广东省东莞市新风中学2022年高三数学理月考试卷含解析

广东省东莞市新风中学2022年高三数学理月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1..对总数为Ｎ的一批零件抽取一个容量为30的样本，若每个零件被抽到的概率为0.25，则Ｎ的值为（）Ａ120Ｂ200Ｃ150Ｄ100参考答案：A2.若直角坐标平面内的两个不同点、满足条件：

①、都在函数的图像上；②、关于原点对称.

则称点对为函数的一对“友好点对”.

（注：点对与为同一“友好点对”）

已知函数，此函数的“友好点对”有A.0对

B.1对

C.2对

D.3对参考答案：C由题意，当时，将的图像关于原点对称后可知

的图像与时存在两个交点，故“友好点对”的数量为2，故选C.

3.已知函数，正实数、、满足，若实数是函数的一个零点，那么下列四个判断：①；②；③；④．其中可能成立的个数为

（

）A、0

B、1

C、2

D、3参考答案：C略4.函数的图像如图所示，A为图像与x轴的交点，过点A的直线与函数的图像交于C、B两点，则（

）A．―8

B．―4

C．4

D．8参考答案：D5.规定：正整数n的“H运算"是

①当n为奇数时，H=3n+13；

②当n为偶数时．H=n××

×…(其中H为奇数)．

如：数3经过1次“H运算”的结果是22，经过2次“H运算"的结果是11。经过3次“H运算”的结果是46．则257经过257次“H运算"得到的结果是（

）

A．1

B．16

C．256

D．257参考答案：B略6.若圆C经过(1，0)，(3，0)两点，且与y轴相切，则圆C的方程为

(A)

(B)

(C)

(D)参考答案：D略7.设映射是集合到集合的映射。若对于实数，在中不存在对应的元素，则实数的取值范围是A.

B.Ｃ.D.参考答案：B8.已知函数f（x）=x2ex，当x∈[﹣1，1]时，不等式f（x）＜m恒成立，则实数m的取值范围为（）A．[，+∞） B．（，+∞） C．[e，+∞） D．（e，+∞）参考答案：D【考点】函数恒成立问题．【分析】先求出函数的导数，通过解关于导函数的不等式，先求出f（x）在[﹣1，1]上的单调性，从而求出函数的最大值和最小值．【解答】解：（1）f′（x）=x（x+2）ex，令f′（x）＞0，解得：x＜﹣2或x＞0，令f′（x）＜0，解得：﹣2＜x＜0，∵x∈[﹣1，1]，∴当﹣1≤x≤0时，函数f（x）为减函数，当0≤x≤1时，函数f（x）为增函数，则当x=0时，函数取得极小值f（0）=0，∵f（1）=e，f（﹣1）=，∴函数f（x）在[﹣1，1]上的最大值为e，∵当x∈[﹣1，1]时，不等式f（x）＜m恒成立，∴m＞e，故选：D．9.已知：,若，则的零点个数有

（

）A.1个

B.4个

C.2个

D.3个参考答案：D略10.已知集合，，则（

）A.

B.

C.

D.

参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知直线与圆交于、两点，且，其中为坐标原点，则正实数的值为

.参考答案：12.设集合A={x|x＞0}，B={x|﹣1＜x≤2}，则A∩B=

．参考答案：{x|0＜x≤2}【考点】交集及其运算．【分析】由A与B，求出两集合的交集即可．【解答】解：∵A={x|x＞0}，B={x|﹣1＜x≤2}，∴A∩B={x|0＜x≤2}，故答案为：{x|0＜x≤2}【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．13.非零向量，满足||=||，且（﹣）⊥（2+3），则与夹角的大小为．参考答案：π【考点】数量积表示两个向量的夹角．【分析】由已知可得与的关系，然后代入数量积公式求得与夹角．【解答】解：∵||=||，且（﹣）⊥（2+3），∴（﹣）?（2+3）=，即，∴cos＜＞=，∴与的夹角为．故答案为：．【点评】本题考查数量积求向量的夹角，向量垂直与数量积间的关系，是基础题．14.给出30行30列的数表A：，其特点是每行每列都构成等差数列，记数表主对角线上的数1，10，21，34，…，1074按顺序构成数列{bn}，存在正整数s、t（1＜s＜t）使b1，bs，bt成等差数列，试写出一组（s，t）的值．参考答案：（17，25）考点：等差数列的通项公式；数列与函数的综合．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：由题意可得，b2﹣b1=9b3﹣b2=11…bn﹣bn﹣1=2n+5，利用叠加可求bn，然后由b1，bs，bt成等差数列可得2bs=b1+bt，代入通项后即可求解满足题意的t，s解答：解：由题意可得，b2﹣b1=9b3﹣b2=11…bn﹣bn﹣1=2n+5以上n﹣1个式子相加可得，bn﹣b1=9+11+…+2n+5=n2+6n﹣7∴bn=n2+6n﹣6∵b1，bs，bt成等差数列∴2bs=b1+bt∴2（s2+6s﹣6）=1+t2+6t﹣6整理可得，2（s+3）2=（t+3）2+16∵1＜s＜t≤30且s，t∈N*经检验当s=17，t=25时符合题意故答案为：（17，25）点评：本题主要考查了数列的通项公式的求解，要注意叠加法的应用，属于公式的灵活应用15.设a，b，m，n∈R，且a2+b2=5，ma+nb=5，则的最小值为

．参考答案：考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：根据柯西不等式（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2当且仅当ad=bc取等号，问题即可解决．解答：解：由柯西不等式得，（ma+nb）2≤（m2+n2）（a2+b2）∵a2+b2=5，ma+nb=5，∴（m2+n2）≥5∴的最小值为故答案为：点评：本题主要考查了柯西不等式，解题关键在于清楚等号成立的条件，属于中档题．16.（3分）（2014?嘉定区三模）=．参考答案：考点：极限及其运算．专题：导数的概念及应用；等差数列与等比数列．分析：利用等差数列的求和公式可得1+2+3+…+n=，然后即可求出其极限值．解答：==（+）=，故答案为：点评：本题主要考察极限及其运算．解题的关键是要掌握极限的实则运算法则和常用求极限的技巧！17.将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，得到如图所示的0—1三角数表．从上往下数，第1次全行的数都为1的是第1行，第2次全行的数都为1的是第3行，…，第次全行的数都为1的是第

行．第1行1

1第2行

1

0

1第3行

1

1

1

1第4行

1

0

0

0

1第5行

1

1

0

0

1

1…………参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分10分）《选修4-4：坐标系与参数方程》在直接坐标系xOy中，直线l的方程为x-y+4=0，曲线C的参数方程为．（I）已知在极坐标（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，点P的极坐标为（4，），判断点P与直线l的位置关系；（II）设点Q是曲线C上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值．参考答案：（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程解：（I）把极坐标系下的点化为直角坐标，得P（0，4）。因为点P的直角坐标（0，4）满足直线的方程，所以点P在直线上，（II）因为点Q在曲线C上，故可设点Q的坐标为，从而点Q到直线的距离为，由此得，当时，d取得最小值，且最小值为略19.已知数列是首项为，公比的等比数列，设，数列.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）求数列的前n项和Sn.参考答案：解（Ⅰ）由题意知，

，又，故

（Ⅱ）由（1）知，

于是两式相减，得

略20.设函数．（Ⅰ）求函数f(x)的单调区间；（Ⅱ）记函数f(x)的最小值为g(a)，证明：g(a)＜1．参考答案：（I）在上单调递减，在上单调递增；（II）详见解析.【分析】（I）对函数求导，解导函数所对应的不等式即可求出结果；（II）由（I）先得到，要证，即证明，即证明，构造函数，用导数的方法求函数的最小值即可.【详解】（Ⅰ）显然的定义域为．

．∵，，∴若，，此时，在上单调递减；若，，此时，在上单调递增；综上所述：在上单调递减，在上单调递增．（Ⅱ）由（Ⅰ）知：，即：．要证，即证明，即证明，令，则只需证明，∵，且，∴当，，此时，在上单调递减；当，，此时，在上单调递增，∴．∴．∴．【点睛】本题主要考查导数在函数中的应用，通常需要对函数求导，用导数的方法研究函数的单调性，最值等，属于常考题型.21.随着手机的发展，“微信”越来越成为人们交流的一种方式．某机构对“使用微信交流”的态度进行调查，随机抽取了50人，他们年龄的频数分布及对“使用微信交流”赞成人数如下表．年龄（单位：岁）[15，25）[25，35）[35，45）[45，55）[55，65）[65，75）频数510151055赞成人数51012721（Ⅰ）若以“年龄”45岁为分界点，由以上统计数据完成下面2×2列联表，并判断是否有99%的把握认为“使用微信交流”的态度与人的年龄有关；

年龄不低于45岁的人数年龄低于45岁的人数合计赞成

不赞成

合计

（Ⅱ）若从年龄在[25，35）和[55，65）的被调查人中按照分层抽样的方法选取6人进行追踪调查，并给予其中3人“红包”奖励，求3人中至少有1人年龄在[55，65）的概率．参考数据如下：附临界值表：P（K2≥k）0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828K2的观测值：k=（其中n=a+b+c+d）参考答案：【考点】独立性检验．【分析】（Ⅰ）根据条件得2×2列联表，求出K2，与临界值比较，即可得出结论；（Ⅱ）利用列举法确定基本事件，即可得出结论．【解答】（Ⅰ）解：根据条件得2×2列联表：

年龄不低于45岁的人数年龄低于45岁的人数合计赞成102737不赞成10313合

计2030

50…根据列联表所给的数据代入公式得到：…所以有99%的把握认为“使用微信交流”的态度与人的年龄有关；

…（Ⅱ）解：按照分层抽样方法可知：[55，65）抽取：（人）；[25，35）抽取：（人）

…在上述抽取的6人中，年龄在[55，65）有2人，年龄[25，35）有4人．年龄在[55，65）记为（A，B）；年龄在[25，35）记为（a，b，c，d），则从6人中任取3名的所有情况为：（A，B，a）、（A，B，b）、（A，B，c）、（A，B，d）、（A，a，b）、（A，a，c）、（A，a，d）、（A，b，c）、（A，b，d）、（A，c，d）、（B，a，b）、（B，a，c）、（B，a，d）、（B，b，c）、（B，b，d）、（B，c，d）、（a，b，c）（a，b，d）（a，c，d）（b，c，d）共20种情况，…其中至少有一人年龄在[55，65）岁情况有：（A，B，a）、（A，B，b）、（A，B，c）、（A，B，d）、（A，a，b）、（A，a，c）、（A，a，d）、（A，b，c）、（A，b，d）、（A，c，d）、（B，a，b）、（B，a，c）、（B，a，d）、（B，b，c）、（B，b，d）、（B，c，d），共16种情况．

…记至少有一人年龄在[55，65）岁为事件A，则…∴至少有一人年龄在[55，65）岁之间的概率为．

…22.一个小商店从某食品有限公司购进10袋白糖，称池内各袋白糖的重量（单位：g），如茎叶图所示，其中有一个数据被污损．（Ⅰ）若已知这些白糖重量的平均数为497g，求污损处的数据a；（Ⅱ）现从重量不低于498g的所购各袋白糖中随机抽取2袋，求重量是508g的那袋被抽中的概率．参考答案：【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；茎叶图．【专题】概率与统计．【分析】（Ⅰ）根据茎叶图和平均数即可求出a的值；（Ⅱ）设“重量是508g的那袋被抽中”为事件A，一一列举出所有的基本事件，再找到满足条件的基本事件，根据概率计算即可．【解答】解：（Ⅰ）因为这些这些白糖重量的平均数为497g，所以=[488+489+492+（490+a）+489+499+502+504+508