第二部分第六章集合论

第六章集合代数

SetAlgebra

第七章二元关系

BinaryRelation

第八章函数

Function第二部分集合论

SetTheory重点第六章集合代数6.1集合的基本概念6.2集合的运算6.3有穷集合的计数6.4集合恒等式一些确定的、能区分的对象的全体是集合。集合通常用大写的英文字母表示。组成集合的对象叫做集合的元素。元素常用小写的英文字母表示。

6.1集合的基本概念

什么是集合？集合的例子①26个英文字母组成一个集合，任一英文字母是该集合的元素。②直线上的所有点组成实数集合R，每一个实数是集合R的元素。③全体命题组成一个集合，每个命题都是集合的元素。元素与集合的“隶属”关系

设S是集合，a是S的一个元素，记为aS，读做“a属于S”，也可读做“a在S中”。如果a不是S的元素，记为aS，读做“a不属于S”，也可读做“a不在S中”。对集合的进一步理解①对于一个集合而言，一个对象，要么属于这个集合，要么不属于这个集合，是唯一确定的（二元论）。②集合的元素又是能区分的，能区分的是指集合中的元素是互不相同的。如果一个集合中有几个元素相同，算做一个。③集合的元素又是无序的。④集合也可以作为其它集合的元素。集合的表示①列举法在花括号“”中列举出该集合的元素，元素之间用逗号隔开。例如：A=1,2,3,4,5B=1,2,3,…Z=0,1,-1,2,-2,…D=T,F集合的表示②谓词表示法例如：Q=x|x是有理数R=x|x是实数D=x|x是重言式一般地说，集合可用描述法表示为：

S=x|A(x)

其中A(x)是谓词。

aS

的充分必要条件是A(a)为真。有限集与基数具有有限个元素的集合叫有限集（n元集合），否则叫无限集。有限集元素的个数称为该集合的基数，也叫集合的势。有限集A的基数记为|A|

例如：设A=a,b,c，A是有限集，A的基数|A|=3集合之间的包含关系

定义6.1

设A，B是任意的集合，如果B的每一元素都是A的元素时，则称B是A的子集，也称B包含在A内或A包含B.记为BA当B不是A的子集时，记为B⊈ABA符号化表示为：

BAx(xB→xA)B⊈A表示为：

B⊈Ax(xB∧xA)集合之间的相等关系定义6.2设A，B是集合，如果AB且BA，则称A与B相等。记为A=B如果A与B不相等，记为A≠B集合相等的符号化表示：

A=BAB∧BA真子集定义6.3设A，B是集合，如果BA且A≠B，则称B是A的真子集。记为BA如果B不是A的真子集，记为BA真子集的符号化表示为：

BABA∧B≠Ax(xB→xA)∧x(xA∧xB)空集—小而无内定义6.4不包含任何元素的集合叫空集。记为Φ|Φ|=0定理6.1

空集是任意集合的子集。证明：ΦA(x)(xΦ→xA)推论空集是惟一的。幂集—子集的集合定义6.5设A是集合，A的所有子集构成的集合称为A的幂集，记为P(A)，即

P(A)=x|xA【例6.1】

设A=a,b,c，Φ是空集，试求P(A)，P(P(Φ)).

解：P(A)=Φ,a,b,c,a,b,a,c,b,c,a,b,cP(Φ)=ΦP(P(Φ))=Φ,Φ

|P(A)|=？|P(Φ)|=？幂集的基数定理设A为有限集合，则

|P(A)|=2|A|定义6.6在一个具体问题中，如果所涉及的集合都是某个集合的子集，则称这个集合为全集（大而无外），记为E.全集是相对的，不同的问题有不同的全集。即使是同一问题也可以取不同的全集。练习96-97页习题六38练习请用集合的语言描述：指令程序软件软件是程序与文档的集合程序是指令的集合机器语言是机器指令的集合

集合的另一种表示法是文氏图（VennDiagram）。集合的文氏图画法如下：

用矩形表示全集E，在矩形中画一些圆表示其它集合，不同的圆代表不同的集合。如果没有特别说明，任何两个圆彼此相交。

6.2集合的运算A为B的真子集并运算定义6.7

设A，B是任意的集合，由A中的元素或B中的元素组成的集合，称为A和B的并集，记为A∪B.

A∪B=x|xA∨xB从并集的定义可以得到：AA∪B，BA∪B交运算定义6.7设A，B是集合，由A与B的公共元素组成的集合，称为A和B的交集，记为A∩B.

A∩B=x|xA∧xB从交集的定义可以得到：A∩BA，A∩BB

如果A与B无公共元素，即A∩B=Φ，则称A和B是互不相交的。补运算——相对补定义6.7

设A，B是集合，属于A的而不属于B的元素组成的集合，称为B对于A的补集，也叫B对于A的相对补集。记为A-B.

A-B=x|xA∧xB

例如，令C=a，D=a,b，则C-D=a-a,b=ΦC-C=Φ补运算——绝对补定义6.9设A是集合，A对于全集E的相对补集，称为A的绝对补集，记为～A.

～A=E-A=x|xE∧xA

=x|xA例如，令全集E=1,2,3,4，A=1,2,3，则

～A=1,2,3,4-1,2,3=4对称差定义6.8

A、B是集合,由属于A而不属于B，或者属于B而不属于A的元素构成的集合,称之为A与B的对称差。记为AB.

AB=(A-B)∪(B-A)={x|(x∈A∧xB)∨(x∈B∧xA)}

AB=(A∪B)-(A∩B)

课后阅读N个集合的交与并无穷个集合的交与并广义交广义并【例】计数问题某班有50名学生第一次考试中26人成绩为优第二次考试中21人成绩为优已知两次考试中都不为优的共17人问两次考试中都为优的有多少人？

6.3有穷集的计数解：设A，B分别表示第一次和第二次考试中成绩为优的学生集合。(26-x)＋x＋(21-x)＋17=50x=14|～A∩

～B|=17包含排斥原理例如有A、B两个商店，A店经营1000种商品，B店经营1200种商品，其中有100种商品两个商店都经营，问两个商店共经营多少种商品？显然

|A∪B|=|A|+|B|-|A∩B|

ABA∩BA∪B对A、B、C三个有限集合，则

|A∪B∪C|=|A|+|B|+|C|－|A∩B|－|A∩C|－|B∩C|+|A∩B∩C|

包含排斥原理定理6.2一般地，有n个有限集合A1,A2,...An,则例题某个研究所有170名职工，其中

120人

会英语，

80人

会法语，

60人

会日语，

50人

会英语和法语，

25人

会英语和日语，

30人

会法语和日语，10人

会英语、日语和法语。问有多少人不会这三种语言？解：令U为全集，E、F、J分别为会英语、法语和日语人的集合。|U|=170|E|=120|F|=80|J|=60|E∩F|=50|E∩J|=25|F∩J|=30|E∩F∩J|=10|E∪F∪J|=|E|+|F|+|J|-|E∩F|-|E∩J|-|F∩J|+|E∩F∩J|＝165|U-(E∪F∪J)|=170-165=5练习

98页习题六1516

恒等式中A，B，C是任意的集合。1.双重否定律

～(～A)=A2.交换律 A∪B=B∪AA∩B=B∩A

AB=BA3.结合律

A∪(B∪C)=(A∪B)∪CA∩(B∩C)=(A∩B)∩C

(AB)C=A(BC)

6.4集合恒等式

重点掌握集合相等与包含关系的证明方法基本的恒等式4.分配律 A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)A∩(BC)=(A∩B)(A∩C)5.德摩根律

～(A∩B)=～A∪～B ～(A∪B)=～A∩～B6.幂等律

A∪A=AA∩A=A

基本的恒等式7.吸收律 A∪(A∩B)=AA∩(A∪B)=A8.零律

A∪E=EA∩Φ=Φ9.同一律

A∪Φ=AA∩E=A10.排中律 A∪～A=E11.矛盾律 A∩～A=Φ基本的恒等式12.其它

A-(B∪C)=(A-B)∩(A-C) A-(B∩C)=(A-B)∪(A-C)

AA=ΦAΦ=AAE=～A

A-B=A∩～BA-B=A-(A∩B)常用的恒等式例题【例6.8】证明 A-(B∪C)=(A-B)∩(A-C) A-(B∩C)=(A-B)∪(A-C)【例6.11】证明

A-B=A∩～B【例6.12】证明(A-B)∪B=A∪B【例6.10】证明A∪(A∩B)=AA∩(A∪B)=A练习习题六100页练习32证明 (1)(A-B)-C=A-(B∪C)(A-B)-C=(A-C)-(B-C)(A-B)-C=(A-C)-B例题【例6.13】证明 A∪B=B