论上也是可以求解的。

然而，要具体确定方程组的解，还要给出起始条件和边界条件。1.3.5理想流体的柏努利方程式（导出条件1）（导出条件2）1.3.5.1理想流体稳定流动沿流线（微细流）的积分条件：稳定流动：理想流体：将欧拉运动微分方程写成：

因为只考虑稳定流动，所以上式中的p，ux，uy，uz都只是坐标x，y，z的函数，而与时间无关。将上面的三式分别乘以，累次相加。首先分析x方向的动能：由流线方程：

有：同理：设存在这样一个函数（力函数），满足：那么：

……柏努利积分式则积分：和

不可压缩：只有重力的作用：

由柏努利积分式：

得或对于流线上任意两个质点1和2来说，有：式中各项分别为单位质量的流体具有的位能，静压能及动能，()。（导出条件3）（导出条件4）1.3.5.2理想流体稳定流动总流的柏努利方程任何稳定流动的总流，都可以看成是无穷多微小流束的总和。在总流中某一微小流束的不同有效截面上的物理参数不一定相同。（1）均匀流与缓变流均匀流：如果有效断面或平均流速沿程不变，且流线为平行直线这样的稳定流称为均匀流。非均匀流：如果有效断面沿程变化，或者有效断面不变，但各断面上速度分布改变，这种流动称为非均匀流。缓变流：凡有效断面上流线间夹角很小，流线曲率半经无限大，即流线趋近于平行线的流动称缓变流。急变流：不符合缓变流条件的流动为急变流。（2）理想流体稳定流动总流的柏努利方程

现在讨论如何把微小流束柏努利方程应用于总流的缓变流断面，从而建立理想流体总流的柏努利方程。在任一微小流束上某一断面的流体质点具有的单位重量流体机械能为：

以

的重量流量通过微小流束有效断面的流体总能量为：单位时间内通过总流有效断面流体的总能量为：上式除以通过总流有效断面流体重量流量，则得给定断面流体平均单位能量：如果所取断面符合缓变流条件时，有效断面上各点为一常数，并由连续性方程，上式变为：得：

上式中前两项为总流在有效断面上单位重量流体的平均位能和压力能，第三项为单位重量流体的平均动能，单位为流体柱高。

为了方程的方便应用，现在用断面平均流速v代替真实速度u，并引入动能修正系数α。

动能修正系数α是由于断面上速度分布不均匀而引起的，不均匀性愈大其值愈大。在紊流管道中α＝1.05~1.10；圆管层流运动α＝2。实际工程计算一般取α＝1。

对于管道流动，取如图基准面，列出1－1和2－2截面的总流柏努利方程：式中：α1，α2分别为两截面处的动能修正系数；v1，v2分别为两截面处的平均流速，m/s。

—单位重量流体具有的位能，m流体柱；

—单位重量流体具有的静压能，m流体柱；

—单位重量流体具有的动能，m流体柱。（1）（2）（3）对于式（3）：1.3.5.3柏努利方程式的解释

柏努利方程式中各项分别表示微细流中某一截面上单位重量流体所具有的的静压能、位能、动能。

它们的和是一常数。柏努利方程是机械能守恒定律在流体力学中的具体体现。(1)物理意义

(2)几何意义图示能量分布图：

为单位重量流体所具有的动能，又称速度压头或动压头，是单位重量流体的动能所产生的流体柱的高度。其中：z为单位重量流体所具有的位能，又称几何压头或位压头；为单位重量流体所具有的静压能，又称静压头，是单位重量流体的压力能产生的流体柱的高度；

(3)柏努利方程还说明机械能是可以相互转化的。1-1截面→2-2截面z2<z1则柏努利方程的应用条件：1）单流体，z轴的方向向上为正；2）截面选择在缓变截面上；3）流体为理想流体；4）流体为稳定流动；5）流体为不压缩性流体；6）流体只受到重力作用。1.3.6实际流体（粘性流体）的柏努利方程式

实际流体都具有粘性，使得流体流动时需要消耗一部分机械能，以克服由于粘性而产生的切向阻力。因而在各截面上单位重量流体的能量便不能保持一定，所以对于粘性流体的微细流：

式中的hw是为克服截面1－1与2－2之间的阻力，单位重量的流体所消耗的机械能，称为压头损失。

对于不可压缩的粘性流体的微细流，作稳定流动时其柏努利方程式应改写成为：1.3.6.1微细流

对于粘性流体的总流，作稳定流动时的柏努利方程式为：1.3.6.2总流

对于圆形管道中的稳定缓变流：

层流时＝2；湍流时＝1.05～1.10；通常工程上取=1为截面的平均流速；为动能修正系数，通常由实验确定。

式中：所以：

如果管道中装设有对流体作功的机械，能够使管道中的流体的机械能增加。如果单位重量的流体所获得的外加有效机械能为HeJ/m或m，则柏努利方程式可写为：柏努利方程的三种形式：——以单位重量流体为基准，单位为m流体柱或J/N。——以单位质量流体为基准，单位为m2/s2或J/kg。——以单位体积流体为基准，单位为Pa或J/m3。例题：如图所示，有一开口大容器的出水管管径为d=10cm，当水龙头关闭时压力表读数为49050Pa（表压），水龙头开启后压力表读数降至19620Pa（表压）。如果水流动时的总能量损失为4905Pa，而上水位保持不变，试求通过管路的水流流量。

解：设p1为表压强。在水管关闭时，以1-1为基准面列1-1截面和2-2截面的柏努利方程：

p1关＋pa

＝pa＋ρgH

所以p1关=ρgH=49050Pa

当水管开启时，以1-1为基准面列1-1截面和2-2截面的柏努利方程：式中ρg