第3章随机过程的线性变换

第三章随机过程的线性变换在电子技术中，通常需要将信号进行一系列的变换，才能提取到有用的信息。变换可以看作为信号通过系统，所以随机过程的变换就是分析随机过程通过系统后的响应。系统一般分为线性系统和非线性系统两大类，因此随机过程的变换也分为线性变换和非线性变换两大类。1第三章随机过程的线性变换3.1变换的基本概念和基本定理3.2随机过程通过线性系统分析3.3限带过程3.5最佳线性滤波器3.6线性系统输出端随机过程的概率分布23.1变换的基本概念和基本定理普通函数变换

给定一个函数x(t)，按照某种法则T，指定一个新的函数y(t)，那么，就说y(t)是x(t)经过变换T后的结果。记为y(t)=T[x(t)]T称为从x(t)到y(t)的变换。33.1变换的基本概念和基本定理随机过程的变换

给定一个随机过程X(t)，按照某种法则T，对它的每一个样本函数x(t)，都指定一个对应函数y(t)，于是就得到了一个新的随机过程Y(t)，记为Y(t)=T[X(t)]T就叫做从随机过程X(t)到Y(t)的变换，Y(t)是随机过程X(t)通过变换后的结果。43.1变换的基本概念和基本定理随机过程的变换示意图确定性变换随机性变换5T3.1变换的基本概念和基本定理线性变换

设有任意两个随机变量A1和A2及任意两个随机过程X1(t)和X2(t)，如果满足则称L是线性变换。

对于线性变换L，Y(t)=L[X(t)]，如果其中ε为任意常数，则称L是线性时不变的。63.1变换的基本概念和基本定理线性变换的两个基本定理定理1设Y(t)=L[X(t)]，其中L是线性变换，则即随机过程经过线性变换后，其输出的数学期望等于输入的数学期望通过线性变换后的结果。73.1变换的基本概念和基本定理证明(利用大数定理)设第i次试验得样本函数xi(t)，输出端yi(t)Y(t)的样本均值83.1变换的基本概念和基本定理证明（续）根据大数定理，当n→∞时，有所以93.1变换的基本概念和基本定理定理2设Y(t)=L[X(t)]，其中L是线性变换，则其中表示对t1做L变换，

表示对t2做L变换。103.1变换的基本概念和基本定理证明因为令t=t2，可得同理可证联合上面两式，得113.1变换的基本概念和基本定理由两个定理可知，对于线性变换，输出的均值和相关函数可以分别由输入的均值和相关函数确定。推广，对于线性变换，输出的k阶矩可以由输入的相应阶矩来确定，如123.1变换的基本概念和基本定理例3.1随机过程导数的统计特性。

设，，很容易证明，导数是一种线性变换，可看成X(t)经过微分变换后的输出13X(t)3.1变换的基本概念和基本定理例3.1（续）均值即X(t)和的互相关函数143.1变换的基本概念和基本定理例3.1（续）

自相关函数如果X(t)为平稳随机过程，则153.1变换的基本概念和基本定理随机过程及其导数相关函数示意图16第三章随机过程的线性变换3.1变换的基本概念和基本定理3.2随机过程通过线性系统分析3.3限带过程3.5最佳线性滤波器3.6线性系统输出端随机过程的概率分布173.2随机过程通过线性系统分析冲激响应法输出均值若X(t)平稳18X(t)Y(t)h(t)3.2随机过程通过线性系统分析输入输出的互相关函数为输出的自相关函数为综合二式得同理可证193.2随机过程通过线性系统分析平稳过程通过线性系统输入输出相关函数的关系20),(21ttRX),(21ttRXY),(21ttRY)(2th)(1th),(21ttRX),(21ttRYX),(21ttRY)(2th)(1th3.2随机过程通过线性系统分析如果X(t)为平稳随机过程，则其中，τ=t1-t2，即213.2随机过程通过线性系统分析同理即223.2随机过程通过线性系统分析所以类似地233.2随机过程通过线性系统分析平稳随机过程通过线性系统输入输出相关函数之间的关系243.2随机过程通过线性系统分析例3.2设有微分方程描述的线性系统：其中α为常数，系统的起始状态为Y(0)=0，输入X(t)为平稳随机过程，且E[X(t)]=λ，RX(τ)=λ2+λδ(τ)，求输出Y(t)的统计特性。253.2随机过程通过线性系统分析解令输入为δ(t)，则冲激响应为可解得由于系统为因果系统，所以输出Y(t)的均值为263.2随机过程通过线性系统分析解（续1）输入输出的互相关函数为273.2随机过程通过线性系统分析解（续2）输出的自相关函数为283.2随机过程通过线性系统分析解（续3）由于RX(t1,t2)=RX(t2,t1)，所以可见，输出过程是非平稳的随机过程。293.2随机过程通过线性系统分析解（续4）当t1→∞，t2→∞时，输出Y(t)进入稳态，这时所以，稳态情况下，输出是平稳随机过程。303.2随机过程通过线性系统分析例3.3设有下图所示的RC电路。假定输入为零均值的平稳随机过程，且相关函数为RX(τ)=e-β|τ|，求稳态时输出Y(t)的自相关函数。31X(t)Y(t)RC3.2随机过程通过线性系统分析解RC电路的冲激响应为输入与输出的自相关函数为323.2随机过程通过线性系统分析解（续1）当τ≥0时，当τ<0时，333.2随机过程通过线性系统分析解（续2）当τ<0时，343.2随机过程通过线性系统分析解（续3）由于RY(τ)是偶函数，所以353.2随机过程通过线性系统分析频谱法：利用系统的传递函数来分析输出的统计特性

363.2随机过程通过线性系统分析例3.4如例3.2所述，运用频谱法求输出的功率谱和自相关函数解对例3.2所求冲激响应做傅里叶变换，得系统传输函数

373.2随机过程通过线性系统分析输入功率谱密度为可得自相关函数为383.2随机过程通过线性系统分析例3.5如例3.3所述，运用频谱法求输出的功率谱和自相关函数解系统传递函数为输入X(t)的功率谱为393.2随机过程通过线性系统分析进一步可得求上式的傅里叶反变换，可得403.2随机过程通过线性系统分析物理可实现系统，即当t<0时，h(t)=0假定输入X(t)是平稳的，且从-∞时加入413.2随机过程通过线性系统分析若X(t)是从t=0加入，则423.2随机过程通过线性系统分析电路H(ω)h(t)43第三章随机过程的线性变换3.1变换的基本概念和基本定理3.2随机过程通过线性系统分析3.3限带过程3.5最佳线性滤波器3.6线性系统输出端随机过程的概率分布443.3限带过程低通随机过程：随机过程的功率谱GX(ω)在|ω|<ωc

内不为零，而在其外为零低通随机过程的自相关函数为它的自相关函数任意n阶导都存在45图3-1低通随机过程的功率谱3.3限带过程若低随机过程在频带内功率谱密度为常数，即则称X(t)为理想低通随机过程或理想低通白噪声其自相关函数为总的平均功率为463.3限带过程从图中可以看出，当τ=kπ/ωc(k=±1，±2，···)时，有所以理想低通白噪声X(t)与X(t+kπ/ωc)(k=±1，±2，···)正交。若对理想低通白噪声以Δt=π/ωc的时间间隔对其进行采样，那么采样后的离散数据{X(n),n=0,=±1，±2，···}是相互正交的47图3-2理想低通随机过程的自相关函数3.3限带过程带通随机过程：随机过程X(t)的功率谱GX(ω)集中在ω0为中心的频带内理想带通随机过程：在频带内，功率谱密度为常数48（b）理想带通随机过程（a）一般带通随机过程3.3限带过程理想带通随机过程的功率谱密度为自相关函数为总的平均功率为493.3限带过程50图3-3理想带通随机过程自相关函数3.3限带过程噪声等效通能带（噪声等效矩形带宽）：把白噪声通过线性系统后的非均匀物理谱密度等效成在一定频带内均匀的的物理谱密度，这个频带称为等效通能带，记为Δfe51图3-4噪声等效通能带（噪声等效矩形带宽）示意图3.3限带过程由上图可以看出噪声等效矩形带宽为对于低通网络，等效矩形带宽为对于带通网络，输出的平均功率为523.3限带过程例3.6设有n阶巴特沃斯滤波器其中Δf是滤波器3dB带宽，求噪声等效矩形带宽。解n=1时，Δfe=(π/2)Δf=1.57Δf；n=2时，Δfe

=1.11Δf

；n越大，滤波器带沿越陡峭，其噪声等效通能带也越趋近于它的3dB带宽，当n→∞时，Δfe→Δf533.3限带过程例3.7白噪声通过如图所示的RC电路，分析输出的统计特性解RC电路为一低通网络系统传递函数为输出功率谱密度为

54图3-5RC电路3.3限带过程输出自相关函数为相关系数为噪声等效矩形带宽为553.3限带过程输出随机过程的相关时间为即，相关时间与系统的噪声等效矩形带宽是成反比的。56第三章随机过程的线性变换3.1变换的基本概念和基本定理3.2随机过程通过线性系统分析3.3限带过程3.5最佳线性滤波器3.6线性系统输出端随机过程的概率分布573.5.1

输出信噪比最大的最佳线性滤波器如图3.17所示线性系统，假定系统的传递函数为，输入波形为58(3.5.1)X(t)Y(t)图3.17线性系统示意图其中

是确知信号，是零均值平稳随机过程，功率谱密度为。根据线性系统的理论，输出Y(t)可表示为(3.5.2)其中(3.5.3)3.5.1

输出信噪比最大的最佳线性滤波器式中是输入信号的频谱，是系统的传递函数，是输出的噪声，它的功率谱密度为(3.5.4)

输出噪声的平均功率为定义：在某个时刻时滤波器输出端信号的瞬时功率与噪声的平均功率之比（简称信噪比）为(3.5.5)(3.5.6)3.5.1

输出信噪比最大的最佳线性滤波器

3.5.1

输出信噪比最大的最佳线性滤波器将(3.5.3)式和(3.5.5)式代入(3.5.6)式，得61(3.5.7)我们的任务是要设计一个线性系统，使得输出的信噪比达到最大。可以证明，当时，输出信噪比达到最大。(3.5.8)3.5.1

输出信噪比最大的最佳线性滤波器3.5.1

输出信噪比最大的最佳线性滤波器把最大的信噪比记为。将(3.5.8)式代入(3.5.7)式可得最大的信噪比为63(3.5.9)将(3.5.8)式代入(3.5.3)式得到输出信号为(3.5.10)由上式可以看出，当时，输出信号达到最大。3.5.1

输出信噪比最大的最佳线性滤波器3.5.1

输出信噪比最大的最佳线性滤波器物理意义滤波器的幅频特性为65(3.5.11)

实际上是对输入信号的频谱进行加权，对于某个频率点，信号越强，该频率点的加权系数越大，噪声越强，加权越小。最佳线性滤波器的幅频特性有抑制噪声的作用。相频特性由(3.5.8)式得(3.5.12)由(3.5.3)式得滤波器对信号的各频率分量起到的是幅度同相相加的作用，而对噪声的各频率分量起到的是功率相加的作用。综合而言，信噪比得到提高。3.5.1

输出信噪比最大的最佳线性滤波器是在白噪声环境下以输出信噪比最大作为准则的最佳线性滤波器。匹配滤波器的冲激响应是输入信号的共轭镜像。对于实信号3.5.2匹配滤波器(3.5.13)(3.5.14)(3.5.15)当c=1时，与关于呈偶对称关系。性质和特点-1:输出的最大信噪比与输入信号的波形无关由于白噪声的功率谱为一个常数，由(3.5.9)式可得其中E代表信号的能量，由(3.5.16)式可以看出，最大信噪比只与信号的能量和噪声的强度有关，与信号的波形无关。(3.5.16)3.5.2匹配滤波器3.5.2匹配滤波器性质和特点-2：应该选在信号

结束之后。由(3.5.15)式可以看出，如果要求系统是物理可实现的，那么必须选择在信号结束之后才能满足。对于物理可实现系统，因为只有选在信号结束之后，才能把信号的能量全部利用上，信噪比才能达到最大。693.5.2匹配滤波器性质和特点-3：匹配滤波器对信号幅度和时延具有适应性如果发射信号为

，那么接收信号为，的频谱为对的匹配滤波器的传递函数为70需要注意的是，匹配滤波器对信号的频移不具有适应性。即，如果有个信号的频谱为，可以看做为目标由于运动产生的多普勒频移，那么，对应的匹配滤波器为可见与是不同的。3.5.2匹配滤波器例3.11

单个矩形脉冲的匹配滤波器设计。设脉冲信号为其中a是已知常数。求匹配滤波器的传递函数和输出波形。(3.5.17)3.5.2匹配滤波器3.5.2匹配滤波器解：信号的频谱为取匹配滤波器的时间，由(3.5.13)式矩形脉冲信号的匹配滤波器的传递函数为其冲激响应为73(3.5.18)(3.5.19)(3.5.20)匹配滤波器的输出信号为(3.5.21)3.5.2匹配滤波器s(t)0at(a)矩形脉冲信号h(t)0cat(b)匹配滤波器的冲激响应0t(c)匹配滤波器的输出信号图3.18矩形脉冲的匹配滤波器积分器延迟线+-图3.19矩形脉冲信号匹配滤波器实现框图3.5.2匹配滤波器例3.12

设计矩形脉冲串信号的匹配滤波器解：设矩形脉冲信号为(3.5.22)其中s1(t)是如（3.5.17）所示的单个矩形脉冲信号(3.5.23)

3.5.2匹配滤波器3.5.2匹配滤波器解（续）取,那么可见，匹配滤波器可以表示为77匹配滤波器的组成如下图所示其中:(3.5.26)图3.20矩形脉冲串信号的匹配滤波器3.5.2匹配滤波器

由延迟单元的求和器构成，通常称为相参积累器。匹配滤波器输出的最大信噪比(3.5.28)3.5.2匹配滤波器有噪声功率谱讨论（3.5.8）式其中3.5.3广义匹配滤波器（3.5.29）（3.5.30）（3.5.31）（3.5.32）3.5.3广义匹配滤波器平稳噪声n(t)通过

后为n’(t)

，其功率谱密度为为白噪声

为白化滤波器，

为白噪声环境下的匹配滤波器，其匹配的信号为s’(t).813.5.3广义匹配滤波器（3.5.33）考虑物理可实现

是物理可实现的滤波器。

可能是物理不可实现的。取物理可实现的部分滤波器的传递函数为其中[]+为物理可实现的部分利用拉普拉斯变换，有（3.5.33）、（3.5.34）式被称为广义匹配滤波器。其实现结构3.5.3广义匹配滤波器（3.5.34）3.5.3广义匹配滤波器例3.13

设信号为

噪声的功率谱为

求广义匹配滤波器的传递函数。84解：首先将噪声功率谱用拉普拉斯变换表示为：所以，信号的拉氏变换为3.5.3广义匹配滤波器3.5.3广义匹配滤波器解(续)：求拉氏反变换得到冲激响应为显然，h2(t)在t<0的时候不为零，不是物理可实现的滤波