浙大版概率论第04讲

第二章

随机变量及其分布为什么要研究学习随机变量,首先看一个实际问题.例1从某型电子元件中任取一件,观测其寿命(设为试验E)我们关心诸如{寿命在15002000小时},{寿命小于1000小时}等事件的概率.这些只是随机试验事件E的某些特殊的事件.

问题我们希望了解随机现象某方面的特性，此时需要掌握某些关心的事件的概率。如何用数学的方法系统地表达这些事件，从而研究随机现象的特性呢？——通过引入一个变量，即X:SR1,的方法来进行研究，并且希望通过{e:X(e)B}来表达关心的事件,其中B为R1上可以度量的区域。这样我们就可以利用数学分析的方法研究随机现象。

例2.掷一枚硬币，观察其面朝上的情况

样本空间，S={正面，反面）

满足

X(正面）=1，X（反面）=0定义映射X:SR

也称X为掷一枚硬币，其面朝上的次数。例3.对于某型电子元件，任抽一件，观测其寿命。

样本空间，S={t;t0）定义映射X:SRtt

也称X为任抽该型一电子元件，该电子元件的寿命。以上我们定义了样本空间到实数域上的一个对应关系X：e.X(e)R§2-1随机变量

定义：

设(S，，P)是一概率空间，若X为样本空间S上的函数：X：S

R1

e

X(e)满足：xR1,有{e:X(e)x}

则称X(e)为(S,,P)上的一个随机变量。常常将{e：X(e)x}简记为（Xx）。

随机变量与一般实函数的比较：

X的取值随试验的结果而定，因而在试验之前只知道它可能取值的范围，而不能预先肯定它将取哪个值。我们可以求它取某一值的概率，或它取值落入某一集合的概率。如P(e:X(e)=1)=P(X=1),P(e:X(e)L)=P(XL).

这些性质显示了随机变量与普通函数有着本质的差异.

有了随机变量，随机试验中的各种事件，就可以通过随机变量的取值表达出来。

随机变量概念的产生是概率论发展史上的重大事件。引入随机变量后，对随机现象统计规律的研究，就由对事件及事件概率的研究扩大为对随机变量及其取值规律的研究.事件及事件概率随机变量及其取值规律§2-2离散型随机变量

1

定义

若随机变量X所有可能的取值为有限个或可列无穷多个，则称X为离散型随机变量。否则称为非离散型随机变量。

2.离散型随机变量的分布

定义：若随机变量X所有可能的取值为x1，x2，…，xi，…，且X取这些值的概率为

P(X=xi)=pi,i=1,2,...（2.1）则称（2.1）式为离散型随机变量X的分布律。(2.1)式也可以用表格的形式表示如下:上述表格称为离散型随机变量X的分布列，分布列也可以表示成下列矩阵的形式Xx1x2…xi…Pp1p2…pi…性质

(1)pi0,i=1，2，...(2)例4

设随机变量所有可能取的值为1,2,...,n，且已知P(X=i)与i成正比，求X的分布;

例4`设随机变量X的分布律为X-123P1/41/21/4求P(X1/2),P(3/2<X

5/2),P(2

X3),

例5.

一汽车沿一街道行驶，需要通过四个均设有信号灯的路口，每个信号灯以1/2的概率允许或禁止汽车通过，设各信号灯的工作是相互独立的。以X表示该汽车首次停下时，它已通过的路口的个数，求X的分布律.解：见书p32例13几种常见的离散型随机变量(1)单点分布例6

若随机变量X只取一个常数值C，即P(X=C)=1，则称X服从单点分布。例7

若随机变量X只取两个数值0或1，其分布为X01Pqp(2)0-1分布0<p<1,q=1-p，或记为

P(X=k)=pkq1-k,k=0,1则称X

服从参数为p

的两点分布或参数为p的0-1分布。(3)几何分布

例8

一射手每次打靶射击一发子弹，打中的概率为p(0<p<1),不中的概率为q=1-p。今向靶作独立重复射击，直到中靶为止，则消耗的子弹数X

是一个离散型随机变量，其分布为X123…k…Ppqpq2p…qk-1p或记为

P(X=k)=qk-1p,k=1,2,...称X服从参数为p的几何分布。(4)超几何分布例9

设一批同类型的产品共有N件，其中次品有M件。今从中任取n(假定nN-M)件，则这n件中所含的次品数X是一个离散型随机变量，其分布为m=0,1…,l,l=min(M,n)

称X服从超几何分布

n重伯努利试验概型：(参见书p41-43)n重伯努利试验中事件

A出现k次的概率记为且

伯努利(Bernoulli)试验概型

每次试验的结果与其他次试验无关——

称为这n次试验是相互独立的试验可重复n次每次试验只有两个可能的结果：

解每取一个球看作是做了一次试验记取得白球为事件A有放回地取4个球看作做了4重Bernoulli试验,记第i次取得白球为事件Ai感兴趣的问题为:4次试验中A发生2次的概率例4

袋中有3个白球,2个红球,有放回地取球4次,每次一只,求其中恰有2个白球的概率.设E为伯努利试验，且P(A)=p(0<p<1)，对于n重伯努利概型En，事件A恰好发生k(0kn)次的概率为

k=0,1,2,…,n

证明与前面的例4类似.下面看一些例题:例5某射手的命中率为0.9，他独立重复向目标射击5次，求他恰好命中4次的概率.(2)他恰好不命中3次的概率.

例6把有7个编号的同类型的球扔进4个编号的盒子中，每个球被扔进任何一个盒子中都是等可能的。求第一个盒子恰有两个球的概率。1例7设有一批产品，共100件，其中4件废品，96件正品，任取三件测试（每次测试是独立的），若有一件测试不合格就拒绝接受。又设次品在检查时测试为合格品的概率为0.05，而正品被误测为不合格的概率是0.01。求该批产品被接受的概率(5)二项分布

设在一次伯努利试验中有两个可能的结果，且有P(A)=p。则在n重伯努利试验中事件A发生的次数X是一个离散型随机变量，其分布为k=0,1,2,,n,

称X服从参数为n，p的二项分布，记为

X~b(n,p)下面看一看它的分布情况:(c)b(6，0.3)的线条图(6)泊松分布

定义:若离散型随机变量X的分布为

k=0，1，2，其中常数

>0，

则称X服从参数为的泊松分布,记为X()。下面看一看它的分布情况:

假设电话交换台每小时接到的呼叫次数服从参数=3的泊松分布，求

(1)

每小时恰有4次呼叫的概率

(2)一小时内呼叫不超过5次的概率例10

例11（请见书p38例5,同学们自己看一看）

§2-3随机变量的分布函数

1.概念定义2.1

设X是一随机变量（不论是离散型还是非离散型），对任意的实数x,令

则称F(x)为X的分布函数。例12:

设X服从参数为p的二点分布，即：

k=0,1其中0<p<1,q=1-p。求X的分布函数F(x)。解答如下:

解:对任意实数x,由X的分布律知于是2.离散型随机变量X的分布函数

若X的分布律为，i=1,2,...,则X的分布函数为

当1x<2时，

F(x)=P(X=0)+P(X=1)=+=当x2时，

F(x)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)=1例13，求F(x).F(x)=P(X

x)解:故注意右连续，分段时等号在左边下面我们从图形上来看一下.画分布函数图

不难看出，F(x)

的图形是阶梯状的图形，在

x=0，1，2处有跳跃，其跃度分别等于P(X=0),P(X=1),P(X=2).3.随机变量分布函数F(x)的性质(1)单调性：若x1<x2,则

F(x1)F(x2)特别地P(a<Xb)=F(b)-F(a)(2)非负性，规一性：对任意的实数x，均有

0

F(x)1

且(3)右连续性:对任意的实数x0

,有(4)P(X=x0)=F(x0)-F(x0-0)

若F(x)在X=x0处连续，则

P(X=x0)=0§2-4连续型随机变量一.连续型随机变量及其概率密度

1.定义2.2

设随机变量X的分布函数为F(x),如果存在一个非负可积函数f(x),使对任意的实数x，均有则称X是连续型随机变量，称f(x)是X的概率密度或密度函数，简称密度。连续型随机变量X的分布函数F(x)和密度函数f(x)统称为X的概率分布，简称X的分布。2.概率密度函数的性质（1）（2）

f(x)xo面积为1(3)P(a<Xb)=F(b)-F(a)

(4)在f(x)的连续点x处，有

故

X的密度f(x)

在x

这一点的值，恰好是X落在区间上的概率与区间长度之比的极限.它反映了X在x附近单位