比赛排名数学建模

足球比赛排名问题

报告人：龚珣一、问题引入二、问题分析三、合理假设四、建模与求解模型1：总积分法模型2：平均积分法模型3：特征向量法模型3’：得分矩阵法模型4：参数法模型5：概率法一、问题引入

众所周知，足球界对同一赛事中比赛结果的排名有现成的算法，例如，循环比赛结果的排名，按二分制（或三分制）计算总积分，以总积分的高低来决定名次的先后（总积分相同者，再比净胜球的多少、总进球的多少，再相同就抽签决定）。但是，这一算法着眼于排出比赛的胜负名次，并不能合理反映出各队真实水平的高低。比赛名次当然主要决定于各队的真实水平，但各队在比赛场次安排中“运气”的好坏也有相当的影响，比如某队在比赛中避开了强队而大胜弱队，就是由于“运气”好而得分高的例子。我们不能完全排除这一类因素，但应尽可能合理的考虑并处理它。

我们的目标就是针对这种不规则的比赛数据提出一种算法，尽可能合理地反映各队真实水平。二、问题分析

本问题讨论的难度，即足球队之间比赛结果不具有传递性。如甲队胜乙队，乙队胜丙队，然而丙队可以平甚至胜甲队。再有甲队该场胜乙队，而另一场比赛可能乙队胜甲队，即便两场都是甲队胜了，也可能第一场3：2胜，第二场却是2：0胜了。然而数学上任何排序问题都应具有传递性，严格地将不具有传递性就无法排序。

总体实力与一次比赛中所体现的实力并不总是相等，每次比赛的胜负并不取决于总体实力，而取决于比赛中所体现的实力。各队在每次比赛中所体现的实力并不一样强，有发挥失常也有超常发挥。虽然比赛结果不具传递性，并不妨碍我们比较实力。

确定这一问题是一个随机模型。某队在比赛中的表现是一个随机变量，有均值也有方差，服从一定的分布。每场比赛实际上是两个球队分别独立抽样，比赛的结果实际上是比较样品的大小。正是由于抽样的随机性，各种不同的结果分别按不同的概率发生，因而造成比赛结果的不可传递性。所以足球队进行排序应理解为是对均值的排序。变量是随机，但均值却是不变的，从道理上讲，是不受某场比赛结果所左右的。因此，对均值进行排序从数学上看是合理的。

那么问题来了：随机问题要能用较为准确的结论，应该有丰富的观测数据。根据根据大数定律频率代替概率可得到较为可靠结果，然而实际很多球队之间根本没有比赛过，“无米之炊”的感觉。三、合理假设简化问题，先作如下假设：比赛是确定型的，或者每个队方差均为0，抽样结果就是均值；比赛的结果是可以精确反映相对实力的，没有误差；比赛的场次是完全的，任意两个队之间都有比赛成绩。例子A、B、C、D四个球队循环赛，比赛结果如下：积分如下：排名：C>A=D>B（A、D比净胜球D>A）C>D>A>BABCDA3:21:21:1B1:35:1C2:4D胜（2分）平（1分）负（0分）总积分A1113B1022C2014D1113四、建模与求解模型1总积分法按两分制（或三分制），即胜一场得两分或三分，平一场的一分，负一场不得分。计算各队在所有比赛中的总积分，按总积分的高低排出名次。优点:综合考虑比赛的情况，也设法多利用一些结果信息。缺点（1）没有考虑对手的情况，胜第二名和胜最后一名是一样看待；

（2）没有考虑胜负的程度，9：0与5：4没有差别；

（3）没有考虑比赛场次的多少，显然多参加比赛有利。结论：只适用于循环赛。比赛场次少的队吃亏。模型2平均积分法将每个队的总积分除以该队参加比赛场次，得出每场平均积分。按各队平均积分的高低来排名。一区：A、B、C、D二区：E、F、G、H、I胜（2分）平（1分）负（0分）总积分E3107F1214G1032H0222I2024ABCDEFGHI总积分324374224平均积分10.671.3311.7510.50.51按各队平均积分的高低排名（相同则比较平均净胜球）

特征向量法

胜（2分）平（1分）负（0分）总积分A1113B1022C2014D1113

n=1x1=0.25000.16670.3333

0.2500n=2x1=0.20590.17650.29410.3235n=3x1=0.23470.22450.26530.2755n=4x1=0.24480.18620.31030.2586n=5x1=0.21940.17990.29980.3010n=6x1=0.22940.20900.27730.2843n=7x1=0.23960.19400.29910.2674n=8x1=0.22640.18470.29950.2894n=9x1=0.22830.20060.28500.2861n=10x1=0.23570.19620.29420.2738n=11x1=0.22960.18870.29770.2840n=12x1=0.22880.19650.28940.2854n=13x1=0.23330.19630.2926

0.2778n=14x1=0.23090.19130.2959

0.2819n=15x1=0.22950.19470.29160.2842模型3’得分矩阵法

模型4参数法

模型五概率法

一场比赛两场比赛三场比赛积分积分积分20.67~140.8~160.86~110.33~0.6730.6~0.850.71~0.8600~0.3320.4~0.640.5