D103高阶线性微分方程

机动目录上页下页返回结束高阶线性微分方程第三节一、线性齐次微分方程解的结构三、常系数线性齐次微分方程

五、Euler方程

第十章二、线性非齐次微分方程解的结构四、常系数线性非齐次微分方程

证毕一、线性齐次微分方程解的结构是二阶线性齐次方程的两个解,也是该方程的解.证:代入方程左边,得(叠加原理)

定理1.机动目录上页下页返回结束说明:不一定是所给二阶方程的通解.例如,是某二阶齐次方程的解,也是齐次方程的解并不是通解但是则为解决通解的判别问题,下面引入函数的线性相关与线性无关概念.机动目录上页下页返回结束定义:是定义在区间I

上的

n个函数,使得则称这

n个函数在I

上线性相关,否则称为线性无关.例如，

在(,)上都有故它们在任何区间I

上都线性相关;又如，若在某区间

I

上则根据二次多项式至多只有两个零点,必需全为0,可见在任何区间

I

上都线性无关.若存在不全为

0

的常数机动目录上页下页返回结束两个函数在区间I

上线性相关与线性无关的充要条件:线性相关存在不全为0的使(无妨设线性无关常数思考:中有一个恒为0,则必线性相关(证明略)线性无关机动目录上页下页返回结束定理2.是二阶线性齐次方程的两个线性无关特解,则数)是该方程的通解.例如,方程有特解且常数,故方程的通解为(自证)

推论.是

n

阶齐次方程的n

个线性无关解,则方程的通解为机动目录上页下页返回结束二、线性非齐次方程解的结构

是二阶非齐次方程的一个特解,Y(x)是相应齐次方程的通解,定理3.则是非齐次方程的通解.证:

将代入方程①左端,得②①复习目录上页下页返回结束是非齐次方程的解,又Y中含有两个独立任意常数,例如,

方程有特解对应齐次方程有通解因此该方程的通解为证毕因而②也是通解.机动目录上页下页返回结束定理4.分别是方程的特解,是方程的特解.(非齐次方程之解的叠加原理)定理3,定理4均可推广到n

阶线性非齐次方程.机动目录上页下页返回结束定理5.是对应齐次方程的n

个线性无关特解,给定n

阶非齐次线性方程是非齐次方程的特解,则非齐次方程的通解为齐次方程通解非齐次方程特解机动目录上页下页返回结束常数,则该方程的通解是().设线性无关函数都是二阶非齐次线性方程的解,是任意例1.提示:都是对应齐次方程的解,二者线性无关.(反证法可证)机动目录上页下页返回结束例2.

已知微分方程个解求此方程满足初始条件的特解.解:是对应齐次方程的解,且常数因而线性无关,故原方程通解为代入初始条件故所求特解为有三机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束三、常系数线性齐次微分方程

基本思路:求解常系数线性齐次微分方程求特征方程(代数方程)之根转化二阶常系数齐次线性微分方程:和它的导数只差常数因子,代入①得称②为微分方程①的特征方程,1.当时,②有两个相异实根方程有两个线性无关的特解:因此方程的通解为(r

为待定常数),①所以令①的解为②则微分其根称为特征根.机动目录上页下页返回结束2.当时,

特征方程有两个相等实根则微分方程有一个特解设另一特解(u(x)待定)代入方程得:是特征方程的重根取u=x,则得因此原方程的通解为机动目录上页下页返回结束3.当时,

特征方程有一对共轭复根这时原方程有两个复数解:利用解的叠加原理,得原方程的线性无关特解:因此原方程的通解为机动目录上页下页返回结束小结:特征方程:实根特征根通解以上结论可推广到高阶常系数线性微分方程.机动目录上页下页返回结束若特征方程含k

重复根若特征方程含k

重实根r,则其通解中必含对应项则其通解中必含对应项特征方程:推广:机动目录上页下页返回结束例1.的通解.解:

特征方程特征根:因此原方程的通解为例2.

求解初值问题解:

特征方程有重根因此原方程的通解为利用初始条件得于是所求初值问题的解为机动目录上页下页返回结束例3.的通解.解:特征方程特征根:因此原方程通解为例5.解:

特征方程:特征根:原方程通解:(不难看出,原方程有特解推广目录上页下页返回结束例4.解:特征方程:即其根为方程通解:机动目录上页下页返回结束例5.解:

特征方程:特征根为则方程通解:机动目录上页下页返回结束内容小结特征根:(1)当时,通解为(2)当时,通解为(3)当时,通解为可推广到高阶常系数线性齐次方程求通解.练习:求方程的通解.答案:通解为通解为通解为思考题为特解的4阶常系数线性齐次微分方程,并求其通解.解:

根据给定的特解知特征方程有根:因此特征方程为即故所求方程为其通解为机动目录上页下页返回结束三、n阶常系数齐次线性方程解法特征方程为特征方程的根微分方程通解中的对应项(ii)一对单复根r1,2＝(iv)一对k重复根r1,2＝(iii)k重实根r(i)单实根r给出一项：Cerx给出两项：给出k项：给出2k项：四、常系数线性非齐次微分方程根据解的结构定理,其通解为非齐次方程特解齐次方程通解求特解的方法根据

f(x)的特殊形式,的待定形式,代入原方程比较两端表达式以确定待定系数.①—待定系数法机动目录上页下页返回结束特款：λ=0时，f(x)=Pm(x)

多项式型:而多项式与指数函数乘积的导数仍是同一类型的函数，可以推测:

把y*、y*′、y*〞代入方程①看能否选取适当的Q(x)，使它满足方程①。是方程①的特解1.

为实数,设特解为其中为待定多项式,代入原方程,得(1)若不是特征方程的根,则取从而得到特解形式为为m

次多项式.Q(x)为

m次待定系数多项式机动目录上页下页返回结束(2)若是特征方程的单根

,为m

次多项式,故特解形式为(3)若是特征方程的重根,是m

次多项式,故特解形式为小结对方程①,此结论可推广到高阶常系数线性微分方程.即即当是特征方程的k重根时,可设特解机动目录上页下页返回结束例1.的一个特解.解:

本题而特征方程为不是特征方程的根.设所求特解为代入方程:比较系数,得于是所求特解为机动目录上页下页返回结束例2.

的通解.

解:本题特征方程为其根为对应齐次方程的通解为设非齐次方程特解为比较系数,得因此特解为代入方程得所求通解为机动目录上页下页返回结束例3.

求解定解问题解:本题特征方程为其根为设非齐次方程特解为代入方程得故故对应齐次方程通解为原方程通解为由初始条件得机动目录上页下页返回结束于是所求解为解得机动目录上页下页返回结束例4

写出下列方程的通解形式解(3)特征方程r2–r=0,r=0,1(1)特征方程r2–1=0,r=1(2)特征方程r2–2r+1=0,r=1,1（二重根）2.第二步求出如下两个方程的特解分析思路:第一步将f(x)转化为第三步利用叠加原理求出原方程的特解第四步分析原方程特解的特点机动目录上页下页返回结束利用欧拉公式m=max{l，n}其中k按λ+iω不是特征方程的根或是特征方程的单根依次取0或1。注意上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性微分方程.其中k是特征方程中含根λ+iω（或λ－iω）的重复次数。小结:对非齐次方程则可设特解:其中为特征方程的

k

重根(k=0,1),上述结论也可推广到高阶方程的情形.机动目录上页下页返回结束例5.

的一个特解

.解:本题特征方程故设特解为不是特征方程的根,代入方程得比较系数,得于是求得一个特解机动目录上页下页返回结束例6.

的通解.

解:特征方程为其根为对应齐次方程的通解为比较系数,得因此特解为代入方程:所求通解为为特征方程的单根,因此设非齐次方程特解为机动目录上页下页返回结束例7.解:(1)特征方程有二重根所以设非齐次方程特解为(2)特征方程有根利用叠加原理,可设非齐次方程特解为设下列高阶常系数线性非齐次方程的特解形式:机动目录上页下页返回结束解：对应于f1(x)=1，可令y1*=A，易求得

对应于f2(x)=－cos2x，易知

所以例8.

求y〞+4y=2sin2x的满足初始条件y|x=0=0，

y′|x=0=1的特解。

由初始条件可得

所求特解为y|x=0=0，y′|x=0=1内容小结为特征方程的k(＝0,1,2)重根,则设特解为为特征方程的k(＝0,1)重根,则设特解为3.上述结论也可推广到高阶方程的情形.机动目录上页下页返回结束五、欧拉方程则机动目录上页下页返回结束则由上述计算可知:用归纳法可证于是欧拉方程转化为常系数线性方程:机动目录上页下页返回结束例1.解:则原方程化为亦即其根则①对应的齐次方程的通解为特征方程①机动目录上页下页返回结束①的通解为换回原变量,得原方程通解为设特解:代入①确