半导体物理第3章

第三章电子和空穴的平衡统计分布

半导体的电导率直接依赖于导带电子和价带空穴(统称载流子）的多少．在热平衡的半导体中，电子和空穴依赖于热激发产生。载流子的多少与温度有密切联系．

1平衡分布是动态平衡热激发不断产生电子空穴对；电子又不断跃迁回价带或杂质能级的空状态进行电子空穴的复合．在热平衡时，这两个方向相反的过程速率相等，从而保持宏观上载流子浓度不变．2平衡时电子在能级上的分布服从一定的统计规律，它与激发电子和空穴的具体过程无关．这一章就是要讨论在包括有杂质存在的半导体中载流子的数目及其随温度的变化．3(3-1-1)

电子的自旋角动量为，是费米子，受泡利不相容原理制约，遵守费米-狄拉克统计．能量为E的电子状态被电子占据的几率f为4EF称为费米能级，是平衡电子系统的一个重要参量．k为玻尔兹曼常数。f(E)可理解为能量为E的状态中的平均电子数。5§3.1费米分布函数

由上式可见，能量为E的状态被电子占据的几率取决于该状态的能级与费米能级EF之差EEF和kT的比值．6(3-1-1)若E=EF，即(EEF/kT)=0，则f(E)=1/2．若EEF

>

0，则f(E)<1／2;若E比EF高出若干kT,即(EEF)/kT>>l，则占据几率f(E)<<1．若EFE

>

0，则有f(E)

>

1／2．若E低于EF若干kT，即(EFE)/kT

>>

l，则exp[(EEF)/kT]

0,

f(E)接近于1．

7因此有

(EEF)／kT

>>

1，

f(E)

0(EEF)／kT

=

0，

f(E)=

1/2(EEF)／kT

<<

1，

f(E)

1(3-1-1)8在绝对零度时，有

当E

>

EF，f(E)=

0

当E

<

EF，

f(E)=

1

即在EF以上的所有能级全部是空的，在EF以下的所有能级全被填满。

9(3-1-2)0K时的f(E)如图3.1所示．显然，费米能级EF标志着电子填充能级的水平．

1011

在T>0的一般情形下，f(E)随能量E的变化将不象0K时那样陡峭．在EF以上若干kT范围内的能级将部分地被电子占据.

在EF以下若干kT范围内的能级将有一部分是空的。这正是热激发的结果：在EF以下kT量级范围内的电子被热激发到EF以上．这样便出现了由f(E)1到f(E)0的过渡区域．它所占据的范围约为几个kT.显然，温度愈高，这个过渡区愈大．如图3.1曲线2,3所示．12

在(EEF)/kT>>l时，分布函数分母中的exp[(EEF)/kT]>>1，因而f(E)可近似为：13趋于经典的玻尔兹曼分布；(3-1-3)如上所述，费米—狄拉克统计只容许每个能级最多被1个电子占据．在f~0的情况下，这种限制所带来的影响将是很小的。因此费米分布和玻尔兹曼分布趋于一致．在EEF

=

3kT时，用式(3-1-3)代替(3-1-1)所产生的误差约5%。

14

f(E)可以理解为能量为E的状态上的平均电子数。有时我们需了解该能量状态上的平均空穴数。它应等于该状态上的空穴占据几率fp，即不被电子占据的几率1f(E)．

15容易求得fp为：

16(3-1-4)对于(EFE)/kT

>>

l的情况，类似于式(3-1-3)有

图3.2表示fp(E)随E的变化情况．17(3-1-5)18例如:在多数情形下，半导体中的EF在离开带边若干kT的禁带中．由上面的分布函数的图象可见，这时，导带能级被电子占据的几率很小，同样，价带能级被空穴占据的几率也是很小的．

1919我们说对于EF以上若干kT的能级f(E)0，并不是说这种情况下有关能级中的电子就可忽略不计了．有时我们正是要求出这些能级中的电子数．§3．2载流子浓度对费米能级的依赖关系

对于给定的半导体，在给定的温度下，EF总是确定的．若已知EF，则可求出电子浓度n(单位体积内导带中的电子数)和空穴浓度p(单位体积内价带中的空穴数)

式中求和分别对单位体积导带和价带中的各状态进行．(3-2-1)20

在这一节中我们暂时不涉及如何确定EF，而是假定EF已知，以求出导带的电子浓度和价带的空穴浓度．计算主要对导带电子进行．所得结果易于推广到价带空穴．

21

由于导带中能级密度很高，在E到E+dE的能量间隔内包含了大量的电子状态．因此可以引入态密度g(E)来描述能带中电子状态的分布．g(E)：单位体积单位能量间隔内的状态数。22在E到E+dE内的状态数dN可表示为:

dN=g(E)dE

在此能量间隔内的电子数dn为

dn=f(E)g(E)dE这样，式(3-2-1)的求和可化为下面的积分(3-2-2)23下面我们先求出态密度g(E)，再根据上式求出n态密度在晶体中的电子有如被封闭在一个容器中，使得并不能有任意的数值。下面我们来计算单位体积晶体k空间的状态密度。24在具有周期势场的晶体中，电子波函数为布洛赫函数，具有以下形式：与自由电子的波函数exp(ikx)相比，多了一个和晶格具有相同周期的函数因子：uk(x)=uk(x+al),al

为格矢量；k为波矢。25考虑一维情形设一维晶格的总长度为L=Na,N为所包含的原胞总数，a为格矢量。周期性边界条件要求波函数在两个端点处（即在0和L处）有相同的值（设想把长度L的原子链围成环，显然只有满足上述条件的波才是稳定的）。则：26n:为整数。uk(x)=uk(x+al)27允许的k值在k轴上为一系列等间距的点。取值密度gk为28单位长度晶格在k空间的状态密度为2／2.因子2计入了自旋相反的两个状态．对于三维晶体，情况类似.对于体积为的有限晶体,

k的取值密度,即k空间的状态密度gk为29单位晶体体积k空间的状态密度为2／(2)3.因子2计入了自旋相反的两个状态．

我们的任务是根据E-k关系，由k空间的状态密度得到以能量为尺度的态密度g(E)．

为此目的，我们必须就E-k之间的函数关系作出具体假定．由于导带中的电子绝大部分处于导带底，因此，我们只需着重考查带底附近的E-k关系和态密度g(E)．30设导带可用简单能带模型描述，即导带底在k=0，等能面为球形，并具有抛物性E-k关系．这样有(3-2-5)31为由导带底开始计算的电子能量，它代表导带电子的动能。我们容易求出动能小于的状态数N()，它等于能量小于的k空间的体积乘以2/(2)3。能量小于的k空间体积就是能量为的等能面所包围的球的体积，由式(3-2-5)可知它的半径为

32于是可得到N()为33对上式取微分并与式比较可得

上面的结果说明g()与之间有抛物性关系，如图3．3所示．这里特别要指出的是态密度依赖于有效质量．有效质量大的带，态密度也大．34dN=g()d(3-2-7)解法二：35对于二维情况：36对于一维情况：乘2是因为有两个等能点37一维情况解法二：38如果把m理解为空穴有效质量，理解为EvE，则式(3-2-7)同样也适用于具有简单能带结构的价带顶．39对于由式(2-2-20)描述的具有各向异性有效质量的能带；可按照类似于上面所用的方法，求出椭球的半长轴a、b、c，并进而求出椭球的体积(4/3)abc，可得到：（2-2-20）(3-2-7)m1，m2，m3为沿等能面椭球主轴方向的三个有效质量．如果导带具有s个能谷，并具有旋转椭球等能面，则相应的态密度可修改为

40式中ml和mt分别为纵向和横向有效质量．md称为状态密度有效质量，它和ml、mt和s的关系为：

md=(s2mlmt2)1/3

(3-2-10)对于简单能带，显然有md=m.

41§3.2.2．载流子浓度求得了态密度、我们就可以根据式计算电子浓度n．代入式42

于是n可写为

式中n=EF

Ec,

=EEc(3-2-11)(3-2-12)(3-2-13)就可以得到n．我们先把f中的E和EF,改作按带边能量Ec作基准计算:43

式中mn表示导带电子有效质量．上式中把积分上限取作了．实际能带宽度当然都是有限的，但是f()随衰减十分迅速，积分上限取作不会显著影响结果．常见的情况是EF位于EC以下若干kT．对于这种情况，我们可用玻尔兹曼分布代替费米分布，则有

(3-2-14)44

以代替／kT，则式可写作(3-2-15)45于是得到导带平衡电子浓度为

(3-2-16)上式中定积分的值为.考虑到n=EFEc(3-2-15)46式(3-2-16)说明，所有导带能级的作用可以等效于能量集中在导带边EC处，具有等效态密度NC(单位体积的能态数)的能级的作用。(3-2-16)47

(3-2-17)等效态密度并不是一个常数，而是温度的函数。温度愈高，Nc越大。49电子浓度n取决于费米能级EF距离Ec的远近。EF离Ec愈远，电子浓度愈小。49上式适用于ECEF

>>

kT的情况，称为非简并情形．导带电子按能量的分布如图3.4中阴影部分所示．f()g()反映电子实际分布的情况。50式中mp为空穴有效质量，Nv为价带等效态密度用完全类似的方法可以求得价带空穴浓度p为式(3-2-18)成立的条件是EFEv>>kT。EF离开价带愈远空穴浓度愈小．(3-2-18)(3-2-19)51(3-2-16)(3-2-18):5253根据费米能级的位置可以判断是n型，还是p型半导体以及载流子浓度的相对大小。式中g

为禁带宽度,g=EcEv(3-2-21)还可以得到54

非简并情况下，不管费米能级的具体位置如何，对于任一给定的半导体材料，在给定温度下的电子、空穴浓度的乘积总是恒定的。55

至此，我们完全没有涉及究竟在一个具体半导体中EF如何确定．只有具体知道了EF的位置及其随温度变化，我们才最后了解载流子浓度如何随温度变化．56§3.3本征载流子浓度

在包括含有杂质的一般情形下，费米能级的位置将与杂质和温度有关，因此，载流子浓度以及它们随温度变化将与杂质有关．纯净的半导体中费米能级位置和载流子浓度只是由材料自身的本征性质决定的。我们把这种半导体称为本征半导体。在本征半导体中，载流子只能通过把价带电子激发到导带产生。这种激发过程称为本征激发。

57为求得电子、空穴浓度n和p，我们只需根据电中性条件n=p这里，Ei表示本征情形下的费米能级(3-3-1