ch3静态电磁场及其边值问题的解

本章内容

3.1静电场分析

3.2导电媒质中的恒定电场分析

3.3恒定磁场分析

3.4静态场的边值问题及解的惟一性定理

3.5镜像法

3.6

分离变量法

静态电磁场：场量不随时间变化，包括：静电场、恒定电场和恒定磁场

时变情况下，电场和磁场相互关联，构成统一的电磁场静态情况下，电场和磁场由各自的源激发，且相互独立3.1静电场分析

学习内容

3.1.1静电场的基本方程和边界条件

3.1.2电位函数

3.1.3导体系统的电容

3.1.4静电场的能量2.边界条件微分形式：本构关系：1.基本方程积分形式：或或3.1.1静电场的基本方程和边界条件若分界面上不存在面电荷，即，则即静电场可以用一个标量函数的梯度来表示，标量函数称为静电场的电位函数或简称电位。1.电位函数的定义3.1.2电位函数由,及电场为矢量，对应三个标量函数，而电位φ为一标量函数。显然，计算电位更容易。借助电位求电场的方法，称为辅助函数法。根据和标量函数梯度性质可知，电场线垂直于等位面，且总是指向电位下降最快的方向。2.电位的表达式对于连续的体分布电荷，由同理得，面电荷的电位：故得点电荷的电位：线电荷的电位：在均匀介质中，有3.静电位的微分方程在无源区域，标量泊松方程拉普拉斯方程这些方程反映空间点上静电场的特性。但是它们是微分方程，只适合于场函数连续可导的情形。对于有媒质突变的问题，场函数不再是连续可导，因此场方程的微分形式不再适用。有时研究的问题是有界的，在边界上，场方程的微分形式也不再适用。为此，需要寻找分界面和边界上静电场满足的方程，称之为静电场的边界条件。4.静电位的边界条件

设P1和P2是介质分界面两侧紧贴界面的相邻两点，其电位分别为1和2。当两点间距离Δl→0时由和媒质2媒质1分界面上电位连续，电位法向导数不连续。导体表面上电位的边界条件（理想电壁边界条件）常数，

若介质分界面上无自由电荷，即媒质2媒质1导体中静电场始终为零，电位保持常数（等位体）。把导体看成介质2。得到电壁的边界条件孤立导体的电容可以看做该导体与电位参考点（无限远处或大地）之间的电容，定义为所带电量q与其电位的比值，即1.电容

孤立导体的电容

两个带等量异号电荷（q）的导体组成的电容器，其电容为

电容的大小只与导体系统的几何尺寸、形状和及周围电介质的特性参数有关，而与导体的带电量和电位无关。

3.1.3导体系统的电容

(1)假定两导体上分别带电荷+q和－q；

(2)计算两导体间的电场强度E；

计算电容的步骤：

(4)求比值，即得出所求电容。

(3)由 ，求出两导体间的电位差；

例3.1.4如图所示的平行双线传输线，导线半径为a，两导线的轴线距离为D，且D>>a，求传输线单位长度的电容。

解设两导线单位长度带电量分别为和。由于，故可近似地认为电荷分别均匀分布在两导线的表面上。应用高斯定理和叠加原理，可得到两导线之间的平面上任一点P的电场强度为两导线间的电位差故单位长度的电容为

例3.1.5同轴线内导体半径为a，外导体半径为b，内外导体间填充的介电常数为的均匀介质，求同轴线单位长度的电容。内外导体间的电位差

解设同轴线的内、外导体单位长度带电量分别为和，应用高斯定理可得到内外导体间任一点的电场强度为故得同轴线单位长度的电容为同轴线

电量为q的带电体具有的电场能量We

对于电荷体密度为ρ的体分布电荷，体积元dV中的电荷ρdV具有的电场能量为故体分布电荷的电场能量为对于面分布电荷，电场能量为对于线分布电荷，电场能量为3.1.4静电场的能量

1.静电场的能量对于多导体组成的带电系统，电荷只分布在导体表面，则有——第i个导体所带的电荷

——第i个导体的电位式中：2.电场能量密度上述能量公式给出了电荷系统的能量，虽然也是静电能量，但从形式上没有与静电场直接联系起来。

从场的观点来看，静电场的能量分布于电场所在的整个空间。孤立带电体的能量

电场能量密度：

电场的总能量：积分区域为电场所在的整个空间

对于线性、各向同性介质，则有能量不满足线性叠加原理由于体积V外的电荷密度ρ＝0，若将上式中的积分区域扩大到整个场空间，结果仍然成立。只要电荷分布在有限区域内，当闭合面S无限扩大时，则有无限远处电位为零。则

推证：ρρ＝0S【两种公式的讨论】

用电荷电位计算的能量的公式从表面上看，似乎电荷能量是集中在电荷里的，电荷是能量的承载者，没有电荷的地方就没有能量。这正是当年超距作用的观点。

用电场表示的能量公式告诉我们，只要有电场就有能量，即使所在的区域没有电荷。这是场的观点。

在静电问题上，超距作用观点与场观点谁也说服不了谁。后来时变电磁场研究中发现了电磁波，场的观点才占了上风。

用电荷电位计算的能量公式只能计算整体空间的能量。而电场能量公式可以计算局部区域中的能量。就整体空间而言，两个公式计算的结果一样。3.2导电媒质中的恒定电场分析

3.2.1恒定电场的基本方程和边界条件

3.2.2恒定电场与静电场的比拟

由J＝E可知，导体中若存在恒定电流，则必有维持该电流的电场，虽然导体中产生电场的电荷作定向运动，但导体中的电荷分布是一种不随时间变化的恒定分布，这种恒定分布电荷产生的电场称为恒定电场。

恒定电场和静电场都是有源无旋场，具有相同的性质。3.2.1恒定电场的基本方程和边界条件1.基本方程

恒定电场的基本方程为微分形式：积分形式：

恒定电场的基本场矢量是电流密度和电场强度

线性各向同性导电媒质的本构关系

恒定电场的电位函数由2.恒定电场的边界条件

场矢量的边界条件即即

电位的边界条件由和3.2.2恒定电场与静电场的比拟

如果两种场，在一定条件下，场方程有相同的形式，边界形状相同，边界条件等效，则其解也必有相同的形式，求解这两种场分布必然是同一个数学问题。只需求出一种场的解，就可以用对应的物理量作替换而得到另一种场的解。这种求解场的方法称为比拟法。恒定电场与静电场的比拟基本方程静电场（区域）本构关系位函数边界条件恒定电场（电源外）对应物理量静电场恒定电场

工程上，常在电容器两极板之间、同轴电缆的芯线与外壳之间，填充不导电的材料作电绝缘。这些绝缘材料的电导率远远小于金属材料的电导率，但毕竟不为零，因而当在电极间加上电压U时，必定会有微小的漏电流J存在。

漏电流与电压之比为漏电导，即其倒数称为绝缘电阻，即

漏电导(1)假定两电极间的电流为I；计算两电极间的电流密度矢量J；由J=E

得到E

;由，求出两导体间的电位差；(5)求比值，即得出所求电导。

计算电导的方法一：

计算电导的方法二：(1)假定两电极间的电位差为U；

(2)计算两电极间的电位分布；

(3)由得到E;(4)由J=E得到J;(5)由 ，求出两导体间电流；

(6)求比值，即得出所求电导。

计算电导的方法三：静电比拟法：

例3.2.1求同轴电缆的绝缘电阻。设内外的半径分别为a、b，长度为l

，其间媒质的电导率为σ、介电常数为ε。解：直接用恒定电场的计算方法电导绝缘电阻则设由内导体流向外导体的电流为I。若已知两电极之间的电容，即可求得两电极间的电阻及电导。

例如，已知面积为S，间距为d的平板电容器的电容，若填充的非理想介质的电导率为，则平板电容器极板间的漏电导为

又知单位长度内同轴线的电容。那么，若同轴线的填充介质具有的电导率为，则单位长度内同轴线的漏电导3.3.1恒定磁场的基本方程和边界条件3.3.2

矢量磁位和标量磁位3.3.3

电感3.3.4

恒定磁场的能量

3.3恒定磁场分析1.基本方程2.边界条件本构关系：或若分界面上不存在面电流，即JS＝0，则微分形式:积分形式:或3.3.1恒定磁场的基本方程和边界条件

矢量磁位的定义

磁矢位的任意性磁矢位不是惟一确定的，它加上任意一个标量的梯度以后，仍然表示同一个磁场，即即恒定磁场可以用一个矢量函数的旋度来表示。

根据Helmhotz定理，为了唯一确定A

，除了给定它的旋度外，还应该给定它的散度。在恒定磁场中通常规定，并称为库仑规范。1.矢量磁位矢量磁位或称磁矢位

3.3.2矢量磁位和标量磁位由和2.标量磁位

一般情况下，恒定磁场只能引入磁矢位来描述，但在无传导电流（J＝0）的空间中，则有即在无传导电流（J＝0）的空间中，可以引入一个标量位函数来描述磁场。

标量磁位的引入标量磁位或磁标位在线性、各向同性的均匀媒质中拉普拉斯方程

标量磁位的边界条件，3.3.3电感

磁通量Φ与电流I成正比。【磁链Ψ】：与回路电流交链的磁通总量。

式中，为的闭合曲线所交链的部分电流，I为回路的总电流。1.磁通与磁链对于N匝线圈，电流为I，则如果与总电流交链，则CI细回路iCIo粗回路

粗导线构成的回路，磁链分为两部分：一部分是粗导线包围的、磁力线不穿过导体的外磁链o；另一部分是磁力线穿过导体、只与部分电流交链的内磁链i。可以看出，磁通只是反映了通过面积的磁场通量，不能反映磁场与哪些电流交链。而磁链考虑了相交链的电流的贡献。

设回路C中的电流为I

，所产生的磁场与回路C交链的磁链为，则磁链与回路C中的电流I

有正比关系，其比值称为回路C的自感系数，简称自感。——外自感2.自感——内自感；粗导体回路的自感：L=Li+Lo

自感只与回路的几何形状、尺寸以及周围的磁介质有关，与电流无关。

自感的特点：

对两个彼此邻近的闭合回路C1和回路C2

，当回路C1中通过电流I1时，不仅与回路C1交链的磁链与I1成正比，而且与回路C2交链的磁链12也与I1成正比，其比例系数称为回路C1对回路C2的互感系数，简称互感。

3.互感同理，回路C2对回路C1的互感为C1C2I1I2Ro

互感只与回路的几何形状、尺寸、两回路的相对位置以及周围磁介质有关，而与电流无关。

满足互易关系，即M12=M21

当与回路交链的互感磁通与自感磁通具有相同的符号时，互感系数M为正值；反之，则互感系数M为负值。

互感的特点：3.3.4恒定磁场的能量1.磁场能量电流为I

的载流回路具有的磁场能量Wm

对于N个载流回路，则有对于体分布电流，则有2.能量密度

从场的观点来看，磁场能量分布于磁场所在的整个空间。

磁场能量密度：

磁场的总能量：积分区域为电场所在的整个空间

对于线性、各向同性介质，则有若电流分布在有限区域内，当闭合面S无限扩大时，则有

故

推证：S

例3.3.6同轴电缆的内导体半径为a

，外导体的内、外半径分别为

b

和c

，如图所示。导体中通有电流I

，试求同轴电缆中单位长度储存的磁场能量与自感。

解：由安培环路定理，得三个区域单位长度内的磁场能量分别为单位长度内总的磁场能量为单位长度的总自感内导体的内自感内外导体间的外自感外导体的内自感3.4静态场的边值问题及解的惟一性定理

边值问题：在给定的边界条件下，求解位函数的泊松方程或拉普拉斯方程

为了简化计算，静态场可以通过位函数获得。

同时，位函数在边界上须满足一定边界条件。

对于静电场，位函数是电位，满足

对于静磁场，位函数是磁矢位，满足3.4.1边值问题的类型

已知场域边界面上的位函数值，即

第一类边值问题（狄里赫利问题）已知场域边界面上的位函数的法向导数值，即

已知场域一部分边界面上的位函数值，而其余边界面上则已知位函数的法向导数值，即

第三类边值问题（混合边值问题）

第二类边值问题（纽曼问题）

自然边界条件（无界空间）源分布在有限区域。

分界面的衔接条件对于区域中包含两个以上介质的问题，边值问题还要考虑介质分界面上的边界条件，称为分界面的连接条件。如例：（第一类边值问题）（第三类边值问题）例：

在场域V的边界面S上给定或的值，则泊松方程或Laplace方程在场域V

具有惟一值。3.4.2惟一性定理

惟一性定理的重要意义

给出了静态场边值问题具有惟一解的条件

为静态场边值问题的各种求解方法提供了理论依据

为求解结果的正确性提供了判据

惟一性定理的表述

唯一性定理给出了定解的充分必要条件，虽然没有给出具体的求解方法，但对于求解有着重要的指导意义：一方面，我们在构造求解方程时，可以依据唯一性定理设置必要的边界条件；另一方面，如果我们利用某种方法获得了解，则可以肯定解是唯一的。即使采用不同的方法获得了不同形式的解，也可以肯定这些解是等价的。

3.5.1镜像法的基本原理

3.5.2接地导体平面的镜像

3.5镜像法

前面只是学过一些简单静态场的计算方法：

媒质均匀分布的空间中有限带电体产生的电位－积分法

利用高斯定理计算具有对称性的电位

实际中经常遇到的问题都是带有边界的。因此，目前已经学过的方法无能为力。

当有电荷存在于导体或介质表面附近时，导体和介质表面会出现感应电荷或极化电荷，而感应电荷或极化电荷将影响场的分布。

非均匀感应电荷产生的电位很难求解，可以用等效电荷的电位替代1.问题的提出

几个实例

接地导体板附近有一个点电荷，如图所示。qq′非均匀感应电荷等效电荷3.5.1镜像法的基本原理

接地导体球附近有一个点电荷，如图。非均匀感应电荷产生的电位很难求解，可以用等效电荷的电位替代等效电荷q非均匀感应电荷q′

结论：所谓镜像法是将不均匀电荷分布的作用等效为点电荷或线电荷的作用。

问题：这种等效电荷是否存在？这种等效是否合理？2.镜像法的原理

以镜像电荷代替边界的影响，将原来具有边界的非均匀空间变成无限大的均匀自由空间，从而使计算简化。

根据惟一性定理，只要找出的解答满足在同一泛定方程下问题所给定的边界条件，那就是该问题的解答，并且是惟一的解答。镜像法正是巧妙地应用了这一基本原理、面向多种典型结构的工程电磁场问题所构成的一种有效的解析求解法。3.镜像法的理论基础——解的惟一性定理

镜像电荷的个数、位置及其电量大小——“三要素”。4.镜像法应用的关键点5.确定镜像电荷的两条原则

镜像电荷的确定

镜像电荷必须位于所求解的场区域以外的空间中。

镜像电荷的个数、位置及电荷量的大小以满足所求解的场区域的边界条件来确定。

只是一种“凑”的方法，仅对于某些特殊边界以及特殊分布的电荷才有可能确定其镜像电荷。6.镜像法的局限性1.点电荷对无限大接地导体平面的镜像满足原问题的边界条件，所得的结果正确。3.5.2接地导体平面的镜像电位函数（除q所在点外的区域）（导体板及下半空间）镜像电荷（除q所在点外的区域）（导体板）q原问题有效区域q等效问题

原问题与等效问题，在上半平面问题相同。电位函数

可见，镜像法的实质是以一个处于镜像位置的电荷代替边界的影响，使整个空间变成均匀的介电常数为的空间，则空间任一点P的电位由q及其镜像电荷q共同产生，即上半空间(z≥0）的电位函数q

导体平面上的感应电荷密度为导体平面上的总感应电荷为镜像电荷的电量应该等于感应电荷的总电量。2.点电荷对相交半无限大接地导体平面的镜像对于半无限大导体平面形成的劈形边界,当导体劈的夹角满足（n为整数）时，也可采用镜像法，镜像电荷为2n-1个。分布在半径为r0的圆上（r0为点电荷到角顶点的距离）。镜像的角度为电荷量为为点电荷与劈的夹角。如果，则无法应用镜像原理。

如图所示，两个相互垂直相连的半无限大接地导体平板，点电荷q位于(d1,d2)处。

显然，q1对平面2以及q2对平面1均不能满足边界条件。对于平面1，有镜像电荷q1=－q，位于(－d1,d2)对于平面2，有镜像电荷q2=－q，位于(d1,－d2)

只有在(－d1,－d2)处再设置一镜像电荷q3=q，所有边界条件才能得到满足。电位函数d11qd22RR1R2R3q1d1d2d2q2d1q3d2d13.6分离变量法

3.6.1

分离变量法的思想

3.6.2直角坐标系中的分离变量法

将偏微分方程中含有n个自变量的待求函数表示成n个各自只含一个变量的函数的乘积，把偏微分方程分解成n个常微分方程，求出各常微分方程的通解后，把它们线性叠加起来，得到级数形式解，并利用给定的边界条件确定待定常数。

分离变量法是求解边值问题的一种经典方法

分离变量法的理论依据是惟一性定