中国振动工程学会模态分析高级研修班讲课资料(第六章)-1动态载荷识别

第六章动态载荷识别、模型修正与结构动力修改一、概述

前几章中我们主要叙述了各种模态参数的辨识方法。得到了结构系统的模态参数（模态频率，模态，模态阻尼，模态质量，模态刚度，模态参与因子等）。模态参数辨识技术为结构动态特性分析提供了有效的手段。模态分析技术还包括另一些分支，如载荷识别（结构动力学中的另一类逆问题）、结构物理参数辨识、结构动力修改、有限元模型修正与确认和模态综合等。载荷识别方法——是根据已知结构的动态特性和实测的动力响应及求结构的动态载荷。这一技术的发展给那些无法直接测量载荷的结构系统提供了一种动态载荷的识别方法。系统激励响应结构物理参数辨识及结构动力修改(重分析和动力学优化设计)技术——是模态分析与有限元分析和计算机辅助设计（CAD）相结合的重要结合点，亦是模态分析技术进入产品预设计阶段的重要方面，它将成为计算机辅助工程（CAE）中的重要一环。有限元模型修正和确认技术——在结构动态特性分析中被广泛应用的有限元分析方法、由于在建立有限元模型时，引人各种人为的假设,这些假设往往与实际情况有一定差别，造成有限元分析的结果不准确。目前常用实验模态的结果去修正和确认有限元模型。二、结构动载荷识别

结构动力载荷识别方法是解决动力载荷不易直接测量的难题。例如，火箭在飞行过程中所受的推力脉动载荷，房屋或建筑物所受的地动力或地震力，核反应堆壳体在工作时所受的载荷，汽车行驶时所受的路面激励力等，这些动力载荷的直接测定十分困难，甚至是不可能的。因此人们自然寄希望于间接法。目前常用的间接法主要是指通过对结构的响应（包括位移、速度、加速度等）测量，根据已知的结构动态特性，识别结构的动载荷。这是一种结构动力学中逆问题处理方法，称为结构载荷识别。结构载荷识别技术还远远落后于模态参数辨识技术的进展。还有一系列问题需要进一步研究，识别精度亦有待进一步提高。载荷识别方法一般可分为两大类，即频域载荷识别法与时域载荷识别法。频域识别法发展较早，已形成了比较完整的理论及计算方法，应用亦较广泛。时域法的研究目前还不够深入，但近年来亦出现了一些具有应用前景的方法（一）载荷识别的频域方法

载荷识别的频域法基本上有两种，即频响函数矩阵求逆法及模态坐标变换法。前者只要知道频响函数矩阵及响应谱矩阵，即可识别动态载荷；后者则必须知道系统的模态特性及模态参数（包括系统的各阶振型矩阵）才能识别载荷在频域中的特性，然后进一步确定载荷的时间历程。1.频响函数矩阵求逆法

该方法对系统的输人（待识别）及输出（实测响应）之间的关系作如下假设：

(1）输人输出之间呈线性关系。

(2）系统的响应完全由待识别的载荷所产生。

结构的分成确定性响应及随机响应两种情况。

1）确定性响应设系统响应按其性质可需要确定的载荷数为P，响应的侧量点数为L，并且频响函数矩阵是完整的。

载荷与响应之间有如下大家熟悉的关系：

①式中：X（ω）为响应谱向量（LX1）

；F（ω）为载荷谱向量（PX1）；H（ω）为频响函数矩阵（LXP）上式的求解，理论上是非常容易的。若待定的载荷数P与响应的测点数L相等，则H（ω）为方阵，因此载荷谱向量F（ω）可由下式求得

②

此法较为简单，在确定了频响函数矩阵及响应向量的傅氏谱后，便可计算载荷谱。但实际上，常常是欲识别的载荷数P与响应的实际测量点数L不相等，通常是L≥P。因此必须对频响函数矩阵求广义逆。这样，载荷识别的公式便为

式中H（ω）矩阵的上角符号“H”为共扼转置。2）随机响应若系统在随机激励力作用下，其响应亦为随机的。此时，激励力与响应之间有如下关系

式中：SXX（ω）为被测各响应之间的互功率谱密度矩阵，(LXL)；SFF（ω）为各待识别力之间的互功率谱密度矩阵，(PXP)。

在实际工程结构中，若各输人力之间彼此独立无关时矩阵SFF（ω）中的非对角线项均为零，即矩阵SFF（ω）为对角阵。

当P＝L时，可以利用响应的自功率谱密度求解各输人力的自功率谱密度。此时可利用下式求解：③当P＜L时，亦可用上式求解SFF

当P＞L时，即激励点的数目比测量点的数目大时，上式独立方程个数有½L（L+1）个，因此，测点数必须满足总之，动态载荷识别就是求解式①或式③。通常方程个数大于未知数，是矛盾方程。在具体求解时，要尽量避免系数矩阵出现病态，在选择响应的测量位置和方向时，应力求避免对称。采用频响函数矩阵求逆确定动态载荷的方法虽然思路很简单，但当要求确定的载荷数目P很大时，计算工作量较大，并在所感兴趣的频段内，每个离散频率ω都必须做矩阵求逆运算。当ω接近共振频率时，会出现数值计算的不稳定性问题。

3）上述频响函数矩阵求逆确定动态载荷的方法曾用于确定某直升机桨轴载荷。

直升机在飞行过程中所发生的振动主要由旋翼、发动机及尾桨所造成，最主要是旋翼产生的振动载荷，其激励频率为转速乘以叶片数。由于气流不稳定的影响，还有随机成分存在。旋翼受力是直升机设计的最根本的依据，是决定飞机造价的重要因素。将这些力简化并转到主轴上，定为被识别的载荷。

1）.被识别载荷。被识别的载荷为作用在主轴上的6个力和力矩，即

载荷向量为载荷的方向和和位置如上图所示。2）.响应测量。测量的响应是主减速器架8个支撑杆上的应变。采用应变片粘贴于杆身，应变信号通过遥测装置接收，作为飞机的响应信号。遥测装置的原理框图如图所示。由于6个激励力。作用均通过此8个支撑杆传到整个机身上，因此这些杆的应变能很好地反映激励力的大小及性质，并可直接用于减速器支架的疲劳问题研究。

3）.应变频响函数矩阵的测量。频响函数的测量在地面进行。将飞机悬吊在空中，模拟飞机在空中的自由状态。悬吊系统垂直方向的固有频率为0.9Hz。分别对带旋翼和不带旋翼两种情况进行试验，以作比较。采用应变频响函数矩阵的直接测试方法激励方式有两种：一为敲击法，激励力的大小为3kN（300kgf)，脉冲持续时间8ms左右；一为正弦激励，其中又采用阶梯形式、慢扫描、快扫描三种方式加载。正弦激励力的大小在100N(10kgf）左右。为获得力矩载荷，采用偏心加力，用数据处理方法解偶。数据处理的关键是对小信噪比信号的处理问题。

下图为一典型的频响函数和相干函数。4）.空中飞行实测（得到未知力作用下的应变响应）。信号的传递和汇集采用PCM编码远程遥测系统。实测应变的时间历程如下图所示。在实侧应变中，静应变量为主，约占90%，动应变基本上是周期性函数，其频率为12Hz。约有10％的随机成分，采用多次平均法，以提高数据的可靠性。5）.6个激励力的计算。主减速器支架是结构对称，但受力并不对称的构件。为了避免方程系数矩阵的病态，对实测的16个位置，只选取了L=6，分别位于6个杆子，使用对应这6点的应变频响函数矩阵，求解式。求解方法采用主元素消去法,得到六个待识别力.表6.1a,6.1b和6.1c给出了测试的应变响应,应变频响函数和识别出来的外载荷.

表6-1a实测应变响应结果06.02.2023表6-1b应变频响函数表6-1c识别出的动载荷2.模态坐标转换法

在已知结构的模态参数情况下,动态载荷的识别可依据模态参数，采用模态坐标转换的方法来获得。

对N自由度，且具有比例阻尼的线性系统，已知其模态矩阵为Φ（NXN），系统的响应谱向量为X（ω）(NX1)，它们之间有如下关系：①

式中②

称为频域模态坐标向量。

式中的ϕ

，从数学意义上讲，即为坐标变换矩阵，通过它把物理坐标下的响应X（ω）变换到模态坐标中的响应Q（ω）。于是，系统的运动方程式转换到模态坐标中后为

③式中：mr

、cr、kr，为系统第r阶模态的模态质量、模态阻尼、模态刚度；P（ω）为频域中的广义力（或模态力）向量。它们都是系统的模态参数，都可由模态分析得到。

因此，在测定了系统的响应及己知模态矩阵Φ后，即可由式②求得模态坐标向量Q（ω）然后由式③求得模态力向量P（ω）,则动态载荷谱向量可由下式确定

④

对实际工程结构往往不能得到完整的模态集，只能得到部分模态。若只有n个模态，n<N，而且测量响应的点数L往往亦小于自由度数，L<N，则式②改写为

模态坐标向量可由下式计算式③的阶数也应是n阶的，此时可识别的动态载荷数P不能大于模态数n，也不能大于响应的测点数L,P≤L，P≤n。此时矩阵φ不再是方阵，因此动态载荷可由下式确定：式中是从模态矩阵Φ中挑选相应的P行而形成的。

3.优化逆系统方法从理论上讲利用频响函数矩阵求逆法识别动态载荷时，利用式第7页②可方便地求出系统的动态力向量。但实际上，对于一个实际结果系统而言，测量噪声及各种信号污染是不可避免的。即使能得到真实的频响函数值，用式亦得不出精确的动态载荷。动载荷识别的度很大程度上取决于频响函数矩阵的条件数，大的条件数常使它“病态”。在求逆运算时将造成较大误差，使识别失败。条件数事实上表示了矩阵计算对于误差的敏感性。对于，如果的条件数大，的微小改变就能引起解较大的改变，数值稳定性差。4.多输人多输出动态载荷识别的逆系统优化估计方法，可使动态载荷估计的总均方差最小。

1)理论分析考虑如图多输入多输出系统，其中fi（t），xi（t）和mi（t）（i=1,2，…，p）分别表示系统输入载荷的真实值、测量值和输入噪声；vj（t），yj（t）和nj（t）（j=1,2,…，q）分别表示系统输出的真实值、测量值和输出噪声。这里我们假定噪声信号为零均值稳态随机过程，且与任何其他信号无关，由图示符号系统我们有定义一个线性时不变逆系统，并以真实系统的输出y(t）作为该系统的输人，原输入为它的输出，令该系统的脉冲响应矩阵为ω（t)，即

⑤

这里为逆系统愉出的估计值。选择矩阵ω（t）使该系统之输出估计值与真实系统输入值之间的总均方差最小，此时该逆系统之输出入即为真实系统输人（动态载荷）的最佳估计。式中ε表示估计误差向量：;E表示期望值。式⑤可进一步写成这里Ji为第i个的载荷估计误差：上两式表明，如果每一个载荷的均方估计误差都最小，则所有载荷的总体均方估计误差亦最小。因此，我们先考虑第i个载荷的估计。由式⑤我们有

⑥

ε

这里ωi，j（t）为逆系统的第j个输入与第i个输出之间的脉冲响应函数。由此，要使Ji为最小，则需满足综合考虑上述三式可得

⑦

上式表明，对于一个多输人多输出系统来说，当每一个载荷的估计误差与任意一个响应的测量值正交，则所有载荷的总体均方估计误差最小。该结论亦可视为多输人多输出系统的一个广义正交性原理。将⑥式代入⑦式得作期望运算得到两端作傅氏变换得到对所有的激励力于是有W是逆系统的频响函数由上式得到

⑧

F是未知的，是要识别的，为什么⑧式成立？这是因为原系统的输出X，就是逆系统的输入F。所以当逆系统确定后就有这就是动载荷在频域的优化估计值，它的时域估计值（时间历程）就可由的傅氏逆变换求得。

（二）载荷识别的时域法

载荷识别的时域法提出较晚，目前国内外正在展开研究。这些方法中有建立在求解Volterra第一类积分方程问题基础上的针对连续系统及离散系统的时域辨识法；亦有建立在微小时间内动态载荷为阶跃函数假设基础上的求解振动微分方程的方法。后者主要针对离散系统。由于在实际工程应用中，离散系统更多为人们所采用，因此本节着重介绍针对离散系统的时域动态载荷识别方法。

1．基本原理

N自由度，且具有比例阻尼的线性系统的运动方程式为

①

式中：M、C、K分别为N×N阶的系统质量、阻尼和刚度矩阵；X（t）、X（t）、分别为N×l阶的位移、速度及加速度响应向量;F(t）为动态力向量，亦为Nxl阶。

由理论计算或实验模态分析方法可求得该系统的模态参数：模态频率ωr，模态向量φr，模态阻尼ζr，模态质量m，模态刚度kr，r=l,2，…，n。由各阶模态向量组成模态矩阵

②

应用模态坐标变换

式中Q(t)为模态坐标向量，N×1.于是①式可改写为用模态坐标表示的非耦合方程式式中Mr、Cr、Kr分别为模态质量、模态阻尼及模态刚度矩阵，N×N阶。模态频率及模态阻尼比为③

④⑤⑥

对第r阶模态，则有

式即为以模态坐标描述的微分方程。时域辨识的基本思想是在已知模态坐标qr（t）或，的基础上由上式求得模态力Pr（t），再求得F（t）对于离散系统，我们在求解上述微分方程时，假设在微小的时间区域内，模态力pr（t）是一个阶跃函数。设此时间区域为

，在此区域内的模态力为prj，(j=1,2,…，s）。我们可以根据

区域内的响应计算prj

。逐个区域计算，最后可得模态力pr（t）的离散时间历程prj，(j=1，2，…s，）。

上式是一个解耦的独立方程，相当于单自由度系统的微分方程。由振动理论可知，对一单自由度系统，在阶跃力prj

用下，系统的位移响应解为

⑧

式中D为常数，由初始条件决定。设初始条件为将上述初始条件代入⑧，在区间Δt内求解，可由下式得阶跃函数prj

式中：如果只知道位移响应qrj（j=1,2,3，…，s）,则⑧式可写为应用此式时，认为pr在区间2Δt=tj+1-tj-1为阶跃函数。若模态位移，速度及加速度均为已知，则模态力计算公式还可以写为由上三式