大学物理B层次-第五章 刚体力学基础

第三篇Electromagneticfield静电场第五章Theelectricfield电磁场1§5-1电荷库仑定律

1.电荷量子化自然界中只存在两种电荷：正电荷和负电荷。

电荷具有最小单元：e=1.610-19C。

在自然界中,带电体的电量都是这一最小电量e的整数倍：

q=Ne

这个特性叫做电荷的量子性。

1964年,盖尔-曼(M.Gell-Mann)预言：更基本的粒子夸克和反夸克的电量应取±e/3或±2e/3。但我们至今尚未发现单独存在的夸克。电荷间有电力的相互作用：同种电荷相斥,异种电荷相吸。22.库仑定律

真空中,点电荷q1对点电荷q2的作用力为

r则表示两个点电荷之间的距离。(2)公式中的系数是SI制要求的。

(3)点电荷q2受的力，与点电荷q1受的力大小相等而方向相反。真空的介电常量

(1)r

是从点电荷q1指向点电荷q2的单位矢量。q1q2rF3

1.电

场一个电荷要在它的周围产生电场。§5-2电场和电场强度两个电荷之间的相互作用力是通过电场来进行的。即

电场是什么？电场是一种物质。场和(由基本粒子组成的)实物物质一样，具有能量、动量和质量。场和实物是物质存在的两种基本形式。场和实物物质的主要区别是：实物独占一定的空间；而场总是弥漫在一定的空间内，具有可叠加性。电荷

电场

电荷q1q2rF42.电场强度矢量E

在静止电荷产生的静电场中的一场点，引入一个试验电荷qo(qo的电量、几何尺度必须很小),

它受的力为F，于是我们定义：该点的电场强度为

(1)表明,电场中某场点上的电场强度矢量等于置于该点的单位正电荷所受的力。

(2)电场强度矢量E是反映电场性质的物理量，与试验电荷qo无关。5

设源电荷是由n个点电荷q1,q2,…qn构成,在该电场中试验电荷qo受的力为3.场强叠加原理表示:在n个点电荷产生的电场中某点的电场强度等于每个点电荷单独存在时在该点所产生的电场强度的矢量和,这一结果称为场强叠加原理。式中的Ei是电荷qi单独存在时产生的电场强度。6设有一静止的点电荷q

，

现计算与q相距r的p点的场强。E的大小：

若q>0,电场方向由点电荷沿径向指向四方；若q<0,则反向。即点电荷的电场具有球对称性。4.场强的计算！试验电荷qo在P点受到的电场力为(1)点电荷的电场qr.P7

由n个点电荷q1,q2,…qn产生的电场，可利用点电荷场强公式，直接由叠加原理求得

(3)带电体的电场对电荷连续分布的带电体,可划分为无限多个电荷元dq(点电荷),用点电荷的场强公式积分：(2)点电荷系的电场以上内容的学习重点：用积分的方法求电场。(矢量和)8

例题5-1

有一均匀带电直线，单位长度上的电量为，求离直线的距离为a的P点处的场强。

解

此类题可按下列步骤求解:(1)建立适当的坐标系，如图8-3所示。

(2)将直线分为长为dx的无限多个电荷元dq=dx(视为点电荷)，并写出一个有代表性(位置用一变量表示)的电荷元在P点产生的电场：由于不同位置的电荷元在P点产生的场强dE方向不同,故应将dE向x轴和y轴方向投影,于是有(3)分析问题的对称性。oPaxyxdqdxrdExdEy9dEx=dEcos

(4)统一积分变量,定积分限,完成积分,得到所求场强分量式r=a/sin,x=-a.ctg,dx=ad/sin2dEy=dEsin12oPaxyxdqdxrdExdEy10

(1)对无限长带电直线,讨论:记住！

(2)对平面、柱面等形状,可利用带电直线公式积分。12oPaxyxdqdxrdExdEy

1=0和

2=；代入得11

例题5-2

求均匀带电的无限大平面外任一点的场强(设平面单位面积上的电量为)。

解分为若干长直导线积分。

由对称性可知，平面外P点的电场方向是垂直于平面向上的(即y方向)，所以完成积分得:=.1dxdxcosE=2ordx1xyoaP.xdxr12(匀强电场)E=0E=02记住无限大平面电场！+-13

例题5-3

一均匀带电Q的圆弧，半径为R、圆心角为，求圆心o处的电场。

解由对称性可知，圆心o点的电场是沿角的平分线(y轴)方向的。将圆弧划分为若干电荷元dq(点电荷)，利用点电荷公式积分：oRQyxxoyRdqd14

例题5-4

一半径为R的圆环，电荷线密度=ocos,其中o为常量，求圆心o点的场强。

解将圆环分为若干个点电荷dq积分。RxyoodqRxyd15

例题5-5

一圆环半径为R、均匀带电q，求轴线上一点的场强。

解由对称性可知，轴线上的电场方向是沿轴线向上的。即讨论：

任何均匀带电的旋转体(如圆形、球形、柱形)用圆环公式积分求电场最为方便。poRxqrdq16

例题5-6

一均匀带电的薄圆盘，半径为R、面电荷密度为，求圆盘轴线上一点的场强。

解分为若干园环积分。Ex.2rdr当R(x«R)时,这正是无限大平面的电场。PxdrrR17

例题5-7

一均匀带电的半球面，半径为R，电荷面密度为，求球心o处的电场。

解图中圆环产生的电场：dq=.2r.Rdz2+r2=R2,z=RcosEodzRr18

1.电力线(电场线)

为了形象地描绘电场在空间的分布,按下述规定在电场中画出的一系列假想的曲线—电力线：

(1)曲线上每一点的切线方向表示该点场强的方向;

(2)通过垂直于电场方向单位面积上的电力线条数等于该点电场强度的大小。de—通过ds的电力线条数§5-3高斯定理！dsEEE19静电场电力线的特点：

(1)电场线起自正电荷,止于负电荷,或延伸到无穷远处。

(2)电场线不形成闭合曲线。

(3)在没有电荷处,两条电场线不会相交,也不会中断。(a)(b)(a)正电荷(b)负电荷(c)(d)(c)一对等量正电荷(d)一对等量异号电荷20

电通量—通过电场中任一给定曲面的电力线总数。

2.电通量ds

从图可以看出，通过面元dS的电通量和通过投影面dS⊥的电通量是一样的。因此通过dS的电通量为

上式可以写为Edsde=EdS⊥=Edscos21

对一个任意曲面S,通过的电通量应为22

通过一个封闭曲面S的电通量可表示为S

对于闭合曲面,规定由内向外的方向为各处面元法向的正方向。由de=EdS⊥=Edscos知当电力线从面内穿出时,de为正;

当电力线由面外穿入时,de

为负。

因此，式中表示的通过整个封闭曲面的电通量e,就等于穿出与穿入该封闭曲面的电力线的代数和(净通量)。23

点电荷q位于一半径为r的球面中心，则通过这球面的电通量为3.真空中的高斯定理rq

(a)24

对包围点电荷q的任意形状的曲面S来说,显然

如果闭合面S不包围点电荷q,

如图(c)所示,则srq

(b)q(c)s25

设封闭曲面S内有n个点电荷q1,q2,…qn，这就是高斯定理。q1qiqnQ1QjQms(d)封闭曲面S外有m个点电荷Q1,Q2,Qm,则任一点的电场为即26

(1)高斯定理表明:在真空中的静电场内,通过任意封闭曲面(高斯面)的电通量等于该封闭曲面所包围的电荷的电量的代数和乘以1/o倍

。

这就是说，通过一任意封闭曲面的电通量完全由该封闭曲面所包围的电荷确定，而与面外的电荷无关。

(2)高斯定律表达式左方的场强E是空间所有电荷(既包括封闭曲面内，又包括封闭曲面外的电荷)共同产生的场强的矢量和,并非只由封闭曲面内的电荷Σqs内所产生。

(3)高斯定理可用来求解电荷分布高度对称的电场。

以上内容的学习重点：掌握高斯定理的意义及用它来求电场的方法。小结：27问题：1.如果高斯面上E处处为零，则该面内必无电荷。如果高斯面上E处处为零，则该面内必无净电荷。2.如果高斯面内无电荷，则高斯面上E处处为零。如果高斯面内无电荷，则高斯面上E不一定为零。3.如果高斯面上E处处不为零，则该面内必有电荷。如果高斯面上E处处不为零,则该面内不一定有电荷。4.高斯面内的电荷代数和为零时，则高斯面上各点的场强一定为零。

高斯面内的电荷代数和为零时，则高斯面上的场强不一定处处为零。28用高斯定理计算场强的步骤：

(1)分析场强分布的对称性，找出场强的方向和场强大小的分布；

(2)选择适当的高斯面，并计算出通过该高斯面的电通量；

(3)求出高斯面所包围的电量；

(4)按高斯定理求出场强。高斯定理大约能求解三类问题：

(a)球对称，如均匀带电的球体、球面、球壳。

(b)轴对称，如均匀带电的长直柱体、柱面。

(c)平面型，如均匀带电的无限大平面、平板。4.高斯定理的应用29

例题5-7

一均匀带电q的球体，半径R，求球内外的场强。

解由对称性可知，电场方向是沿径向向外的。E.4r2取半径r的球面为高斯面，由高斯定理Rrr是场点到球心的距离。于是球对称中的高斯定理可写为或是以r为半径的球面内电荷的代数和。30r<R:r>R:qRr31

例题5-8

电荷体密度为的球体内有一球形空腔，两球心相距a,如图所示。求空腔中任一点P的电场。

解空间任一点的电场可看作是带电的两个实心球体电场的叠加。

Pooa+=or1po-

r2p由上题的结果，球体内：32大小：方向：由o指向o。空腔中任一点P的电场为r1-r2aoo

Pooa+=or1po-r2p33

例题5-9

两同心均匀带电球面，半径为R1和R2，分别带电q1和q2,求空间电场分布。

解由对称性可知，电场方向是沿径向向外的。q1q1+q2r<R1:由球对称中的高斯定理0=0;R1R2oq1q234

例题5-10

一带电球体，半径R，电荷体密度为=0(1-r/R),0为常量；求:(1)球内外的电场；(2)场强的最大值及相应的半径。

解

(1)由高斯定理:r<R:E1.4r2=完成积分得：r>R:E2.4r2=Rrdr35

场强最大值出现在球内：(2)场强的最大值及相应的半径。得:由Rr<R:r>R:36

例题5-11

一均匀带电的无限长直柱体，半径为R，电荷体密度为，求柱内外的场强。

解由对称性知,电场方向垂直轴线指向四周,如图所示。即

选同轴封闭柱面为高斯面,由高斯定理有：RrlE

底面半径为r,高为l的柱面内电荷的代数和37r<R:E.2r.l=r>R:E.2r.l=Rrl38

例题5-12

两均匀带电的同轴长直柱面，半径R1<R2,单位长度的带电量分别是，求电场分布。

解选同轴封闭柱面(上下底面半径r,长l)为高斯面，由高斯定理：r<R1:E.2r.l=，E=0R1<r<R2:E.2r.l=r>R2:E.2r.l=,E=0R1R2+-39

例题5-13

设电荷体密度沿x轴方向按余弦规律：=ocosx分布在整个空间,o为幅值，求电场分布。

解空间是由许多垂直于x轴的无限大均匀带电平面组成。oxYoz平面EE由此判断:电场方向沿x轴,且对yoz平面对称。选如图所示的柱形高斯面,由高斯定理：xdxSSxx40

例题5-14

空间的电场分布为:Ex=bx,Ey=0,Ez=0;求图中所示的边长为a的立方体内的净电荷。(a=0.1m,b=1000N/(c.m))

解高斯定理=0[-ba.a2+b(2a).a2]=

0ba2=8.8510-12C。取立方体六个面为高斯面,则立方体内的净电荷为aaxyzoE41§5-4电势

！

在点电荷q的电场中，qo由a点沿任一路径L移到b点,电场力对qo所作的功为1.静电场的保守性qrarbabLqo

由此可见,在点电荷q的电场中,电场力的功只与路径的起点和终点位置有关,而与路径形状无关。dlcos=drErdrdl42

在点电荷系q1,q2,…qn的电场中，qo从a点沿任一路径L移到b点时，电场力对qo所作的功为

显然，在由点电荷系产生的电场中,电场力对qo的功也与路径无关。

结论:静电力的功,仅与路径的起点和终点的位置有关,而与路径形状无关。静电场是保守力场。这就是静电场的环流定理。

432.电势能

静电场力的功：可见，静电场力的功可写为我们定义：wa是qo在a点的电势能;wb是qo在b点的电势能。

可见：电场力的功等于电势能增量的负值。

wa-wb=-(wb-wa)点电荷系点电荷44

若取b点为电势能的零点(零势点),则qo在a点的电势能为

意义是：qo在场中某点a的电势能等于将qo从该点a经任意路径移到零势点时电场力对qo所作的功。应当注意,电势能是电场和场中电荷这个系统共有的。

wa-wb=-(wb-wa)453.电势和电势差

我们定义：场中a点的电势

：由电势能的定义式：

电场中某点的电势等于单位正电荷在该点的电势能；

也等于将单位正电荷从该点经过任意路径移到零势点时电场力所作的功。46电势差(电压)=两点电势之差得得即47

(1)原则上电势零点可任意选择，视方便而定。对有限大小的带电体,规定取无穷远为零势点,于是在实际问题中,也常常选大地的电势为零。

(2)电势是相对量，随零势点的不同而不同。而电势差是绝对量，与电势零点的选择无关。

(3)电势是标量,其值可正可负,与零势点的选择有关。

公式小结484.电势的计算

(1)点电荷q场中p点的电势即点电荷的电势、电场为drrPq取无穷远为电势零点，由定义式有&49(2)点电荷系(q1,q2,…qi…qn)场中的电势，Ei

为qi产生的电场。即式中:ui代表第i个点电荷qi单独存在时在a点产生的电势。表明:一个点电荷系的电场中任一点的电势等于每一个点电荷单独存在时在该点所产生的电势的代数和。这一结论称作电势叠加原理。

因50

(3)带电体电场中的电势

第一种方法：将带电体分为许多电荷元dq(点电荷)，利用点电荷的电势公式积分:

第二种方法：按电势的定义式进行计算：

以上内容的学习重点：熟练掌握求电势、电势差及电场力的功的方法。(用高斯定理求电场)&51

例题5-15(1)正六边形边长a，各顶点有一点电荷，如所示。将单位正电荷从无穷远移到正六边形中心o点的过程中,电场力的功为解uo=-q

(oa)。+1=-uo将uo代入功的式子，得a+q+q+q+q+q-qo52

(2)电荷分布如图所示,将点电荷qo从a经半园b移到c的过程中,电场力对qo的功为-qqo

(6oR)。解RRaRo-q+qbc53

例题5-16

一均匀带电直线段，长为L，电量为q;求直线延长线上离一端距离为d的P电报的电势。

解将带电直线分为许多电荷元dq(点电荷),利用点电荷电势公式积分：xPdLqdxdq54Vo=

例题5-17

求圆弧圆心、圆环轴线上的电势。(取无穷远为电势零点)解qoRdqRVp=RPxqrdq.o.o55

例题5-18(1)均匀带电圆盘，半径为R，电荷面密度为，求轴线上离盘心距离为x的P点的电势。(取无穷远为电势零点)xP解用点电荷电势公式积分。drdrd.rddr4od.rddr=56

解将圆盘分为若干个圆环,利用圆环公式积分。.2rdr4odxPddrr57

(2)一圆台的上下底面半径分别为R1和R2，它的侧面上均匀带电，电荷面密度为，取无穷远为电势零点，求顶点o的电势。R1R2orxdx

解将圆台分为若干个圆环积分。.2rdx4ox由于得58

例题5-19

求半径为R、总电量为q的均匀带电球面的电势分布。

解由高斯定理求出其场强分布:

选定无限远处的电势为零,由电势的定义式，有rR:rR:R59

例题5-20

电荷以相同的面密度均匀分布在两个半径分别为R1=10cm、R2=20cm的同心球面上，设无穷远处为电势零点，已知球心电势为300v，求:(1)=?(2)空间电势分布；

(3)两球面的电势差。

解

(1)设内外球面分别带电q1和q2,R1R2o

应当指出，电势是空间坐标的连续函数。而电场一般是不连续的。q1q2球心电势可用带电球面的电势叠加得出：60q1=.4R12

q2=.4R22球心电势也可用电势定义求得:R1R2oq1q2于是得61(2)各区域电势：R1R2oq1q2rR1:R1rR2:rR2:62(3)两球面的电势差或R1R2oq1q2rR1:rR2:63

例题8-21

一均匀带电的球壳,电荷体密度为，内外半径分别为R1<R2,求各区域的电势。

解可用球面电势公式积分;也可用电势定义式求解。由高斯定理：R1R2o64R1r

R2:r

R2:r

R1:R1R2o65

例题5-22

一带电球体，半径R，电荷体密度为=Ar,A为常量；求:球内外的电场和电势。Rrdr

解(1)电场r<R:r>R:(2)电势r<R:r>R:66

例题5-23

一真空二极管，其主要构件是一个半径R1=510-4m的圆筒形阴极A和一个套在阴极外的半径R2=4.510-3m的同轴圆筒形阳极B，如图所示。阳极电势比阴极高V=300伏，忽略边缘效应，求:(1)两极间的电场；(2)电子刚从阴极发出时所受的力；(3)电子到达阳极时的速度。

解

(1)设内外圆筒单位长度分别带电±，由高斯定理，两极间的电场(例题8-12):R2BAR1两极间的电势差：67故电场为(2)电子刚从阴极发出时所受的电场力方向沿半径指向阳极B。(3)由动能定理：电子到达阳极时的速度：=1.03107(m/s)。R2BAR168

例题5-24

一半径为R的均匀带电球面，带电量为q；球面外有一均匀带电细线，电荷线密度为,长为l,细线近端离球心距离为ro,如图所示。求细线受的力和细线在球面电场中的电势能。Rroloqxdx

解

dxdx69§5-5场强与电势的关系

在电场中,电势相等的点所组成的曲面叫等势面。1.等势面

等势面与场强之间有如下的一般关系:(1)等势面与电力线处处正交;电力线的方向(即电场强度的方向),总是指向电势降低的方向。

(2)等势面分布较密的地方,电场强度较大。

(3)电荷沿等势面移动时,电场力不作功。E点电荷的等势面+q702.电势梯度

设有两个十分接近的等势面1和2,如图8-36所示,其电势分别为u和u+du,并设du>0。

在同一场点,其电势沿不同方向的空间变化率也是不同的。

但沿法线方向的变化率最大。即

我们定义：场中某点电势梯度矢量的方向为该点电势增加率最大的方向，

其大小等于沿该方向单位长度上的电势增量。

是沿等势面法线的单位矢量,方向指向电势升高的方向。

uu+du12Edldn71表明,静电场中任何一点的电场强度等于该点电势梯度矢量的负值。

(gradient梯度)abuu+du12Edldn

显然有72电场强度E沿任一方向dl的分量：

注意到dn=dlcos,于是有

即电场强度在任一方向的分量等于电势沿方向上的空间变化率的负值。在直角坐标系中，显然有

abuu+du12Edldn73—梯度算符问题：1.场强大的地方，电势一定高。

6.场强不变的空间，电势处处相等。5.电势不变的空间，场强处处为零。4.电势为零的地方，电场也一定为零。3.电场为零的地方，电势也一定为零。2.电势高的地方，电场一定大。可写为:74

例题5-25

求半径为R、均匀带电q的圆环轴线上一点的电势和场强。解xqRrP75下面的讨论只限于金属导体。1.导体的静电平衡条件§5-6静电场中的导体

导体的静电平衡状态—导体内部和表面都没有电荷作定向移动的状态

。

将导体置于外电场Eo中,

由于静电感应，导体表面出现感应电荷，

要使导体内部的电子不作定向运动，只有：要使导体表面处的电子不作定向运动，导体表面附近的电场方向必须垂直于导体表面。Eo=0设感应电荷产生的电场为E,则导体中的电场为76

2.静电平衡下导体的性质

(1)静电平衡下的导体是等势体,其表面是等势面。

(2)导体表面附近的场强方向垂直于导体表面。因此,导体处于静电平衡的条件是abc

(1)导体内部的场强处处为零,即。=077

(2)静电平衡下,导体所带的电荷只能分布在导体的表面上。

a.实心导体所带的电荷只能分布在导体的外表面上。

即任一闭合曲面内均无净电荷，所以电荷只能分布在外表面上。qs78

即空腔内表面无净电荷，所带电荷只能分布在外表面上。

b.腔内无带电体的导体空腔，所带电荷也只能分布在外表面上。

这表明，空腔内表面根本就无电荷(等量异号也不可能)。Sabq空腔内表面可否有等量异号电荷呢？=079

c.腔内有带电体q的导体空腔,若带电Q,则空腔内表面带电-q,

空腔外表面带电q+Q。

则空腔外表面就为q+Q。3.导体表面附近的场强

由高斯定理，容易证明，导体表面附近的场强：方向：垂直于导体表面。QqSq+QqE80

导体表面上的电荷面密度与曲率成正比。导体表面曲率半径愈小处(即曲率愈大处),电荷面密度愈大，电场也愈大，以致空气被击穿，从而形成尖端放电。

在高压设备中,为了防止因尖端放电而引起的危险和漏电造成的损失,输电线的表面应是光滑的。具有高电压的零部件的表面也必须做得十分光滑并尽可能做成球面。与此相反,人们还可以利用尖端放电。例如,火花放电设备的电极往往做成尖端形状,避雷针也是利用尖端的缓慢放电而避免“雷击”的。电荷在导体表面上又如何分布呢？81

例题5-26

A、B为平行放置的两块大金属平板,面积为S,相距d,A板带电QA,B板带电QB,求两板各表面上的电荷面密度及两板间的电势差(忽略金属板的边缘效应)。(1+2)S=QA

解设四个表面上的面电荷密度分别为1、2、3和4

,如图8-44所示，则1234(3+4)S=QBP1点:P2点:ABdsP1P282解上面四个式子得两板间的电场为两板间的电势差为讨论：若QA=-QB(电容器在充电时就是这样)，则1=4=0，1234ABdsP1P2(相对面等量异号)83

例题5-27

A、B、C是三块平行金属板，面积均为S=200cm2,A、B相距d2=4.0cm,A、C相距d1=2.0cm，B、C两板都接地(如图所示)。设A板带电q=3.0×10-7C,不计边缘效应，求B板和C板上的感应电荷，以及A板的电势。CABd1d2

解设A板左面带电q1，右面带电q2;q1+q2=q根据题意：uA-uB=uA-uCq1-q1q2-q2则C板右面将带电-q1，B板左面将带电-q2。显然84A板电势：CABd1d2q1-q1q2-q2解得：

q1=2.0×10-7C,q2=1.0×10-7C。q1+q2=q85

例题5-28如图所示，一内外半径分别为R1、R2的金属球壳，带有电量q,设无穷远为电势零点，求金属球壳的电势。oR1R2

解电量q在金属球壳上怎样分布？分布外表面上。或q由均匀带电球面的电势分布可知，金属球壳的电势：86

例题5-29如图所示，一内外半径分别为a、b的金属球壳，带有电量Q；在球壳空腔内距离球心r处有一点电荷q。设无穷远为电势零点，求球壳上的电荷分布及球心的电势。

解由静电感应知：球壳内表面带电-q;q+Q球壳外表面带电q＋Ｑ。由电势叠加原理，球心的电势：qroabq87

例题5-30两同心金属球壳，半径分别为R1、R2、R3，如图所示;内球带电q1,外球壳带电q2。求空间电势分布及两球的电势差。

解内球表面带电q1,外球壳内表面带电-q1,外球壳外表面带电q1+q2。0r

R1:R2R3oR1q1-q1q1+q2.r88R2r

R3:r

R3:两球的电势差：R1r

R２:R2R3oR1q1-q1q1+q2rr89§5-7静电场中的电介质

电介质(绝缘体)和导体的主要区别是：导体中有可以自由移动的电子，而电介质中正、负电荷束缚很紧,没有可以自由运动的电荷。1.电介质的极化

电介质分为两类:有极分子电介质和无极分子电介质。

有极分子电介质：正、负电荷重心不重合,而相隔一固定的距离,一个分子就形成一个电偶极子。

无极分子电介质的正、负电荷重心重合，固有电矩为零。

-q+ql电矩：pe=ql90

无极分子电介质的正负电荷受电场力的作用而发生微小位移,成为在外电场方向排列的电偶极子。

无论是有极分子电介质还是无极分子电介质，在外电场的作用下，电介质表面附近的电荷会越过介质表面而在均匀电介质的表面上出现一层束缚(极化)电荷。这种现象称为电介质的极化。

有极分子电介质在外电场的力矩作用下也转向沿外电场的方向,如图8-50所示。结果：E在外电场的作用下,912.极化强度矢量

体积V中分子电矩的矢量和体积V实验证明:

式中r称为相对介电常数，由介质特性确定。

在电介质表面上取一面元dS,

并在电介质中沿极化强度方向取一如图所示的斜柱体。由于极化,表面附近分子的正、负电荷重心将越过dS而成为表面的束缚电荷。PdldS92=(柱内分子电矩的矢量和)

于是极化强度为斜柱体体积：dV=dSdlcos束缚(极化)电荷面密度为=Pcos=Pn

此斜柱体相当于一个电偶极子，其电矩为

即电介质表面的束缚电荷面密度等于该处极化强度的法向分量。PdldS93

显然，由于极化而越过dS的束缚电荷为

因为电介质是中性的,由电荷守恒定律可知，由于极化而留在封闭面S内的束缚电荷总量应为dq=

dSP.dS

称为通过面元dS的元通量。PdldS=Pcos=PdScos

=P.dS由此可知,通过电介质中某一闭合曲面S的P通量就等于因极化而越过此面的束缚电荷总量。943.电介质中的高斯定理自由电荷产生束缚电荷产生电介质中的高斯定理应写为自由电荷束缚电荷电介质的场强：E=Eo

+E而95式中D

称为电位移矢量。于是得到电介质中的高斯定理此式说明:通过任意封闭曲面的电位移通量等于该封闭曲面所包围的自由电荷的代数和。

令:96

叫做电介质的介电常数

。

由电介质中的高斯定理容易证明：在无限大均匀电介质中(或两等势面间充满均匀电介质)的电场：式中Eo是真空中(自由电荷产生)的电场。因为所以97

例题5-31一带正电荷qo,半径为R1的金属球,被一内外半径分别为R1和R2(R1<R2)的均匀电介质同心球壳包围,已知电介质的相对介电常数为r,介质球壳外为真空,求:(1)空间的电场分布;(2)球心o点的电势;(3)电介质球壳内表面上的束缚电荷总量。

解(1)电介质中的高斯定理R1R2oqor98

(2)取无穷远处为电势零点,则球心o的电势可由定义式求得

(3)电介质球壳内表面的束缚电荷面密度：=Pcos=所以电介质球壳内表面的束缚电荷总量是R1R2oqor-P=-o(r

–1)E2P99§5-8电容器和它的电容1.孤立导体的电容2.电容器的电容电容在国际单位制(SI)中的单位:F(法拉)。1F=106μF=1012pF。

电容器—任意形状的两个导体的集合。

设电容器两个极板带有等量异号的电荷+q和-q,两板间的电势差(电压)为V,quAB则该电容器的电容为+q-qV100

要注意,电容器的电容C只决定于两导体的形状、大小、相对位置和周围电介质的性质,与电容器是否带电无关。3.电容器的串联和并联

C1C2Cn(1)串联

特点：各电容器上的电量相等。(2)并联C=C1+C2+…+Cn特点：各电容器上的电压相等。C1C2Cn101

例题5-32求如图所示的平行板电容器的电容。

解设两极板分别带电±,

板间介质中的电场：两板间的电势差：由定义式,该电容器的电容：rtdSAB板间真空中的电场：102讨论:(1)对真空电容器，有(2)对充满电介质的电容器，有(3)若记住了式(8-51)，本题也可用串联公式求解。rtdSAB103

例题5-33圆柱形电容器由两个同轴的金属圆筒组成。设圆筒的长度为L,两筒的半径分别R1和R2,两筒之间充满相对介电常数为r的电介质，如图所示。求这电容器的电容。(忽略圆柱两端的边缘效应)

解设同轴圆筒分别带电±Q，+Q-Q由高斯定理：rLR1R2104

例题5-34两个空气电容器C1和C2串联后与电源连接，再把一电介质板插入C1中，问：电容器组的总电容C、C1和C2上的电量、电势差如何变化？解串联电容器组的电容为插入介质板后，C1增大，所以C增大。根据

q=CV，由于电容器组上的电压V不变，C增大，所以q增大。因为各串联电容器上的电量相等，所以每个电容器上的电量q在插入介质板后都增加。C1C2Vr105

由此可见，插入介质板后，由于C1增大，C1上的电压减小，而C2上的电压增大。由电容公式有：C1C2Vr106§5-9电场的能量1.电容器的储能

把一个电容为C的电容器接到电源上充电,这个过程实质上是电源逐步把正电荷从电容器的负极搬运到正极的过程。由于正、负极间存在电势差,所以电源需要克服电场力作功,电源所作的功就以电能的形式储存在电容器中。

设某一瞬时,电容器两极板的带电量分别为+q和-q,而极板间的电势差为V,dq

在极板上的电荷由零增加到Q的过程中电源所作的总功

那么电源将电荷dq由电容器负极板搬运到正极板时所作的功qq107

利用Q=CV,可以得到电容器的储能公式为2.电场的能量

电场是具有能量的。下面以平行板电容器为例研究它的计算公式。式中Sd是极板间电场空间的体积。108

电场的能量密度(即单位体积内储存的电能)