大学物理刚体力学

第5章刚体力学初步前4章给出了质点运动状态变化的有关规律.本章介绍具有一定形状和大小物体的机械运动规律.既然任何物体都可看成是由大量质点组成的,那么前面的理论在本章中依然有效.§5.1

刚体运动学§5.2

刚体平动动力学§5.3

质心与质心运动定律§5.4

刚体绕定轴的转动§5.5角动量定理与角动量守恒定律

§5.6定轴转动的动能定理与机械能守恒定律1.刚体物理模型:

物体在运动和相互作用过程中,其大小和形状均不发生变化.推论:

刚体内任意两点间的距离不变.2.刚体的运动§5.1刚体运动学刚体的一般运动=平动+定轴转动平动:

在运动过程中,通过刚体内任一条直线的方位始终保持不变.特点:刚体平动时,内部各点运动情况完全相同.因此,描述质点运动的物理量(如位移、速度和加速度)均可用来描述刚体的运动.刚体内任意一点的平动可代表整个刚体的平动.转动:刚体转动时,各个质点都绕同一直线(转动轴)作同角速度的圆周运动.定轴转动:

转轴固定不动的转动.质心轴:通过质心的转轴.特点:定轴转动时,刚体转轴上各点保持不动.轴外各点在同一时间间隔

dt

内,移动的弧长虽然不同,但其角位移

d

却完全一样.因此,

描述刚体的定轴转动可引入新的物理量,

如角位移、角速度和角加速度.3.

描述刚体转动的物理量角位移:在时间间隔

t

内,刚体上任一点相对于某一特定转轴转过的角度为.zxo特征:

(1)角位移

是相对于某一特定转轴而言的.

(2)角位移

不是矢量,它的合成与转动的先后次序有关,不符合矢量的加法交换律.

xyzxyzxyzxyzxyzxyz角位移不是矢量(3)

瞬时角位移

d

符合矢量运算法则,为矢量.dxyzo角速度:大小为在某一时刻

t

附近的单位时间间隔内,刚体上任一点角位移的大小;其方向在转轴方位,可用右手螺旋法则确定.特征:

(1)

角速度是矢量,它反映了刚体转动瞬时角位移随时间变化的规律.

(2)定轴转动时,转轴的方向已经给定,角速度的方向可用正负表示,即满足标量运算法则.角加速度:在任意时刻

t

附近的单位时间间隔内,刚体转动角速度的变化量,其方向由矢量运算法则确定.对于定轴转动有:速度和角速度的关系:以转轴上某点O为参考点加速度和角速度、角加速度的关系:对于定轴转动有

定轴转动直线运动

角位移φ

位移

x

角速度ω

速度v角加速度

加速度

a

=常数

a

=常数匀加速定轴转动

匀加速直线运动§5.2

刚体平动动力学刚体:质点间距离保持不变的质点系.质量元mi

:在刚体上任取一质量元

mi

视为质点.质量元外力F

i:

其它物体施于质量元

mi

的作用力.质量元内力f

i:刚体内其它部分施于质量元

mi

的作用力.由牛顿力学有对所有质量元求和有且平动时有考虑到所以平动运动定律:刚体平动时,其运动规律与同质量的质点相同,受力等于刚体所受外力的矢量和.§5.3

质心与质心运动定律对刚体的任意运动,

由牛顿第二定律有:刚体任意运动时,

作用在刚体上的合外力等于各个质量元的加速度与质量元乘积的矢量和.刚体任意运动时,

每一质量元的加速度不一定相同,故上式无法确定每一质量元的加速度.

但它可以确定刚体中一特殊点——质心的加速度.1.刚体的质心与质心运动定律将上式写成直角坐标分量形式这三个量可确定刚体上某点

c

(xc,yc,zc),

称为刚体的质量中心,

简称质心.若令若质量连续分布,

则有其中

dV

为质量元

dm

的体积.质心运动定律:刚体任意运动时,作用在刚体上的合外力等于刚体的质量与质心加速度的乘积.代入分量式可得2.刚体的重力势能hc为刚体质心的高度,刚体的重力势能取决于其质心的高度.对任一质量元对整个刚体§5.4刚体绕定轴的转动1.转动定律刚体绕过O点且与投影面垂直的固定轴转动仅考虑所受的力与转轴垂直的情形.刚体中任一质量元该质量元所受合外力该质量元所受合内力由牛顿第二定律:写成分量形式:对(2)式乘以ri

:对

i

求和:由内力的特性知故有称为外力Fi

对转轴的力矩称为刚体对该转轴的转动惯量所以定轴转动定律:刚体绕定轴转动时,作用在刚体上的合外力矩等于刚体对该转轴的转动惯量与角加速度的乘积.以表示合外力矩,

则有

以矢量形式表示其中合外力矩转动惯量力矩指向在转轴方位2.力矩定义:

力对某转轴的力矩,

等于转轴到力作用点的矢径与作用力的叉乘.特性:

力矩是矢量;力矩的和不恒等于合力的力矩;

每个分力的力矩与力的作用点有关.大小方向:由和的右手螺旋法则确定.3.转动惯量定义:特性:

(1)转动惯量是标量,它是反映刚体转动惯性大小的物理量.(2)

它是相对于某一特定转轴而言的.转轴不同,同一物体的转动惯量则不同.(3)

它与刚体的质量和质量分布有关.(4)

它符合加法结合律和交换律——和的转动惯量等于转动惯量的和.(5)

转动惯量的平行轴定律:(6)

规则形状刚体相对于对称轴的转动惯量可直接计算求得,

其它不规则刚体的转动惯量一般由实验测定.dmIIc4.转动惯量的计算xdxxo(1)垂直于细棒且通过质心轴的转动惯量.已知:

棒长

l

,

总质量

m

.设棒的线密度为则有(2)均匀细圆环绕其对称轴的转动惯量.已知:半径R,总质量m

.dmR(3)

空心圆柱绕其对称轴的转动惯量.已知:内半径

R1,外半径

R2

,高

l

,总质量

m

.rdrR1R2ol该式同样适用于薄圆盘设其密度为在半径为

r

处,取厚度为

dr的薄层为质量元(4)均匀球体绕其对称轴的转动惯量.已知:球的半径为

R

,质量

m

.方法1:取距球心为

x

处,

厚度为dx、半径为

r

的薄圆盘为质量元设其质量密度为圆盘半径体积元质量元此圆盘的转动惯量dxxRr薄圆盘的转动惯量那么,

球体的转动惯量为方法2:

在球坐标系中取体体积元质量元故球的转动惯量为转动惯量计算的一般步骤质量密度为取体积元则质量元直角坐标系球坐标系转动惯量常见规则刚体的转动惯量薄圆盘R1R2l圆柱细棒细棒球体例1.

求半经为

R

、质量为

m

的均匀圆环,对于沿直径转轴的转动惯量.解:圆环的线密度为在环上取长度元

dS,相应的质量元

dm

,dm

距转轴

r,

则例4.

在半径分别为

R1

和

R2

的阶梯形滑轮上反向绕有两根轻绳,分别悬挂质量为m1、m2的物体.如滑轮与轴间摩擦不计,滑轮转动惯量为I.求滑轮的角加速度β

及两绳中的张力T1与T2.y解:取向下为坐标轴的正方向,相应地顺时针转向亦为正方向.隔离体受力分析如图.由牛顿定律和转动定律列方程如下且线量与角量之间的关系式为y联立求解得例5.

物体

A、B

的质量分别为

m1和

m2

,用一轻绳相连,绳子跨过质量为

M、半径为

R

的匀质定滑轮

C.如A下降,B

与水平桌面间的滑动摩擦系数为

μ

,且绳与滑轮之间无相对滑动,求系统的加速度及绳中的张力

T1

和

T2

.yx解:建立如图坐标系,并取顺时针转向为正方向.隔离物体受力分析如下图.由牛顿定律和转动定律列出动力学方程:整理以上方程有:又由运动之间的联系可得:联立解得:§5.5

角动量定理与

角动量守恒定律由转动定律有:令

,

称为刚体对该转轴的角动量或动量矩.角动量定理:

刚体在定轴转动时,角动量的增量等于外力矩作用在刚体上的冲量矩.一般地,有称为力矩对转轴的冲量矩冲量矩:

外力矩对时间的累积.由角动量定理:角动量守恒定律:

刚体在定轴转动时,若受到的合外力矩为零,则其角动量保持不变.I11F1I22F2I1+I2若恒矢量作用前角动量作用后角动量例8.

在质量为

M、半径为

R

的水平圆盘转台上,两质量均为

m

的电动汽车分别沿半径为

R

和

r

(R＞r)

的圆形轨道转动.最初,小车和转台都静止不动.若外轨道上的小车沿逆时针方向转动,内轨道小车顺时针转动,相对于转台的速率均为v.求转台对地面的角速度.解:

设顺时针方向为正方向,转台对地面的角速度为.由于运动过程中无外力矩作用,所以系统的角动量守恒.汽车A相对于地面的角速度汽车B相对于地面的角速度由角动量守恒其中代入可得所以,转台顺时针旋转.§5.6

定轴转动的动能定理与机械能守恒定律刚体定轴转动时,

距转轴为

r

的质量元

dm

的线速度为

v

,

其动能为刚体定轴转动时的总动能为1.刚体的转动动能2.刚体的重力势能3.刚体的平动动能4.刚体的总机械能5.刚体转动时外力矩所做的功刚体定轴转动时的微角位移为d,相应地力矩做功为某一力

Fi

的元功为所有外力的元功为刚体由角

1转到角

2

过程中,外力矩所做的功为6.刚体定轴转动的动能定理由转动定律有动能定理:刚体在定轴转动过程中,合外力矩所做的功等于转动动能的增量(力矩的空间累积效应).7.刚体机械能守恒定律由刚体定轴转动的动能定理有:当时若存在重力,且,

则一般情况下若则有

为平动动能

为转动动能例1.

质量为

m1

的小球,运动速度为u,

与质量为

m2

、长为

2l

的细棒作完全弹性碰撞,棒绕通过其质心的水平转轴转动(如图).求:小球的反弹速度v

和棒的角速度

.解：小球的重力与冲击力相比可忽略,且选顺时针转向为正方向.设小球反弹速度为v

,

棒转动的角速度为

.碰撞前后系统角动量守恒:又弹性碰撞时机械能守恒其中解得例2.

长为

l

、质量为

m

的均匀细杆OA,绕通过其端点O的水平轴在竖垂面内自由转动.已知另一端A过最低点时的速率为v0.求杆摆动时A点上升的最大高度(不计空气阻力和轴的摩擦力)解:选地球与细杆为系统，则合外力矩为0,故机械能守恒.

最低点处动能最高点处动能势能势能h由有可求得运动学运动的表征动力学运动的原因及规律静力学运