第3章结构地震反应分析

第三章结构地震反应分析与地震作用分析宿迁学院建筑工程系土木工程教研室颜军2013年9月版权所有：颜军第一部分结构地震反应分析3.1结构地震反应分析概述3.2单自由度体系的自由振动3.3单自由度体系的地震反应分析3.4弹性地震反应谱3.5设计反应谱3.6多自由度体系地震反应分析版权所有：颜军3.1结构地震反应分析概述结构地震反应——指地震引起的结构振动反应，包括地震在结构中引起的速度、加速度、位移和内力等。结构的地震反应分析属于结构动力学的范畴，比静力分析要复杂得多；版权所有：颜军地震反应与静力反应的区别：地震反应不仅与地震作用大小及其随时间变化有关，而且还取决于结构本身动力特性（刚性、质量与阻尼等）；另外，计算结果也存在区别：不是单一解，而是相应于反应时程中感兴趣的全部时间的一系列解答，但在设计中一般按最大反应考虑。——拟静力方法。版权所有：颜军地震反应分析时一般存在大量的假定和简化地震——地面运动是一种很难确定的随机过程；建筑——不同构件组成的空间体系，动力特性十分复杂。因此，地震引起的结构振动实际上是一种很复杂的空间振动。在进行建筑的地震反应分析时，需作出一系列假定以简化分析过程。一般简化为由无重弹性杆串联多质点弹性体系。版权所有：颜军工程中求解结构地震反应的常用方法拟静力方法——包括反应谱方法和振型分解反应谱法。即将地震对建筑物的作用以等效荷载的方法来表示，然后根据这一等效荷载用静力分析的方法对结构进行内力和位移计算，以验算结构的抗震承载力和变形；直接动力分析法——通过结构动力方程直接积分，求出结构的地震反应与时间变化的关系，得出所谓的时程曲线，故也称为时程分析法。版权所有：颜军3.2单自由度弹性体系自由振动和强迫振动3.2.1计算模型的简化动力自由度的概念—Degreeoffreedom为了确定任意时刻全部质量的位置所需的独立几何参数的数目（变形体系中质量的运动自由度）；为了表示全部有意义的惯性力所必须考虑的位移分量的数目；单自由度——SDOF(Singledegreeoffreedom)多自由度——MDOF(Multiplydegreeoffreedom)版权所有：颜军简化方法——实际结构都是分布质量的，因而也是无限自由度的。为了使问题简化，需要把复杂的结构体系（在满足工程精度要求的前提下）简化为有限自由度体系（集中质量法、广义坐标法、有限单元法）。建筑结构进行地震反应分析时对动力自由度得建筑，经常采用集中质量法。图1动力计算体系的简化版权所有：颜军3.2.2单自由度弹性体系的自由振动一、运动微分方程的建立1.计算简图y(t)—质点t时刻的位移；

—质点加速度2.运动方程的建立切开质点的支撑结构，取隔离体如图4.2所示，由结构动力学可知，作用在运动方向上的力有三种;Y(t)DSI图4.2.计算简图版权所有：颜军①惯性力—为质点质量与绝对加速度的乘积，方向与加速度相反，即Y(t)DS图4.2.计算简图I版权所有：颜军②弹性恢复力——是使质点从振动位置恢复到平衡位置的力，它的大小与质点运动的相对位移成正比，方向与位移相反，即

式中，k—支撑体系的侧移刚度，定义为使质点发生单位位移时所需要施加的力。③阻尼力——是使结构振动衰减的力，根据粘滞阻尼理论，阻尼力与变形速度成正比，即

式中，C为粘滞阻尼系数上述三种力的方向均与质点运动方向相反Y(t)DSI版权所有：颜军根据达朗贝尔原理：在物体运动的任意瞬间，作用在物体上的外力和惯性力相互平衡，故得：Y(t)DS图4.2.计算简图II+D+S=0版权所有：颜军二、自由振动微分方程的解（4-1）（4-2）引入变量（4-3）阻尼比方程（4-1）可以变为（4-1b）版权所有：颜军上式是一个二阶齐次常系数微分方程，其通解为版权所有：颜军方程求解：其中的系数C1和C2可由初始条件确定（设在t=0时，初始位移y0和初始速度v0）即可求得体系任一时刻的位移版权所有：颜军无阻尼单自由度系统上式无阻尼单自由度系统自由振动包含两个频率相同的简谐振动，可以合成为一个简谐振动，即式中版权所有：颜军三、振动特征的讨论振动的形式：其振动的时间历程是正弦曲线，是简谐振动。

系统的周期和频率：取决于系统的弹性和惯性，与系统振动的初始条件无关。系统的振动周期：故系统的振动周期为系统振动的圆频率系统的振动频率：t受迫振动版权所有：颜军有阻尼单自由度系统振动的形式：其振动的时间历程是正弦曲线，但振幅衰减振动周期：不具有严格周期性；每振动一个循环所需要时间间隔相等，取时间间隔为振动周期；由于阻尼的存在将使结构的周期增大。t版权所有：颜军ξ——阻尼比的讨论当ξ=1.0,ω’=0,表示结构不振动——临界阻尼比Cr——临界阻尼系数实际结构阻尼比很小（0.01~0.1）版权所有：颜军四、单自由度体系自振频率的计算系统的圆频率是振动特征计算得最基本参数，系统振动的圆频率由下式计算：版权所有：颜军注意单位统一：kg,N,m——量纲分析版权所有：颜军『例题3-1』求图示悬臂体系的自振周期，悬臂梁的分布质量忽略不计。mlEIyY『步骤』计算体系的侧移刚度：先计算单位力作用下的位移δ（柔度系数，可以采用图乘法），其倒数即得刚度系数。根据公式4-2计算圆频率。计算自振周期T。版权所有：颜军3.3单自由度弹性体系地震反应分析一、运动微分方程的建立1.计算简图x0(t)——基础位移

x(t)——质点对基础相对位移

x(t)+x0(t)——绝对位移x(t)x0(t)x(t)+x0(t)版权所有：颜军Y(t)DS图4.2.计算简图I2.运动方程切开质点的支撑结构，取隔离体如图所示。由动力学知，作用在运动方向上的力有三种：惯性力I(t)弹性恢复力S(t)

阻尼力D(t)

版权所有：颜军惯性力为质点质量与绝对加速度的乘积，即弹性恢复力是使质点从振动位置恢复到平衡位置的力，它的大小与质点运动的相对位移成正比，即阻尼力是使结构振动衰减的力，根据粘滞阻尼理论，阻尼力与变形速度成正比，即上述三种力的方向均与质点运动方向相反。版权所有：颜军根据达朗贝尔原理：在物体运动的任意瞬间，作用在物体上的外力和惯性力相互平衡：可见，地震时地面加速度对单自由度体系引起的动力效应，与在质点上施加一动力荷载时所产生的动力效应相同。版权所有：颜军3.运动方程求解该方程的解组成：对应齐次方程的通解非齐次方程的一个特解齐次方程的解——自由振动的解版权所有：颜军运动方程的特解——杜哈梅积分若强迫力是简谐荷载，其特解易求。但地震地面运动过程非常复杂，其特解的求解非常困难，必须通过数值积分才能完成——杜哈梅积分。连续作用的离散化——上述微分方程的右端项可看作是作用在单位质量上的动力荷载。将其看作无数个连续作用的瞬时荷载。版权所有：颜军瞬时荷载作用的考虑瞬时荷载P(t)dt作用下单位质量体系的反应：瞬时荷载的特点——作用时间极短，可以假定作用的瞬间是相对静止的，因此可以假定作用前后的位移不变；由于冲量的作用，作用后的瞬间速度产生一个突变，但是瞬间荷载立即消失，因此体系上没有外加荷载，相当于自由振动。瞬时荷载的作用——因此，由于瞬时荷载作用，使质点产生一个速度增量，但位移增量为零。有初始速度、没有初始位移的自由振动。自由振动的产生原因——初始位移、初始速度。版权所有：颜军初始速度的计算—设初始条件为瞬时冲量作用后的瞬间，瞬时作用的解—有初始速度、没有初始位移的自由振动的解瞬时冲量作用后时刻t体系位移反应为版权所有：颜军上述瞬时荷载P(t)的作用时刻在t=0，对应于τ时刻的瞬时荷载，上述位移反应变换为：版权所有：颜军体系在整个地震作用过程中的位移反应可以看作是上述瞬时荷载所引起微分位移的叠加——“每天都是新的开始”，即该积分即著名的杜哈曼（Duhamel)积分。式中,

为有阻尼自振圆频率，因一般ξ=0~0.1，ωd≈ω，单质点体系相对位移x(t)为：版权所有：颜军总结齐次方程的解非齐次方程的解——杜哈梅积分初始条件：相对地面静止所以微分方程的解就是特解版权所有：颜军单自由度体系地震反应分析过程建立微分动力方程相对位移反应x(t)相对速度反应v(t)—上式对时间求导，并忽略高阶阻尼的影响可得版权所有：颜军求绝对加速度反应ａ(ｔ)由体系振动微分方程可得质点的绝对加速度ａ(ｔ)如果忽略上述方程右边的阻尼项，则版权所有：颜军上述4式表明，对于可以简化为单自由度体系的结构，只要知道地面加速度时程，以及结构本身的频率特性和阻尼特性，就可以计算出结构的各种反应（速度、加速度、位移反应）。因此，结构地震反应是地震动特性和结构动力特性两方面因素的综合体现，即结构的地震反应同时包含了地震动和结构体系两者的特性。在结构地震作用计算时，应考虑两者的影响。版权所有：颜军注意理解自由振动——初始位移、初始速度瞬时作用振动——初始速度引起的自由振动地震反应——一系列瞬时作用的积分方法——达朗贝尔原理、杜哈梅积分、高等数学（求解微分方程）版权所有：颜军思考——地震如何作用于结构，形成等效荷载?

地震引起惯性力

因此可以理解为——地震作用产生的相对位移是惯性力引起的，因此可以将惯性力理解为一种能反映地震影响的等效荷载。版权所有：颜军惯性力（等效荷载）的大小在结构抗震设计中，只需求出水平地震作用的最大值因此，将地震作用通过等效荷载形式传递到结构F版权所有：颜军3.4弹性地震反应谱3.4.1单自由度体系地震反应向反应谱的转化设计中往往是最关心地震时程中结构地震反应的最大值。如果用SD表示最大相对位移，SV表示最大相对素的，SA表示最大绝对加速度，注意到下列公式，有相对位移反应x(t)相对速度反应v(t)版权所有：颜军求绝对加速度反应ａ(ｔ)各变量的最大值如果地面运动加速度给定，上述地震反应的最大值将是结构动力特性（和）的函数。版权所有：颜军只要地震加速度时程、结构的阻尼比已知，对于一个给定的频率，即可分别算出该频率下的三个地震反应参数的最大值。如果频率沿横坐标轴不断变化，就可以计算出一条最大（SD，SV，SA）与频率的关系曲线，改曲线称作反应谱。相对位移反应谱相对速度反应谱绝对加速度反应谱版权所有：颜军弹性地震反应谱是指具有一定阻尼的单自由度弹性体系的地震最大反应（包括SD、SV、或SA）与体系自振周期的关系曲线。——一次地震记录一组反应谱决定因素——阻尼比、地震加速度特性（振幅、频谱、持续时间）版权所有：颜军加速度反应谱形成过程示意版权所有：颜军版权所有：颜军版权所有：颜军3.4.2地震反应谱的特性地震反应谱是极其复杂的多峰点的曲线，较小的阻尼就能使反应谱的峰点削平很多（见图示）。加速度反应谱在短周期部分上下跳动比较大，但是当周期稍长时，就显示出随周期增大逐渐减少的趋势。反应谱与地震加速度记录（地震波）三个特性相关：

地震波峰值—地震烈度衡量；地震波持续时间—地震特性；地震波频谱特性：各频率分量所占比例与场地有关，场地可过滤或放大某些频率的地震波分量。版权所有：颜军版权所有：颜军3.5标准反应谱地震时结构经受的最大地震作用：FEK其中：动力系数—表征结构反应地震系数—表征地震强度版权所有：颜军地震系数k由上式知，它表示是地面运动加速度峰值与重力加速度的比值；地震系数与地震烈度有关；根据《抗震规范》规定，烈度与k值对应关系如下：实际地震可能大很多倍。基本烈度6789设计基本地震加速度值0.05g0.10（0.15）g0.20（0.30）g0.40g表3.2.2抗震设防烈度和设计基本地震加速度值得对应关系(抗-2010)基本烈度6789地震系数k0.050.10（0.15）0.20（0.30）0.40版权所有：颜军地震系数k物理意义：由上式可知，动力系数表示体系地震反应最大绝对加速度对地面运动最大加速度的放大倍数，表征结构的放大作用。动力系数反应谱—加速度反应谱除以地面运动加速度峰值，二者曲线形状完全一致，又称β反应谱；β反应谱与地震烈度无关，就可以利用所有不同烈度地区的地震记录进行统计，还需考虑地震持续时间、地震频谱特性的影响，即还须考虑地震特性、场地特性的影响。版权所有：颜军标准反应谱产生的工程背景：由于地震的随机性，影响地震动的因素复杂多变，因此，即使在同一地点、同一烈度，由不同地震记录（加速度记录）给出的地震动反应谱往往表现得非常离散（如右图），不便于工程应用。标准反应谱——根据大量的强震记录计算出对应于每一条强震记录的β反应谱曲线，然后将不同地震动记录的β反应谱曲线加以统计平均（均值反应谱），即得到标准反应谱。版权所有：颜军版权所有：颜军版权所有：颜军3.5标准反应谱设计反应谱的概念产生的工程背景：从工程设计角度，人们希望得到具有一定安全程度的地震力规定，设计反应谱便是基于这种需要产生的；在标准反应谱基础上，各规范（国家、地区）根据各自的情况，提出用于指导设计的设计反应谱。版权所有：颜军在研究与应用中，应该认清设计反应谱、标准反应谱与地震反应谱之间的概念差异。地震反应谱主要反映了地震动频谱特性标准反应谱是地震反应谱的统计分析和数学处理设计反应谱则是在标准反应谱基础上对设计地震力的一种规定三者都同一在反应谱是单质点体系最大地震反应关于结构周期（频率）的变化曲线这已反应谱的普遍定义上来。版权所有：颜军版权所有：颜军抗震规范采用的设计反应谱地震影响系数α为便于一般工程设计，抗震规范引入地震影响系数α；并采用地震影响系数曲线作为设计加速度反应谱。我国抗震规范定义地震影响系数α为作用于单质点弹性体系上的水平地震作用于该质点的重力之比，即物理意义：α表示体系地震作用于重力的相互关系；地震影响系数反应谱——实质是一种加速的反应谱。版权所有：颜军关键点一——加速度反应谱的特点场地土的特性——场地卓越周期版权所有：颜军关键点二——加速度反应谱的特点震级——震级（烈度）高，峰值相近，长周期部分提高；震中距——当烈度基本相同时，震中距远时，加速度反应谱的峰点偏于较长周期，近时则偏于较短周期版权所有：颜军关键点三——合成版权所有：颜军《抗震规范2010》规定：建筑结构的地震影响系数应根据烈度、场地类别、设计地震分组和结构自振周期以及阻尼比等因素，按下图的设计反应谱确定。专门研究图5.1.5地震影响系数曲线α一地震影响系数；αmax一地震影响系数最大值；η1一直线下降段的下降斜率调整系数；γ—衰减指数；Tg一特征周期；η2—阻尼调整系数；T—结构自振周期版权所有：颜军反应谱曲线的描述参数版权所有：颜军的确定基本烈度6789地震系数k0.050.10（0.15）0.20（0.30）0.40的确定地震资料统计结果表明，动力系数最大值与地震烈度、地震环境影响不大，根据对四类场地土的βmax分析可知，各类场地的βmax相近，当阻尼比为0.05时，规范取βmax=2.25.该系数消除了烈度的影响，便于分析。版权所有：颜军表5.1.4-1水平地震影响系数最大值地震影响6度7度8度9度多遇地震0.040.08（0.12）0.16(0.24)0.32罕遇地震0.280.50（0.72）0.90(1.20)1.40注：括号中数僮分别用于设计基本地震加速度为0.15g和0.30g的地区。特征周期Tg的确定特征周期反映场地类别、场地分组的影响；根据场地类别和设计地震分组按下表采用设计地震分组场地类别Ⅰ0Ⅰ1ⅡⅢⅣ第一组0.200.250.350.450.65第二组0.250.300.400.550.75第三组0.300.350.450.650.90版权所有：颜军阻尼系数的调整当建筑结构的阻尼比按有关规定不等于0.05时，地震影响系数曲线的阻尼调整系数和形状参数应符合下列规定：版权所有：颜军阻尼系数的调整除有专门规定外，建筑结构的阻尼比应取0.05，地震影响系数曲线的阻尼调整系数应按1.0采用，形状参数应符合下列规定：1)直线上升段，周期小于0.1s的区段。2)水平段，自0.1s至特征周期区段，应取最大值(αmax)。3)曲线下降段，自特征周期至5倍特征周期区段，衰减指数应取0.9。4)直线下降段，自5倍特征周期至6s区段，下降斜率调整系数应取0.02。版权所有：颜军版权所有：颜军版权所有：颜军3.6多自由度体系地震反应分析版权所有：颜军3.6.1多自由度体系地震反应微分方程的建立一两个自由度体系运动方程版权所有：颜军隔离体受力分析x2x1m2m1c2k2c1k1m2m1m2版权所有：颜军建立隔离体平衡方程质点m1质点m2m1m2版权所有：颜军建立方程组进行变换进行变换版权所有：颜军方程形式运动方程的矩阵表达版权所有：颜军令运动方程组为版权所有：颜军有地震加速度输入版权所有：颜军二三个自由度体系运动方程m2m2隔离体受力分析x1m2m1c2k2c1k1x2x3m3c3k3m1版权所有：颜军建立平衡方程m2建立方程组版权所有：颜军矩阵形式版权所有：颜军有地震加速度输入版权所有：颜军三n个自由度体系运动方程版权所有：颜军3.6.2多自由度体系自由振动特性（一）频率方程及自振频率对于2自由度体系，忽略阻尼的影响微分方程的解的形式带入微分方程，得用矩阵表示版权所有：颜军（二）两个自由度体系的自振频率两个方程，三个未知数，不能全部求解克莱姆法则解该方程，得版权所有：颜军（三）主振型及其特点将求得的频率ω1和ω2代入上述方程组，可求质点1，2的位移幅值的比值。对应于ω1的用X11和X12表示；对应于ω2的用X21和X22表示。对应于ω1对应于ω2常数版权所有：颜军对应于ω1可得同样地，对应于ω2，有当体系按照某一自振频率振动时，体系中所有质点位移在任意时刻的比值保持不变，这种振动形式称为主振型。主振型一般将其中一个质点对应量记为1，其余按比例确定——特征向量的归一化。版权所有：颜军任一多自由度体系的运动微分方程克莱姆法则——上述齐次线性方程组要存在非零解，必须上式即为多自由度体系的频率方程，通过对该方程的求解即可求得n个频率方程的正实根，即为n个自由度体系的所有n个自振圆频率。自振频率数量与自由度的个数相等。频率的排列顺序由大到小，最小的称基本频率，对应的周期称基本周期。基本频率版权所有：颜军关键点——当体系按某一主振型振动时，这个多自由度体系实际上就像一个单自由度体系在振动。主振型就是多自由度体系能够按照单自由度振动所具有特定形式。版权所有：颜军主振型的几点说明线性代数——线性方程组（微分方程组）、特征值（圆频率）、特征向量（主振型）。在一般情况下，n个自由度体系的振动可以看作是n个不同频率的主振型的组合振动，各个主振型所占比例随时间变化，总体表现为复杂的振动形式。多自由度体系能够按照某一主振型自由振动的条件是：初始位移和初始速度与主振型相对应。举例：多声部大合唱.......版权所有：颜军版权所有：颜军版权所有：颜军版权所有：颜军版权所有：颜军版权所有：颜军主振型及其正交性第一振型第二振型版权所有：颜军版权所有：颜军虚功原理第一状态的力在第二状态的位移上所作的功等于第二状态的力在第一状态的位移上所作的功。版权所有：颜军对于多自由度体系忽略阻尼影响两边左乘版权所有：颜军振型正交性振型具有相互独立性——某一振型在振动过程中在其他振型上不做功，所以它的动能不会转移到别的振型上，即它不会引起和改变别的振型振动。主振型的正交性是多自由度体系自由振动的一个重要特性，也是多质点体系地震反应分析的重要工具。版权所有：颜军多自由度体系振型的计算方法矩阵迭代法——Stodola法运动方程矩阵表达式利用迭代的办法逐步逼近的方法求振型和结构的频率版权所有：颜军计算步骤计算结果假定计算反复迭代，直到根据正交性计算[x]2~[x]n特点——误差积累，利用正交性求解，由低到高；对高振型误差较大。反复迭代——计算工作量较大，编程计算实际结构分析中，由于考虑主要前几个振型，所以误差积累的影响不大，可以采用。版权所有：颜军3.6.3运动方程的解——振型分解法运动方程组方程组中每一个方程包含所有未知量X1~Xn，联立求解——实现困难解决办法——方程解耦当体系按照某一主振型振动时，这个多自由度体系实际上就像一个单自由度体系在振动。主振型就是多自由度体系能够按照单自由度振动所具有的特定形式。版权所有：颜军因此，当振型确定以后，结构的反应和就可以通过广义坐标来确定，而广义坐标相当于各振型所占总体变形的比例。广义坐标法——变量代换对于二自由度体系，质点1和2在地震作用下任意时刻的位移x1(t)和x2(t)可以用两个振型的组合来表示：原来的未知量——和；新的未知量为——和，表示两个振型在任意时刻所占比例，是时间的函数。广义坐标——和替代原来坐标和，定义为广义坐标。版权所有：颜军对于多自由度体系，同样可以建立广义坐标q1(t)~qn(t)其中版权所有：颜军阻尼的处理——为了使方程解耦，假定阻尼矩阵为质量阻尼和刚度阻尼的线性组合，即将上述两公式带入运动方程，得到：此即为用广义坐标表示的运动方程。版权所有：颜军两边左乘利用振型的正交性版权所有：颜军版权所有：颜军利用振型的正交性，同样可以得到下列关系版权所有：颜军版权所有：颜军令最终得到版权所有：颜军最终得到n个微分方程，只有一个未知数qj，将联立方程组解耦成功。因此，问题转变为求qj，而qj的解法与单自由度体系地震反应分析求解方法类似。回顾单自由度解版权所有：颜军版权所有：颜军振型参与系数主要参数版权所有：颜军试验确定版权所有：颜军根据上述公式，可以求得多自由度体系在地震作用下的位移反应，从而能进一步求得加速的和速度反应。需要计算的参变量主要是多自由度体系的各阶振型的频率、阻尼比、振型、振型参与系数。所以关键是——动力特性（振型、阻尼比、频率）的计算和试验确定。版权所有：颜军振型分解反应法复习WHY?——为什么需要振型分解法？多自由度地震反应分析单自由度——直接求解；双自由度——得到两个位移反应的比值，得到振型、但无法得到各质点的地震反应；N个自由度——N个方程耦合形成N元二次微分方程，即：有N个方程，每个方程中有N个未知量，无法直接得到各个振型，也无法得到各个质点的地震反应。版权所有：颜军WHAT?——什么是振型分解法？振型分解法的目的——方程解耦；将相互耦连的N元二次微分方程组解耦成N个分别含有一个未知量的互不关联的方程，并分别求解出各未知量；振型分解法关键点——

关键点一：振型求解——迭代法关键点二：广义坐标法关键点三：阻尼分解关键点四：振型正交性（关于质量、刚度正交）版权所有：颜军HOW?——振型分解法怎么用？求各阶振型和频率求振型和求振型

得到

版权所有：颜军3.6.4地震作用计算方法（一）——振型分解反应谱法得到

得到,强度设计需要“荷载”作用

得到各质点受到的整个时程的地震作用值地震作用最大值F5F4F3F2F1版权所有：颜军质点惯性力——质点受到的地震作用前文论证—惯性力相当于地震作用，类似于荷载作用F5F4F3F2F1版权所有：颜军公式给出了地震作用随时间变化的曲线，即给出了地震作用等效荷载的时程曲线，设计中关心最大值。F15F14F13F12F11第j振型第i质点的最大地震作用——Fji第j振型第i质点的最大加速度，形式与单自由度的最大加速度相同，因此可以利用反应谱理论得到最大值。版权所有：颜军单自由度地震作用令版权所有：颜军——第j振型自振周期Tj的地震影响系数——第j振型的振型参与系数——j振型i质点的水平相对位移，按振型取值——重力荷载代表值按下表取值版权所有：颜军5.1.3计算地震作用时，建筑的重力荷载代表值应取结构和构配件自重标准值和各可变荷载组合值之和。各可变荷载的组合值系数，应按表5.1.3采用。表5,1.3组合值系数可变荷载种类组合值系数雪荷载0.5屋面积灰荷载0.5屋面活荷载不计入按实际情况计算的楼面活荷载1.0按等效均布荷载计算的楼面活荷载藏书库、档案库0.8其他民用建筑0.5起重机悬吊物重力硬钩吊车0.3软钩吊车不计入

注：硬钩吊车的吊重较大时，组合值系数应按实际情况采用。版权所有：颜军

求结构在各振型最大地震作用Fij下的效应Sj

包括层间剪力、构件内力、层间位移具体计算应根据工程目的或题目要求确定F15F14F13F12F11版权所有：颜军

求结构在各振型最大地震作用Fij下的综合效应S根据振型分解法，结构在任一时刻所受的地震作用为该时刻各振型地震作用之和。但必须注意到各振型的地震作用一般不会同时达到最大值。根据随机振动理论分析，如果假定地震时地面运动为平稳随机过程，且相邻频率相差较大，则对于各平地振型产生的地震作用效应可近似第采用下列“平方和开方（SRSS）”法确定。式中Sj——j振型水平地震作用效应，包括内力及变形。版权所有：颜军注意：F15F14F13F12F11举例原因——在高阶振型中地震作用有正有负，经平方后则全为正值，故采用前中方法计算时，会放大结构受到的地震作用效应。版权所有：颜军版权所有：颜军版权所有：颜军

振型分解反应谱法计算过程确定参与振型的数目：频率最低的几个振型往往控制着最大地震反应。一般2~3个周期较长结构的各个自振频率比较接近，所以T1>1.5s或H/B>5时，适当多取。求各个需要参与组合振型的最大地震作用按一定的方式进行效应组合。述过程中最关键的是计算体系的自振周期和振型，当自由度数量超过3个时，计算工作量较大，一般只能采用软件进行计算。版权所有：颜军第二部分地震作用计算和结构抗震验算版权所有：颜军3.7底部剪力法基本思想——振型分解法近似振型分解法需要考虑多阶振型和频率，计算比较繁琐对于较多结构，第一振型占绝对主要部分，其他振型影响相对很小，可以忽略因此，此类结构可以只考虑第一振型的影响，只计算第一振型的自振频率、地震作用。方法——将结构等效为单自由度，计算底部剪力，按照第一振型形状得到各质点地震作用，从而可以得到结构的地震反应版权所有：颜军（一）WHY？①——为什么采用底部剪力法？3.7.1底部剪力法的基本原理振型分解法需要考虑多阶振型和频率，计算比较繁琐；对于较多结构（适用条件），第一振型占绝对主要部分，其他振型影响相对很小，可以忽略。因此，此类结构可以只考虑第一振型的影响，只计算第一振型的自振频率、地震作用——近似一版权所有：颜军只考虑第一振型作用，因此近似假定第一振型为倒三角形分布——近似二倒三角形分布（二）WHY？②——为什么称为底部剪力法？版权所有：颜军因此，可以得到各质点处地震作用为因此，结构总水平地震作用标准值，即结构底部剪力为版权所有：颜军因此，只需要求出底部剪力值FEK，就可以得到各质点处的地震作用值，也就相当于能够求出结构的地震作用和地震作用下的内力值，所以称为底部剪力法。版权所有：颜军求出第一振型的自振频率，直接查表可以得到（三）HOW？——底部剪力法如何计算？版权所有：颜军引入参数——结构总重力荷载版权所有：颜军其中《抗规》规定版权所有：颜军3.7.2底部剪力法计算步骤求各质点对应的重力荷载代表值Gi计算结构第一主频率（即结构的自振周期T）关键问题——自振周期求解重力荷载标准值版权所有：颜军（四）WHEN？——底部剪力法适用范围？前提结构可只考虑第一振型的影响，只计算第一振型的自振频率、地震作用——近似一近似假定第一振型为倒三角形分布——近似二适用条件：高度不超过40ｍ、以剪切变形为主、且质量和刚度沿高度分布比较均匀的结构；近似于单质点体系的结构（单厂、水塔、广告牌），可采用底部剪力法简化方法。基本概念：剪切型、弯曲型剪切型—框架、砌体弯曲型—剪力墙版权所有：颜军3.7.3底部剪力法计算地震作用调整调整一：顶部附加地震作用WHY？——顶部为什么要考虑附加地震作用？理解之一：自振周期越长、结构刚度越小、结构越柔、弯曲变形（高阶振型）占比例越多、结构振动曲线越偏离倒三角形分布，底部剪力法准确度越低、所计算地震作用需要修正和调整。理解之二：结构自振周期越长、高阶振型影响更大，大量结构地震反应直接动力分析的结构表明，按底部剪力法计算得到的结构顶部地震剪力偏小，因此需要进行放大调整。高振型影响版权所有：颜军HOW？——如何进行顶部地震作用调整？调整方法——当T1>1.4Tg将结构总地震作用的一部分作为集中力作用于结构顶部，再将余下部分按倒三角形分配给各质点。顶部附加地震作用放大系数版权所有：颜军顶部附加地震作用系数，多层钢筋混凝土和钢结构房屋可按表3.5采用，多层内框架砖房可采用0.2，其他房屋可采用0.0；Tg(s)T1>1.4TgT1≤1.4Tg≤0.350.08T1+0.070.0<0.35~0.550.08T1+0.01>0.550.08T1-0.02表3.5顶部附加地震作用系数dn版权所有：颜军注意——当顶部有小建筑物时，顶部附加作用作用在主体版权所有：颜军调整二：鞭端效应WHY？——什么是鞭端效应、为什么要考虑鞭端效应？“鞭端效应”——底部剪力法适用于重量和刚度沿高度分布比较均匀的结构，当建筑物有突出屋面的小建筑物比如屋顶间（电梯机房、水箱间）、女儿墙、烟囱和装饰等时，由于该部分的重量和刚度突然变小，地震时突出屋面的小建筑物反应特别强烈、震害比主体结构严重。版权所有：颜军如何考虑—《抗震规范》规定仅将小建筑按底部剪力法计算得到的地震作用放大3倍，其他质点地震作用不变；在计算层间剪力时，1倍地震作用往下传递、放大部分（2倍）地震作用不往下传递。版权所有：颜军调整三：楼层最小地震剪力要求楼层水平地震剪力最小值的规定？WHY？——对于基本周期大于3.5S的结构按振型分解反应谱法和底部剪力法所计算的地震作用可能太小，但是实际震害表明，长周期结构，震害可能更加严重（墨西哥地震）。——振型分解反应谱法和底部剪力法可能偏于不安全。因此，从安全角度考虑，增加对各楼层水平地震剪力最小值的要求，即按振型分解法和底部剪力法所计算得到层间剪力应符合以下要求：版权所有：颜军楼层最小地震剪力系数——剪重比类别7度8度9度扭转效应明显或T1<3.5s的结构0.016(0.024)0.032(0.048)0.064T1>5s的结构0.016(0.024)0.024(0.032)0.040表3.7楼层最小地震剪力系数基本周期介于3.5s～5之间的结构，线性插入取值。版权所有：颜军调整四：考虑地基与上部结构共同作用地基与上部结构共同作用——假定刚性地基、实际并非刚性地基；地基产生局部变形，引起上部结构的移动或摆动。地基与上部结构共同作用——改变地基运动和结构动力特性由于地基的柔性，使得结构的基本周期延长地基越柔，结构的振动衰减越快改变地基运动的频谱，使得接近于结构自振频率的分量获得加强——更容易自振减小地基运动的加速度幅值结构地震作用减小，但是结构的位移和P-Δ效应更加明显版权所有：颜军考虑地基结构共同作用的抗震设计考虑情况——建造在8度和9度；Ⅲ、Ⅳ类场地上且采用箱基、刚性较好的筏基或桩箱联合基础的RC高层建筑；当结构的基本周期位于特征周期的1.2~5倍范围内时，可以考虑地基与结构的相互作用如何考虑——对采用刚性地基假定计算的水平地震剪力按规定进行折减，层间变形也按折减后的楼层剪力计算高宽比<3的结构，各楼层地震剪力的折减系数为高宽比>3的结构，底层地震剪力的折减系数同上，顶部不折减，中间层线形插值计算版权所有：颜军小结一：底部剪力法计算过程求各质点对应的重力荷载代表值Gi计算结构第一主频率（即结构的自振周期T）课堂小结版权所有：颜军小结二：底部剪力法适用范围适用条件：高度不超过40ｍ、以剪切变形为主、且质量和刚度沿高度分布比较均匀的结构；近似于单质点体系的结构（单厂、水塔、广告牌），可采用底部剪力法。前提结构可以只考虑第一振型的影响，只计算第一振型的自振频率、地震作用——近似一近似假定第一振型为倒三角形分布——近似二剪切型—框架、砖房版权所有：颜军小结三：长周期结构修正、调整顶部附加地震作用？楼层水平地震剪力最小值的规定？版权所有：颜军小结四：顶部小建筑物的处理在利用底部剪力法计算地震作用时，仍可把这类屋面小建筑当作一个质点计算其地震作用。当计算该突出部位的地震作用效应时再乘以增大系数3，并采用放大后的值进行该部分构件及连接节点的配筋计算。如果采用振型分解反应谱法，当考虑振型数量较少时，对突出部位的地震作用效应可乘以增大系数1.5;当振型数量接近楼层数量时，可不考虑顶部放大。注意两点：顶部考虑鞭端效应的内力放大部分只作为本屋面小建筑的强度验算，不应往下面楼层传递。对于同时考虑鞭端效应和顶部附加地震作用的建筑，顶部附加地震作用应作用再主体屋面部位。Gn+1Fn+13×Vn+1版权所有：颜军本节课需要掌握的内容底部剪力法基本原理和步骤采用底部剪力法计算地震作用四个调整——顶部、鞭端、长周期、地基三个周期计算方法——能量法、顶点位移法、等效质量法重要概念——重力荷载代表值、剪重比、鞭端效应预习——振型分解反应谱法、底部剪力法计算版权所有：颜军某二层钢筋混凝土框架结构(地震作用计算简图如下)，建造于设防烈度为7度（设计基本加速度0.15g）、设计地震分组为第一组的Ⅱ类场地上。已知该结构集中于每个楼层的重力荷载代表值分别为G1＝650KN、G2＝550KN；各层层间侧移刚度分别为k1=5×104kN/m,k2=4.0×104kN/m；楼层层高均为4.0m。试用底部剪力法计算该结构在多遇地震下的层间地震剪力。注：结构基本周期采用能量法(瑞雷法)计算。

例题图计算简图

G2

G1

k1

k240004000解题步骤：求近似第一振型利用能量法计算基本周期计算结构总水平地震作用求楼层地震作用求层间地震剪力底部剪力法法例题版权所有：颜军计算简图（一）求重力荷载水平作用下的结构位移（近似第一振型）

D1=V1/k1=(G1+G2)/k1＝（650+550)/50000=0.024(m）

D2=V2/k2=G2)/k2＝550/40000=0.014(m）求质点位移：X1＝D1=0.024(m）；X2＝D1

＋D2

＝0.038(m）

G2

G1

k1

k2G2G1X2X1F2F1（二）代入能量法公式求基本周期（三）计算结构总水平地震作用

1.00.63例题解答过程版权所有：颜军（四）求质点地震作用版权所有：颜军自振周期可根据基于脉动实测的统计公式、近似估算公式或理论公式计算确定。近似估算公式钢筋混凝土框架结构，T1=(0.08～0.10)N钢筋混凝土框架-抗震墙结构或框架-筒体结构，T1=(0.06～0.08)N钢筋混凝土抗震墙结构或筒中筒结构，T1=(0.04～0.05)N高层钢结构，T1=(0.10～1.20)N关于近似理论计算方法很多，常用的一般有能量法等效质量法顶点位移法3.7.4多自由度体系基本周期的近似计算版权所有：颜军原理——根据体系在振动过程中能量守恒定律导出，是求多质点体系第一频率（基本频率）的一种近似方法。原理：一个无阻尼的弹性体系在自由振动时，其在任意时刻的动能与变形势能之和保持不变。能量守恒体系势能体系动能能量法—Rayleigh法版权所有：颜军体系势能体系的势能最大值——体系应变能最大值，该状态对应于位移幅值状态，由于体系在重力荷载按水平力作用下的变形曲线与第一振型较为接近（近似假定），即有最大应变能为自由振动时体系动能版权所有：颜军体系基本频率体系基本周期讨论：基本阵型是假定的，因此是近似。可以进一步迭代，求出更精确解。版权所有：颜军等效质量法原理——用一个单自由度体系等效（代替）多自由度体系。等效目标：等效单自由度体系与原体系质量不同——等效质量等效单自由度体系与原有多自由度体系自振频率相等或相近约束条件和刚度与原体系完全相同关键点一——等效质量所在位置：等效质量位于顶点，计算最方便；关键点二——等效质量确定：按自振频率相等条件进行等效质量计算。版权所有：颜军自振频率相等版权所有：颜军版权所有：颜军版权所有：颜军顶点位移法原理——将结构简化为有限个（或无限个）质点的悬臂直杆，然后求出以结构顶点位移表示的基本频率。根据结构在重力荷载水平作用时的顶点位移来推算基本周期。简化体系按弯曲振动简化体系按剪切振动版权所有：颜军简化体系在均布荷载q=mg下，由弯曲和剪切引起的顶点位移弯曲变形剪切变形计算得到假定——体系在重力荷载代表值Gi产生的弹性变形曲线即为结构体系的第一振型形状。——关键点版权所有：颜军弯曲变形为主的结构剪切变形为主的结构弯剪变形为主的结构将重力荷载代表值作为水平荷载作用于框架，计算顶点位移。版权所有：颜军一般在结构周期计算时都不考虑填充墙的刚度，使得结构的计算刚度比实际刚度偏小，从而使计算周期比实际周期大。这种计算周期的夸大无疑会使计算地震作用偏小，使得结构偏于不安全。对于民用框架结构取aT=0.55～0.75；对于框架－抗震墙结构aT=0.8～0.9。计算周期折减系数一般考虑上述问题，一般对在不考虑填充墙刚度情况下的周期计算值乘于一个小于1的系数aT,称周期调整系数，即版权所有：颜军ac0.8~1.00.7~0.60.5~0.40.3~0.2aT无洞0.500.550.600.70有门窗洞0.650.700.750.85ac0.8~1.00.7~0.60.5~0.40.3~0.2aT无洞0.550.600.650.75有门窗洞0.700.750.800.90

6m左右填充墙数与框架榀数比值aC对应的aT

5m左右填充墙数与框架榀数比值aC对应的aT版权所有：颜军3.8建筑结构抗震验算结构抗震承载力验算地震作用的方向重力荷载代表值结构构件截面的抗震验算结构抗震变形验算多遇地震作用下结构抗震变形验算罕遇地震作用下结构抗震变形验算本节课重点：结构抗震承载力验算方法；结构变形控制值；薄弱层变形验算版权所有：颜军地震作用计算方向的考虑原则地震作用严格意义上讲是随机的，但一般情况下，允许在建筑结构的两个主轴方向分别计算水平地震作用并进行抗震验算，各方向的水平地震作用应由该方向抗侧力构件承担。正交体系版权所有：颜军有斜交抗侧力构件的结构，当相交角度大于150时，应分别计算各抗侧力构件方向的水平地震作用。版权所有：颜军有斜交抗侧力构件的结构，当相交角度小于150时，应按两个正交方向计算水平地震作用，但需要折减。版权所有：颜军质量和刚度分布明显不对称的结构，应计入双向水平地震作用下的扭转影响；其他情况，应采用调整地震作用效应的方法计入扭转影响（边榀放大的方法，1.3；1.15；1.05）结构扭转示意版权所有：颜军8、9度时的大跨度和长悬臂结构以及9度时的高层建筑，应计算竖向地震作用。版权所有：颜军版权所有：颜军地震作用计算方法选用底部剪力法：高度不超过40m、以剪切变形为主且质量和刚度沿高度分布比较均匀的结构，以及近似于单质点体系的结构振型分解反应谱法：适用于所有建筑结构。沿两个主轴方向分别计算，也可考虑扭转。——振型数3N静力弹塑性分析法（push-over）:罕遇地震下变形验算动力时程分析法：特别不规则的建筑、甲类建筑和表3.9所列高度范围的高层建筑多遇地震下的补充计算——取多条时程曲线计算结果的平均值与振型分解反应谱法计算结果的较大值。版权所有：颜军表5.1.2-1采用时程分析的房屋高度范围烈度、场地类别房屋高度范围(m)8度I、Ⅱ类场地和7度＞1008度Ⅲ、Ⅳ类场地＞809度＞60与各类结构相适应的地震作用计算方法低于40m规则结构一般结构明显不对称结构高耸、大跨、长悬臂甲类、超高层建筑底部剪力法振型分解反应谱法考虑扭转或双向地震作用考虑竖向地震作用时程分析法补充版权所有：颜军重力荷载代表值建筑重力荷载代表值得取值（抗震计算时每个楼层的集中质量）5.1.3计算地震作用时，建筑的重力荷载代表值应取结构和构配件自重标准值和各可变荷载组合值之和。各可变荷载的组合值系数，应按表5.1.3采用。表5,1.3组合值系数可变荷载种类组合值系数雪荷载0.5屋面积灰荷载0.5屋面活荷载不计入按实际情况计算的楼面活荷载1.0按等效均布荷载计算的楼面活荷载藏书库、档案