大学物理第8章-王莹

第十六章

电势

ElectricPotential本章主要内容§16-1

静电场的保守性§16-2

电势差和电势§16-3

电势叠加原理§16-4

电势梯度§16-5

电荷在外电场中的静电势能§16-6

电荷系的静电能§16-7

静电场的能量第十六章电势电势是静电场中的重要物理量。通过研究静电场力对电荷做功，发现静电场力是保守力。

由于静电场力是保守力，可以引入电势和电势能。和电场强度一样，电势也是描述静电场分布规律的，它本身也是空间分布函数。第三章电势§16-1静电场的保守性

ConservativePropertyofElectrostaticField做功与路径无关（或沿闭合路径一周做功为零）的力，称为保守力（如引力、弹性力）。静电场力是不是保守力？静电场力对检验电荷q0做功为考虑对单位正检验电荷做功：场强对路径的线积分先考虑点电荷产生的场：积分结果只与检验电荷的起点和终点的位置有关，与积分路径无关！§3-1静电场的保守性再考虑点电荷系（或任意带电体）产生的场：由场强叠加原理，有求和中每一项代表对应点电荷单独存在时产生的场的沿

P1

到

P2

的线积分——与积分路径无关。因此总场的积分也与路径无关。结论：静电场力对电荷所做的功与路径无关。即静电场力是保守力，或称静电场为保守场。conservationfield§3-1静电场的保守性或表示为：静电场环路定理：静电场的场强沿任意闭合路径积分等于零。静电场的电场线不可能闭合

换言之：电荷沿任意闭合路径运动一周，静电场力所做的功为零。§4-3保守力§16-2电势和电势差

ElectricPotentialandPotentialDifference

因为电势是通过它的改变量来引入的，所以它具有零点的相对性。通常需选定某参考点

P0为电势零点，则任意点

P

处的电势为:由于

与积分路径无关（只决定于起点

P1

和终点

P2

的位置），积分结果必定可以表示为某空间函数

j的改变量：定义

j为电势，即从

P1

到

P2

沿任意路径场强的线积分等于电势的负增量。j1

-j2

U12为

P1

与

P2

两点间的电势差。电势和电势差原则上，电势零点可以任意选取，但应视问题的方便而定。§3-2电势和电势差通常电荷在有限区域时，将无限远点选为电势零点，此时任一点

P(x,y,z)的电势为说明：电势是空间坐标的函数：，如已知静电场的场强分布，可以求出电势分布——势函数。电势差与电场对检验电荷做功的关系：（重要）

点电荷的电势为[

j()=0

]与场强不同，电势是标量。（以点电荷的电势讨论正负）§3-2电势和电势差[例1]求（1）均匀带电球面；（2）均匀带电球体，产生场的电势分布。设总电量均为

q，球的半径为

R

。解：（1）均匀带电球面，由Guass

定理求得：（2）均匀带电球体，由Guass

定理求得：查看

[例1]设电荷为均匀带电的（1）球面；（2）球体。总电荷为

Q，球的半径为

R，求球内外的场强分布。解：球对称问题，场强沿径向，且

E=E(r)。

(1)做半径为r的同心球面为高斯面。

(2)设

r=3Q/4pR3

为体电荷密度，做半径为r的同心球面为高斯面。返回讨论：在

r=R处：对于带电

球面，E不连续，j

连续

；对于带电球体，

E连续，

j

连续。这一特性是普遍

的.

r>R处（球外区域）的场强

和电势，都相当于电荷集中于中心的点电荷所产生的场和势。这是球对称电荷的共性。[例2]求无限长均匀带电直线的电场中的电势分布。解：1）无限长带电直线周围的场强的大小为：根据高斯定理可知：方向垂直带电直线且向外。2）无限长带电直线周围任一点P的电势为：选距离带电直线为r0的P0点为电势零点(why)，则P点电势为：P0r0PrKey：当电荷的分布扩展到无限远时，电势零点不能选在无限远处。P’§16-3电势叠加原理

SuperpositionPrincipleofElectricPotential每一

ji

必须有共同的电势零点方法2——

利用电势叠加原理：把电荷系统分解为点电荷系，再把各点电荷的电势叠加，即对点电荷系和连续带电体分别有利用场强叠加原理可以导出：电势叠加原理：在由电荷系产生的电场中，任一点的电势等于各个带电体单独存在时在该点所产生电势的代数和。电势的计算电势叠加原理方法1——

利用电势的定义式：，已知场强分布，选方便的路径积分；和§3-3电势叠加原理和电势的计算[例1]求电偶极子周围的电势分布。解：正、负点电荷在

P点单独产生的电势为：根据电势叠加原理，P点的电势为：[例2]求总电量为

q,半径为

R,均匀带电的细圆环,在其轴线上任点的电势。解：1)方法1:已知轴线上场强为:选取积分路径为从

P沿

x轴到无限远(电势零点)2)方法2:利用电势叠加原理环心出(x=0)的电势为[例3]两个同心的均匀带电球面，半径分别为RA和RB，分别带有电量qA和qB。求距球心距离为r1，r2，r3处的电势。RARBr1r2r3P1P2P3qAqB解：1)方法1:利用电势叠加原理。已知一个带电球面的电势分布为：2)方法2:利用电势定义。略

GradientofElectricPotential§16-4电势梯度

等势面——电势相等的点所组成的曲面。引入等势面也是为了形象地描述静电场的电势分布。等势面的性质：

沿等势面移动电荷，静电场力做的功为零；(a)孤立点电荷(b)一对等量异号点电荷实例：

虚线——等势面

实线——电场线1.等势面§3-4电势梯度证明：设检验电荷

q从等势面上任意一点

a经过元位移移动到点

b,静电场力做的功为,

而，根据功的定义：即因此，电场强度与等势面处处正交。电场线指向电势降低的方向；

因沿电场线方向移动单位正电荷，电场力做正功。等势面与电场线处处正交；

等势面密的地方，场强数值大；反之，场强小。2.电势梯度及其与场强的关系求导保守力场强势能电势积分结论：电场强度等于相联系的电势的梯度的负值：P1P2取极限得方向导数：§3-4电势梯度§16-5电荷在外电场中的静电势能

ElectrostaticPotentialEnergy点电荷在已知场中的静电势能引入静电势能W（简称电势能）：即电势能为其中

P0

为势能零点。保守力的功等于势能增量的负值电势是属于静电场的，而电势能属于已知电场和点电荷

q0

所共有。电势的物理意义可以理解为：静电场中单位正电荷所具有的电势能，即

j=W/q0

。与路径无关（保守场），静电场力对电荷

q0

所做的功也与路径无关（保守力）。§3-5静电势能[例1]求电偶极子（）在均匀电场中的电势能。解：设无限远处为零势能点，则

+q和

-q在A,B两点的电势为和，有[例2]电子与原子核距离为

r,电子带电量为–e,原子核带电量为

Ze。求电子在原子核电场中的电势能。C解：设无限远处为零势能点，有§16-6电荷系的静电能

ElectrostaticEnergyofChargeSystem点电荷系的静电能

将各个电荷从无穷远移到彼此邻近的位置而形成电荷系，外力克服静电场力所做的功，称为这个电荷系的静电相互作用能，简称静电能或互能。对任意点电荷系统总静电能为除qi

外其他所有电荷在

qi

位置上所产生的电势静电能的推导§3-5静电势能考虑两个点电荷系统：q1

和

q2。移动电荷

q1

时，无静电力作用，但

q1

就位后，在把

q2移到距

q1

距离为

r处的过程中，会受到

q1

产生电场的作用，克服此作用力外力需要做功：任意点电荷系统总静电能的推导：q2移到q1产生电场中，克服此作用力外力需做功：先将q1移到r1处：所以带电体系的相互作用能：W=A2=q2U12P1P2rq1和q2两个点电荷相距的距离如果先将q2移来：A2＝0然后q1移到q2产生电场中，克服此作用力外力需做功：所以带电体系的相互作用能：W’=A1=q1U21写成对称形式：对任意离散点电荷系统总静电能为除qi

外其他所有电荷在

qi

位置上所产生的电势P1P2rq1和q2两个点电荷相距的距离Q–dq

Q对连续分布的带电体，分割它为诸多