广东省东莞市樟木头中学2022年高一数学理月考试题含解析

广东省东莞市樟木头中学2022年高一数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知为两个不相等的实数，集合，，映射：表示把集合中的元素映射到集合中仍为，则等于（

）A．1 B．2 C．3 D．4参考答案：D2.（5分）已知函数f（x）=loga（2﹣ax）在（﹣∞，1]上单调递减，则a的取值范围是（） A． （1，2） B． （0，1） C． （0，1）∪（1，2） D． （0，1）∪（2，+∞）参考答案：A考点： 复合函数的单调性；对数函数的图像与性质．专题： 函数的性质及应用．分析： 分类讨论，利用复合函数的单调性，对数函数、二次函数的性质求得a的范围，综合可得结论．解答： 解：当a＞1时，由2﹣a＞0求得a＜2，∴1＜a＜2．当0＜a＜1时，由于2﹣ax在（﹣∞，1]上可能为负数，故不满足条件．综上可得，1＜a＜2，故选：A．点评： 本题主要考查复合函数的单调性，对数函数、二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于基础题．3.（5分）三棱锥S﹣ABC及其三视图中的正视图和侧视图如图所示，则棱SB的长为（） A．2 B．4 C． D．16参考答案：B【考点】简单空间图形的三视图． 【专题】空间位置关系与距离． 【分析】由已知中的三视图可得SC⊥平面ABC，底面△ABC为等腰三角形，SC=4，△ABC中AC=4，AC边上的高为2，进而根据勾股定理得到答案． 【解答】解：由已知中的三视图可得SC⊥平面ABC， 且底面△ABC为等腰三角形， 在△ABC中AC=4，AC边上的高为2， 故BC=4， 在Rt△SBC中，由SC=4， 可得SB=4， 故选B 【点评】本题考查的知识点是简单空间图象的三视图，其中根据已知中的视图分析出几何体的形状及棱长是解答的关键． 4.已知两个非零向量，满足，则下面结论正确的是（

）．A. B. C. D.参考答案：B试题分析：，所以，故选B。5.有一塔形几何体由若干个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点。已知最底层正方体的棱长为2，且该塔形的表面积(含最底层正方体的底面面积)超过39，则该塔形中正方体的个数至少是

A.4

B.5

C.6

D.7参考答案：C略6.某商人将彩电先按原价提高，然后在广告中写上“大酬宾，八折优惠”，结果是每台彩电比原价多赚了元，则每台彩电原价是(

)元.

A.2520

B.2250

C.900

D.3150参考答案：A略7.在△ABC中，若，则△ABC的形状是（

）A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形参考答案：B分析：先根据三角形内角关系以及诱导公式、两角和与差正弦公式化简得角的关系，即得三角形形状.详解：因为，所以因为，所以因此的形状是等腰三角形.选B.点睛：判断三角形形状的方法①化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．②化角：通过三角恒等变形，得出内角的关系，从而判断三角形的形状，此时要注意应用这个结论．8.函数f（x）=x2﹣4x（x∈[0，5]）的值域为(

)A．[﹣4，+∞） B．[﹣4，5] C．[﹣4，0] D．[0，5]参考答案：B【考点】函数的值域．【专题】分类讨论；数形结合法；配方法；函数的性质及应用．【分析】f（x）=x2﹣4x=（x﹣2）2﹣4，可得函数f（x）在x∈[0，2]上单调递减，在x∈[2，5]上单调递增．即可得出．【解答】解：f（x）=x2﹣4x=（x﹣2）2﹣4，∴函数f（x）在x∈[0，2]上单调递减，在x∈[2，5]上单调递增．∴当x=2时，函数f（x）取得最小值，f（2）=﹣4．又f（0）=0，f（5）=5，可得函数f（x）的最大值为5．∴函数f（x）的值域为[﹣4，5]．故选：B．【点评】本题考查了二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9.三个数的大小关系为（

）A．

B．C．

D．参考答案：D10.已知m、l是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，且m⊥α，l∥β，则下列说法正确的是（）A．若m∥l，则α∥β B．若α⊥β，则m∥l C．若m⊥l，则α∥β D．若α∥β，则m⊥l参考答案：D【考点】LP：空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】根据空间直线和平面、平面和平面平行或垂直的判定定理和性质定理分别进行判断即可．【解答】解：若m∥l，m⊥α，则l⊥α，又l∥β，则α⊥β，即A不正确；若α⊥β，则m、l位置不确定，即B不正确；若m⊥l，则α∥β或α，β相交，即C不正确；若m⊥α，α∥β，则m⊥β，又l∥β，则m⊥l，即D正确，故选D．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设f（x）与g（x）是定义在同一区间[a，b]上的两个函数，若函数y=f（x）﹣g（x）在x∈[a，b]上有两个不同的零点，则称f（x）和g（x）在[a，b]上是“关联函数”，区间[a，b]称为“关联区间”．若f（x）=x2﹣3x+4与g（x）=2x+m在[0，3]上是“关联函数”，则m的取值范围．参考答案：【考点】函数的零点；函数的值．【分析】由题意可得h（x）=f（x）﹣g（x）=x2﹣5x+4﹣m在[0，3]上有两个不同的零点，故有，由此求得m的取值范围．【解答】解：∵f（x）=x2﹣3x+4与g（x）=2x+m在[0，3]上是“关联函数”，故函数y=h（x）=f（x）﹣g（x）=x2﹣5x+4﹣m在[0，3]上有两个不同的零点，故有，即

，解得﹣＜m≤﹣2，故答案为．【点评】本题考查函数零点的判定定理，“关联函数”的定义，二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于基础题．12.（5分）已知矩形ABCD的顶点都在半径为4的球O的球面上，且AB=6，BC=2，则棱锥O﹣ABCD的体积为

．参考答案：8考点： 棱柱、棱锥、棱台的体积．专题： 计算题；压轴题．分析： 由题意求出矩形的对角线的长，结合球的半径，球心到矩形的距离，满足勾股定理，求出棱锥的高，即可求出棱锥的体积．解答： 矩形的对角线的长为：，所以球心到矩形的距离为：=2，所以棱锥O﹣ABCD的体积为：=8．故答案为：8点评： 本题是基础题，考查球内几何体的体积的计算，考查计算能力，空间想象能力，常考题型．13.已知集合,则＝

．参考答案：14.在四边形ABCD中，已知AD⊥DC，AB⊥BC，AB=1，AD=2，∠BAD=120°，则BD=

，AC=

．参考答案：，．【考点】HT：三角形中的几何计算．【分析】由余弦定理求出BD，利用AC为直径，根据正弦定理，即可求出．【解答】解：△ABD中，由余弦定理可得BD==∵AD⊥DC，AB⊥BC，∴A，B，C，D四点共圆，AC为直径，∴AC==．故答案为：，．【点评】本题考查余弦定理、正弦定理的运用，考查学生的计算能力，比较基础．15.某校九（1）班8名学生的体重（单位：kg）分别是39，40，43，43，43，45，45，46．这组数据的众数是

．参考答案：4316.设向量，，则，的夹角等于

．参考答案：试题分析：由题意得，，所以，所以向量，的夹角等于．考点：平面向量的夹角的计算．17.设是定义在上的奇函数，且当时，，则

参考答案：－1；三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.

如图所示，四边形是边长为的正方形，分别是上的点，且,现沿折起，使平面⊥平面．（1）求证平面⊥面；（4分）（2）设（），到平面的距离为，试用表示；（6分）（3）点是中点时，值是多少？(2分)参考答案：略19.在等差数列{an}中，，.（1）求数列{an}的通项公式；（2）令，求数列{bn}的前n项和Sn.参考答案：（1）；（2）【分析】（1）先求出，从而得到，利用公式可得.（2）利用公式直接求和.【详解】（1）依题意，，因为，所以，即，所以.（2）由（1）知，所以，所以数列是首项为，公差为的等差数列，所以.【点睛】数列求和关键看通项的结构形式，如果通项是等差数列与等比数列的和，则用分组求和法；如果通项是等差数列与等比数列的乘积，则用错位相减法；如果通项可以拆成一个数列连续两项的差，那么用裂项相消法；如果通项的符号有规律的出现，则用并项求和法.20.（12=4+4+4）设函数（为实常数，a>0）.(1)当时，用定义证明：在上是增函数；(2)设,,请你判断与的大小关系,并说明理由.(3)当且时，不等式恒成立,求实数的取值范围;参考答案：（1）设,,,,,即,在上是增函数.(2)，，.(3)在上恒成立，即在上恒成立.①当时，，，在上单调递增，；②当时，，，在上单调递减，；a=1时明显不成立，故的取值范围是：。21.已知圆O：x2+y2=8内有一点P（-1，2），AB为过点P且倾斜角为α的弦，

（1）当α=135°时，求弦AB的长；

（2）当弦AB被点P平分时，写出直线AB的方程．参考答案：答：（1）依题意直线AB的斜率为-1，写出直线AB的方程，根据圆心0（0，0）到直线AB的距离，由弦长公式求得AB的长．（6分）

（2）当弦AB被点p平分时，AB和OP垂直，故AB的斜率为，根据点斜式方程直线AB的方程x-2y+5=0．（12分）（其它方法酌情给分）

略22.（13分）设直线l的方程为（a+1）x+y+2﹣a=0（a∈R）．（1）若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程；（2）若l不经过第二象限，求实数a的取值范围．参考答案：考点： 直线的截距式方程；确定直线位置的几何要素；过两条直线交点的直线系方程．专题： 待定系数法．分析： （1）先求出直线l在两坐标轴上的截距，再利用l在两坐标轴上的截距相等建立方程，解方程求出a的值，从而得到所求的直线l方程．（2）把直线l的方程可化为y